2.1 Posisjon, fart og akselerasjon

Posisjon, fart og akselerasjon

Kinematikk er læra om rørsle utan å ta omsyn til årsaka til rørsla. Vi skildrar korleis objekt beveger seg ved hjelp av storleikar som posisjon, fart og akselerasjon.

Kva er rørsle?

Eit objekt er i rørsle når det endrar posisjon i forhold til eit referansepunkt over tid. For å skildre rørsle treng vi:

1. Eit referansesystem (koordinatsystem)
2. Ei tidsskala
3. Ein måte å angi retning (forteikn langs aksen)

Skalarar vs. vektorar

Skalar:
- Ein storleik med berre talverdi
- Eksempel: masse (5 kg), temperatur (20°C), tid (10 s)

Vektor:
- Ein storleik med både talverdi (beløp) og retning
- Eksempel: forflytting (5 m mot nord), fart (10 m/s mot aust)
- Blir skrive med pil over: $\vec{v}$ eller feit skrift: v

I rettlinja rørsle angir vi retninga med forteikn langs ein akse: positiv i den eine retninga, negativ i den andre.

Posisjon og forflytting

Posisjon

Posisjon er plasseringa av eit objekt i forhold til eit referansepunkt (origo). Når rørsla skjer langs ei rett linje, legg vi ein akse langs linja og angir posisjonen med eitt tal, $s$.

- Positiv $s$: på den eine sida av origo
- Negativ $s$: på den andre sida av origo

Eining: meter (m)

Forflytting

Forflytting er endringa i posisjon frå eitt tidspunkt til eit anna.

Definisjon:
$$\Delta s = s_2 - s_1$$

der:
- $s_1$ = startposisjon
- $s_2$ = sluttposisjon
- $\Delta s$ = forflytting (forteiknet viser retninga)

Viktig skilnad:

Forflytting vs. tilbakelagd distanse:
- Forflytting: Endringa i posisjon frå start til slutt, med forteikn
- Tilbakelagd distanse ($d$): Total lengd langs banen, alltid positiv

Eksempel:
Du går 5 m fram langs ein korridor og deretter 3 m tilbake.
- Tilbakelagd distanse: $d = 5 + 3 = 8$ m
- Forflytting: $\Delta s = 5 - 3 = 2$ m (2 m fram)

Fart

Gjennomsnittleg fart

Gjennomsnittleg fart skildrar kor raskt eit objekt beveger seg i gjennomsnitt over eit tidsintervall:

$$v_{\text{gj}} = \frac{d}{\Delta t}$$

der:
- $d$ = tilbakelagd distanse (m)
- $\Delta t$ = tidsintervall (s)
- $v_{\text{gj}}$ = gjennomsnittleg fart (m/s)

Gjennomsnittleg fart med retning

Gjennomsnittleg fart med retning er forflytting per tidseining:

$$\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$$

Viktig: Denne farten har forteikn. Har objektet snudd undervegs, blir han mindre enn den gjennomsnittlege farten.

Momentan fart

Momentan fart er farten ved eitt bestemt tidspunkt -- det speedometeret viser.

I ein $s$–$t$-graf er gjennomsnittsfarten mellom to tidspunkt stigingstalet til linja mellom dei to punkta på grafen. Gjer vi tidsintervallet kortare og kortare, nærmar denne linja seg tangenten til grafen i punktet.

Momentanfarten er stigingstalet til tangenten i $s$–$t$-grafen.

- Bratt graf → stor fart
- Vassrett tangent → farten er null i det augeblinket
- Søkkande graf → objektet rører seg i negativ retning

Akselerasjon

Akselerasjon er endringa i fart per tidseining.

Gjennomsnittleg akselerasjon

Gjennomsnittleg akselerasjon over eit tidsintervall:

$$a_{\text{gj}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$$

der:
- $\Delta v$ = endring i fart (m/s)
- $\Delta t$ = tidsintervall (s)
- $a_{\text{gj}}$ = gjennomsnittleg akselerasjon (m/s²)

Einingar: meter per sekund i andre (m/s²)

Momentan akselerasjon

Momentan akselerasjon er akselerasjonen ved eitt bestemt tidspunkt. På same måte som for farten er han stigingstalet til tangenten i $v$–$t$-grafen.

Forteikn på akselerasjonen

Akselerasjon i same retning som farten:
- Farten aukar
- Eksempel: Bil gir gass

Akselerasjon motsett av farten (retardasjon):
- Farten minkar
- Eksempel: Bil bremsar

Merk: Det er forteikna som avgjer. Ein bil som køyrer i negativ retning og bremsar, har positiv akselerasjon.

Retning med forteikn

Når rørsla berre skjer langs éin akse, bruker vi forteikn for å angi retning.

Eksempel:
- $v = +10$ m/s (beveger seg i positiv retning)
- $v = -10$ m/s (beveger seg i negativ retning)

Vel alltid positiv retning før du reknar, og bruk den same gjennom heile oppgåva. Posisjon, forflytting, fart og akselerasjon får då forteikn ut frå denne retninga.

Momentanfart og momentan akselerasjon frå ein graf

Når grafen er krum, endrar stigingstalet seg frå punkt til punkt. Då finn vi momentanfarten eller den momentane akselerasjonen i eit bestemt tidspunkt slik:

- Teikn tangenten i punktet: den rette linja som berre så vidt rører grafen der.
- Vel to punkt på tangenten som ligg langt frå kvarandre og er lette å lese av.
- Rekn ut stigingstalet til tangenten.

I ein $s$–$t$-graf er stigingstalet farten: $\displaystyle v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$.

I ein $v$–$t$-graf er stigingstalet akselerasjonen: $\displaystyle a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.

Punkta skal liggje på tangenten, ikkje på grafen. Di lenger frå kvarandre dei ligg, di mindre har ein liten avlesingsfeil å seie.

Forma på grafen:
- $s$–$t$-graf som blir brattare: farten aukar
- vassrett tangent i ein $s$–$t$-graf: farten er null i den augeblinken (objektet snur eller står stille)
- $v$–$t$-graf som blir slakare: akselerasjonen blir mindre i talverdi (nærmar seg null)
- søkkande $v$–$t$-graf: akselerasjonen er negativ

Oppsummering

- Kinematikk skildrar rørsle utan å ta omsyn til årsaka til rørsla
- Skalarar har berre talverdi (masse, tid), medan vektorar har både talverdi og retning (forflytting, fart, akselerasjon). Langs ei rett linje angir vi retninga med forteikn
- Forflytting $\Delta s = s_2 - s_1$ er endring i posisjon, medan tilbakelagd distanse $d$ er total lengd langs banen
- Gjennomsnittleg fart: $\displaystyle v_{\text{gj}} = \frac{d}{\Delta t}$, gjennomsnittleg fart med retning: $\displaystyle \bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$ (med forteikn)
- Momentan fart er stigingstalet til tangenten i $s$–$t$-grafen
- Gjennomsnittleg akselerasjon: $\displaystyle a_{\text{gj}} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$, momentan akselerasjon er stigingstalet til tangenten i $v$–$t$-grafen
- Akselerasjon i same retning som farten gir aukande fart, akselerasjon motsett av farten gir minkande fart
- Stigingstalet til ein tangent finn vi med to punkt på tangenten som ligg langt frå kvarandre