2.1 Posisjon, fart og akselerasjon

Å beskrive bevegelse uten å bry seg om hvorfor

Tenk deg at du står på en perrong og ser et tog gli forbi. Du kan beskrive akkurat hvordan det beveger seg -- hvor det er, hvor fort det går, om det øker farten -- helt uten å vite hvorfor. Det er nettopp dette kinematikk handler om: læren om bevegelse, løsrevet fra årsakene bak. Kreftene kommer vi til senere.

For å beskrive en bevegelse trenger vi tre ting: et referansesystem (et koordinatsystem å måle ut fra), en tidsskala, og en måte å angi retning på. Det siste tvinger oss til å skille mellom to slags størrelser.

En skalar har bare en tallverdi: masse (5 kg), temperatur (20 °C), tid (10 s). En vektor har derimot både tallverdi og retning: en forflytning på 5 m mot nord, en hastighet på 10 m/s mot øst. Vektorer skriver vi med en pil over, som $\vec{v}$. Forflytning, hastighet og akselerasjon er vektorer -- for i fysikk er det sjelden nok å vite hvor mye; du må også vite hvilken vei. Så lenge bevegelsen går langs en rett linje, holder det å angi retningen med fortegn.

Posisjon, forflytning og en tur fram og tilbake

La oss starte med det grunnleggende. Posisjonen til et objekt er hvor det befinner seg i forhold til et referansepunkt, origo. Langs en rett linje holder det med ett tall, $s$, og fortegnet forteller hvilken side av origo objektet er på. Enheten er meter.

Forflytning er endringen i posisjon, $\Delta s = s_2 - s_1$, fra der du startet til der du endte. Og her lurer en av kinematikkens viktigste finurligheter: forflytning er ikke det samme som tilbakelagt distanse.

Si at du går 5 m fram langs en korridor og deretter 3 m tilbake. Den tilbakelagte distansen er den totale lengden langs banen, $5 + 3 = 8$ m -- en skalar. Men forflytningen er bare endringen fra start til slutt: $\Delta s = 5 - 3 = 2$ m fram. Du gikk åtte meter, men forflyttet deg bare to. Distanse bryr seg om hele turen; forflytning bryr seg bare om begynnelse og slutt.

Fart, hastighet og det magiske øyeblikket

Nå skal vi sette tid på bevegelsen. Gjennomsnittlig fart forteller hvor raskt du beveget deg i snitt: $\displaystyle v_{gj} = \frac{d}{\Delta t}$, der $d$ er tilbakelagt distanse. Dette er en skalar. Gjennomsnittlig hastighet er derimot forflytning per tid, $\displaystyle \bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$, og har fortegn som viser retningen.

Men ofte vil vi ikke vite gjennomsnittet over en hel tur; vi vil vite farten akkurat nå, i ett bestemt øyeblikk -- slik speedometeret i en bil viser. Det kaller vi momentan fart. Tegner vi posisjonen som funksjon av tiden i en $s$–$t$-graf, er gjennomsnittsfarten mellom to tidspunkter stigningstallet til linjen mellom de to punktene. Gjør vi tidsintervallet kortere og kortere, nærmer linjen seg tangenten i punktet. Momentanfarten er altså stigningstallet til tangenten i $s$–$t$-grafen: bratt graf betyr stor fart, og en vannrett tangent betyr at objektet står stille akkurat da.

Slik ser det ut med tall. En bil starter fra ro, og tangenten til $s$–$t$-grafen i $t = 3{,}0$ s går gjennom $(1{,}5\ \text{s};\ 0\ \text{m})$ og $(5{,}5\ \text{s};\ 18\ \text{m})$. Momentanfarten er stigningstallet til tangenten: $\displaystyle v = \frac{18 - 0}{5{,}5 - 1{,}5} = \frac{18}{4{,}0} = 4{,}5$ m/s. Punktene skal ligge på tangenten, ikke på grafen, og helst langt fra hverandre, så en liten avlesningsfeil betyr lite.

Akselerasjon -- når farten skifter

Akselerasjon er endringen i fart per tidsenhet. Gjennomsnittlig akselerasjon er $\displaystyle a_{gj} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$, med enheten meter per sekund i andre, m/s². På samme måte som med farten finnes en momentan akselerasjon for ett bestemt øyeblikk: den er stigningstallet til tangenten i $v$–$t$-grafen. Legg merke til mønsteret: stigningen i $s$–$t$-grafen gir farten, stigningen i $v$–$t$-grafen gir akselerasjonen.

La oss regne på et enkelt tilfelle. En bil øker farten fra $v_1 = 10$ m/s til $v_2 = 25$ m/s på 5 sekunder langs en rett vei. Da er $\Delta v = 25 - 10 = 15$ m/s, og $\displaystyle a_{gj} = \frac{15}{5} = 3$ m/s² i bevegelsesretningen.

Akselerasjonen kan ha samme retning som farten eller motsatt retning. I samme retning øker farten -- bilen gir gass. Motsatt retning, ofte kalt retardasjon, bremser. Det er fortegnene som avgjør: en bil som kjører i negativ retning og bremser, har positiv akselerasjon. Og en bil som kjører 20 m/s fram, snur og kjører 20 m/s tilbake, har akselerert kraftig, selv om farten er like stor før og etter -- hastigheten har gått fra $+20$ m/s til $-20$ m/s.

Det samme grepet virker for akselerasjonen. Øker farten til en bil stadig langsommere, blir $v$–$t$-grafen slakere og slakere. Går tangenten i $t = 4{,}0$ s gjennom $(0\ \text{s};\ 3{,}0\ \text{m/s})$ og $(8{,}0\ \text{s};\ 11{,}0\ \text{m/s})$, er akselerasjonen i det øyeblikket $\displaystyle a = \frac{11{,}0 - 3{,}0}{8{,}0} = 1{,}0$ m/s². Farten øker fortsatt, men akselerasjonen avtar.

Oppsummering

Vi har bygget grunnmuren for å beskrive bevegelse. Kinematikk handler om hvordan ting beveger seg, ikke hvorfor. Underveis lærte vi å skille skalarer (bare tallverdi, som masse og tid) fra vektorer (tallverdi og retning, som forflytning og hastighet). Langs en rett linje angir vi retningen med fortegn.

Forflytning $\Delta s = s_2 - s_1$ er endringen fra start til slutt og er noe annet enn tilbakelagt distanse langs banen -- husk de fem meterne fram og tre tilbake, som ble to meter forflytning, men åtte meter gått. Gjennomsnittlig hastighet $\displaystyle \frac{\Delta s}{\Delta t}$ er forflytning per tid, mens momentan fart er stigningstallet til tangenten i $s$–$t$-grafen.

Akselerasjon er endringen i fart per tid, $\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}$, og momentan akselerasjon er stigningstallet til tangenten i $v$–$t$-grafen. Fortegnene forteller retningen: akselerasjon i samme retning som farten gir økende fart, motsatt retning gir bremsing. Med dette på plass er vi klare for bevegelseslikningene i de neste kapitlene.