2.1 Posisjon, fart og akselerasjon

Posisjon, fart og akselerasjon

Kinematikk er læra om rørsle utan å ta omsyn til årsaka til rørsla. Vi skildrar korleis objekt beveger seg ved hjelp av storleikar som posisjon, fart og akselerasjon.

Kva er rørsle?

Eit objekt er i rørsle når det endrar posisjon i forhold til eit referansepunkt over tid. For å skildre rørsle treng vi:

1. Eit referansesystem (koordinatsystem)
2. Ei tidsskala
3. Ein måte å angi retning (vektorar)

Skalarar vs. vektorar

Skalar:
- Ein storleik med berre talverdi
- Eksempel: masse (5 kg), temperatur (20°C), tid (10 s)

Vektor:
- Ein storleik med både talverdi (beløp) og retning
- Eksempel: forflytting (5 m mot nord), fart (10 m/s mot aust)
- Blir skrive med pil over: $\vec{v}$ eller feit skrift: v

I kinematikk bruker vi vektorar for å skildre posisjon, forflytting, fart og akselerasjon.

Posisjon og forflytting

Posisjon

Posisjon er plasseringa av eit objekt i forhold til eit referansepunkt (origo).

Éi dimensjon (x-aksen):
$$x$$

To dimensjonar (x-y plan):
$$\vec{r} = (x, y)$$

Tre dimensjonar:
$$\vec{r} = (x, y, z)$$

Einingar: meter (m)

Forflytting

Forflytting er endringa i posisjon frå starttidspunkt til sluttidspunkt.

Definisjon:
$$\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$$

der:
- $\vec{r}_1$ = startposisjon
- $\vec{r}_2$ = sluttposisjon
- $\Delta \vec{r}$ = forflytting (vektor)

Viktig skilnad:

Forflytting vs. tilbakelagd distanse:
- Forflytting: Rett linje frå start til slutt (vektor)
- Tilbakelagd distanse: Total lengd langs banen (skalar)

Eksempel:
Du går 3 m mot aust, så 4 m mot nord.
- Tilbakelagd distanse: 3 + 4 = 7 m
- Forflytting: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m (nord-aust retning)

Fart

Gjennomsnittleg fart

Gjennomsnittleg fart skildrar kor raskt eit objekt beveger seg i gjennomsnitt over eit tidsintervall.

Skalar (tilbakelagd distanse):
$$v_{\text{gj}} = \frac{s}{\Delta t}$$

der:
- $s$ = tilbakelagd distanse (m)
- $\Delta t$ = tidsintervall (s)
- $v_{\text{gj}}$ = gjennomsnittleg fart (m/s)

Gjennomsnittleg fart (vektor)

Gjennomsnittleg fart (vektor) er forflytting per tidseining.

Vektor (forflytting):
$$\vec{v}_{\text{gj}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$

der:
- $\Delta \vec{r}$ = forflytting (m)
- $\Delta t$ = tidsintervall (s)
- $\vec{v}_{\text{gj}}$ = gjennomsnittleg fart (m/s)

Viktig: Gjennomsnittleg fart (vektor) er ein vektor i same retning som forflyttinga.

Momentan fart

Momentan fart er farten ved eitt bestemt tidspunkt.

Definisjon:
$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{ds}{dt}$$

Momentan fart er den deriverte av posisjonen med omsyn på tid.

Momentan fart (vektor)

Momentan fart (vektor) er fartsvektoren ved eitt bestemt tidspunkt.

Definisjon:
$$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$$

Retning: Momentan fart (vektor) er alltid tangent til banen (retning av rørsla).

Komponentform (to dimensjonar):
$$\vec{v} = (v_x, v_y) = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$$

Fart (beløp av fartsvektor):
$$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

Akselerasjon

Akselerasjon er endringa i fart per tidseining.

Gjennomsnittleg akselerasjon

Gjennomsnittleg akselerasjon over eit tidsintervall:

$$\vec{a}_{\text{gj}} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{t_2 - t_1}$$

der:
- $\Delta \vec{v}$ = endring i fart (m/s)
- $\Delta t$ = tidsintervall (s)
- $\vec{a}_{\text{gj}}$ = gjennomsnittleg akselerasjon (m/s²)

Einingar: meter per sekund i andre (m/s²)

Momentan akselerasjon

Momentan akselerasjon er akselerasjonen ved eitt bestemt tidspunkt.

Definisjon:
$$\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}$$

Akselerasjon er den deriverte av fart med omsyn på tid.

Komponentform (to dimensjonar):
$$\vec{a} = (a_x, a_y) = \left(\frac{dv_x}{dt}, \frac{dv_y}{dt}\right)$$

Beløp av akselerasjon:
$$a = |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$$

Typar akselerasjon

Positiv akselerasjon:
- Farten aukar
- Akselerasjon i same retning som farten
- Eksempel: Bil aukar farten

Negativ akselerasjon (retardasjon):
- Farten minkar
- Akselerasjon i motsett retning av farten
- Eksempel: Bil bremsar

Akselerasjon i retning:
- Endring i retning, ikkje nødvendigvis fart
- Eksempel: Bil svingar (endrar retning)

Vektornotasjon

Éi dimensjon (x-aksen)

Når rørsla berre skjer langs éin akse, bruker vi forteikn for å angi retning.

Eksempel:
- $v = +10$ m/s (beveger seg i positiv x-retning)
- $v = -10$ m/s (beveger seg i negativ x-retning)

To dimensjonar (x-y plan)

Komponentform:
$$\vec{r} = (x, y)$$
$$\vec{v} = (v_x, v_y)$$
$$\vec{a} = (a_x, a_y)$$

Einingsvektorform:
$$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$$
$$\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}$$
$$\vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j}$$

der $\hat{i}$ er einingsvektor i x-retning og $\hat{j}$ er einingsvektor i y-retning.

Beløp og retning

Beløp (lengd) av vektor:
$$|\vec{v}| = v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

Retning (vinkel med x-aksen):
$$\theta = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$$

Frå beløp og retning til komponentar:
$$v_x = v \cos \theta$$
$$v_y = v \sin \theta$$

Oppsummering

- Kinematikk skildrar rørsle utan å ta omsyn til årsaka til rørsla
- Skalarar har berre talverdi (masse, tid), medan vektorar har både talverdi og retning (forflytting, fart, akselerasjon)
- Forflytting $\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ er endring i posisjon (rett linje frå start til slutt), medan tilbakelagd distanse er total lengd langs banen
- Gjennomsnittleg fart (vektor): $\displaystyle \vec{v}_{\text{gj}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ (vektor), momentan fart (vektor): $\displaystyle \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ (derivert av posisjon)
- Gjennomsnittleg akselerasjon: $\displaystyle \vec{a}_{\text{gj}} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$, momentan akselerasjon: $\displaystyle \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ (derivert av fart)
- Vektoroppløysing: $v_x = v\cos\theta$ og $v_y = v\sin\theta$, beløp: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, vinkel: $\theta = \arctan(v_y/v_x)$
- Akselerasjon oppstår når farten endrar seg i storleik eller retning
- I to dimensjonar blir x- og y-komponentane behandla separat: $\vec{v} = (v_x, v_y)$ og $\vec{a} = (a_x, a_y)$