8.3 Integrasjonsmetoder | Matematikk for økonomer

Substitusjon (variabelskift) og delvis integrasjon, med LIATE-regelen som veiledning.

60 min

18 oppgaver

SubstitusjonDelvis integrasjonLIATEVariabelskift

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.2Bestemt integral og fundamentalteoremet

Brukes videre i

8.4Økonomiske anvendelser av integral

Standardformlane i kapittel 8.1 dekkjer berre eit avgrensa utval integral. Mange integral vi møter i økonomi krev spesielle teknikkar. I dette kapittelet skal vi lære to grunnleggjande integrasjonsmetodar:

1. Substitusjon (variabelskifte) — den omvende av kjerneregelen for derivasjon.
2. Delvis integrasjon — den omvende av produktregelen for derivasjon.

Med desse to teknikkane kan vi løyse dei aller fleste integrala ein møter på MET 1180.

Del 1: Substitusjon (variabelskifte)

Når vi deriverer ein samansett funksjon $F(g(x))$ med kjerneregelen, får vi $F'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Substitusjon er den omvende prosessen: vi kjenner att eit integral på forma $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$ og forenklar det ved å setje $u = g(x)$ .

📜Substitusjon (variabelskifte)

u = g(x)

vere ein deriverbar funksjon. Då gjeld

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

Vi set altså $u = g(x)$ og $du = g'(x)\,dx$ — og uttrykkjer heile integralet i den nye variabelen $u$ . Etter integrasjon substituerer vi tilbake $u = g(x)$ .

For bestemte integral: Hugs å oppdatere grensene! Viss $u = g(x)$ , så går $u$ frå $g(a)$ til $g(b)$ når $x$ går frå $a$ til $b$ :
$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$

✏️Eksempel 1: Lineær substitusjon

Rekn ut $\int (3x + 2)^5\,dx$ .

Løysing:

Vi set $u = 3x + 2$ . Då er $\displaystyle \frac{du}{dx} = 3$ , altså $du = 3\,dx$ , som gir $\displaystyle dx = \frac{du}{3}$ .

Vi substituerer:

$\int (3x + 2)^5\,dx = \int u^5 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^5\,du$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{18} + C$

Til slutt substituerer vi tilbake $u = 3x + 2$ :

$\int (3x + 2)^5\,dx = \frac{(3x + 2)^6}{18} + C$

Sjekk: Deriver med kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{(3x+2)^6}{18}\right] = \frac{6(3x+2)^5 \cdot 3}{18} = (3x+2)^5$ . ✓

✏️Eksempel 2: Substitusjon med eksponential

Rekn ut $\int x e^{x^2}\,dx$ .

Løysing:

Vi observerer at $x^2$ deriverer til $2x$ , og vi har ein faktor $x$ utanfor eksponenten. Set $u = x^2$ . Då er $du = 2x\,dx$ , altså $\displaystyle x\,dx = \frac{du}{2}$ .

$\int x e^{x^2}\,dx = \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^u + C$

Substituerer tilbake:

$\int x e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

✏️Eksempel 3: Substitusjon med logaritme

Rekn ut $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx$ .

Løysing:

Vi set $u = x^2 + 1$ . Då er $du = 2x\,dx$ , altså nøyaktig teljaren.

$\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$

Sidan $x^2 + 1 > 0$ alltid, slepp vi absoluttverdien:

$\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$

Når kan substitusjon brukast? Sjå etter ein "indre funksjon"

u = g(x)

slik at den deriverte

g'(x)

òg opptrer (kanskje med ein konstant) i integranden. Typiske mønster:

- Polynom $g(x)$ i potens, gonga med $g'(x)$
- $e^{g(x)}$ gonga med $g'(x)$
- $\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}$ (gir $\ln|g(x)|$ )
- $\sqrt{g(x)} \cdot g'(x)$

✏️Eksempel 4: Bestemt integral med substitusjon

Rekn ut $\int_0^1 x(x^2 + 1)^3\,dx$ .

Løysing:

Set $u = x^2 + 1$ . Då er $du = 2x\,dx$ , altså $\displaystyle x\,dx = \frac{du}{2}$ .

Byt grenser: Når $x = 0$ , er $u = 0^2 + 1 = 1$ . Når $x = 1$ , er $u = 1^2 + 1 = 2$ .

$\int_0^1 x(x^2 + 1)^3\,dx = \int_1^2 u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2$

$= \frac{1}{8}(16 - 1) = \frac{15}{8}$

Del 2: Delvis integrasjon

Produktregelen for derivasjon seier at $(uv)' = u'v + uv'$ . Integrerer vi begge sider, får vi $uv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx$ , som gir formelen for delvis integrasjon.

📜Delvis integrasjon

For to deriverbare funksjonar

u(x)

v(x)

gjeld

\int u(x) \cdot v'(x)\,dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x)\,dx

Dette blir ofte skrive kompakt som
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

Idéen er å byte integralet med eitt som er enklare. Det krev lurt val av $u$ og $v'$ .

LIATE-regelen — kva faktor skal vere $u$ ?

Når du har eit produkt av to faktorar, vel $u$ som det som kjem først i lista:

- Logaritmar ( $\ln x$ )
- Inverse trigfunksjonar
- Algebraiske uttrykk (polynom som $x$ , $x^2$ )
- Trigonometriske funksjonar
- Eksponentialfunksjonar ( $e^x$ , $2^x$ )

Den andre faktoren (lenger ned i lista) blir $v'$ .

✏️Eksempel 5: $x \cdot e^x$

Rekn ut $\int x e^x\,dx$ .

Løysing:

LIATE: Algebraisk ( $x$ ) før Eksponential ( $e^x$ ). Vi vel

$u = x, \quad v' = e^x$

Då er $u' = 1$ og $v = e^x$ . Formel:

$\int x e^x\,dx = \underbrace{x \cdot e^x}_{uv} - \int \underbrace{1 \cdot e^x}_{u'v}\,dx = xe^x - e^x + C$

$= (x - 1)e^x + C$

Sjekk: $\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl((x-1)e^x\bigr) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$ . ✓

✏️Eksempel 6: $x \cdot \ln x$

Rekn ut $\int x \ln x\,dx$ .

Løysing:

LIATE: Logaritme før Algebraisk. Vi vel

$u = \ln x, \quad v' = x$

Då er $\displaystyle u' = \frac{1}{x}$ og $\displaystyle v = \frac{x^2}{2}$ .

$\int x \ln x\,dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2}\,dx$

$= \frac{x^2 \ln x}{2} - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C$

✏️Eksempel 7: $\ln x$ åleine

Rekn ut $\int \ln x\,dx$ .

Løysing:

Vi har berre éin faktor, men kan likevel bruke delvis integrasjon ved å tenkje på integranden som $1 \cdot \ln x$ :

$u = \ln x, \quad v' = 1$

$\displaystyle u' = \frac{1}{x}$ , $v = x$ .

$\int \ln x\,dx = \ln x \cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x\,dx = x \ln x - \int 1\,dx$

$= x \ln x - x + C$

Dette er eit viktig standardresultat — verdt å hugse.

✏️Eksempel 8: Polynom og eksponential

Rekn ut $\int x^2 e^x\,dx$ . Tips: Bruk delvis integrasjon to gonger.

Løysing:

Første gong: $u = x^2$ , $v' = e^x$ . Då $u' = 2x$ , $v = e^x$ .

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx = x^2 e^x - 2\int x e^x\,dx$

Frå eksempel 5 veit vi at $\int x e^x\,dx = (x-1)e^x$ , så

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2(x-1)e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

Kva viss vi vel feil?

Viss du vel $u$ og $v'$ slik at det nye integralet $\int v\,du$ er vanskelegare enn det opphavlege, har du valt feil. Prøv då motsett val. LIATE-regelen er ei god rettesnor, men ikkje alltid absolutt — øving gir innsikt.

✏️Eksempel 9: Bruk i økonomi

Ei bedrift har grenseinntekt $I'(x) = (100 - x)e^{-0{,}05x}$ . Finn inntektsfunksjonen $I(x)$ med $I(0) = 0$ .

Løysing:

Vi må rekne ut $I(x) = \int (100 - x)e^{-0{,}05x}\,dx$ .

Delvis integrasjon: $u = 100 - x$ (algebraisk), $v' = e^{-0{,}05x}$ .

$u' = -1$ , og $v = \int e^{-0{,}05x}\,dx = -20e^{-0{,}05x}$ .

$I(x) = (100-x)(-20e^{-0{,}05x}) - \int (-1)(-20e^{-0{,}05x})\,dx$

$= -20(100-x)e^{-0{,}05x} - 20\int e^{-0{,}05x}\,dx$

$= -20(100-x)e^{-0{,}05x} - 20 \cdot (-20)e^{-0{,}05x} + C$

$= -20(100-x)e^{-0{,}05x} + 400 e^{-0{,}05x} + C$

$= e^{-0{,}05x}\bigl(-20(100-x) + 400\bigr) + C = e^{-0{,}05x}(20x - 1600) + C$

Frå $I(0) = -1600 + C = 0$ får vi $C = 1600$ :

$I(x) = e^{-0{,}05x}(20x - 1600) + 1600$

📝Oppgave 1

Bruk substitusjon

\int (2x + 5)^3\,dx

\int (4x - 1)^7\,dx

\int e^{5x}\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Substitusjon med eksponential

\int x e^{x^2}\,dx

\int 3x^2 e^{x^3}\,dx

\int 2x e^{-x^2}\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Substitusjon som gir logaritme

\displaystyle \int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx

\displaystyle \int \frac{3x^2}{x^3 + 1}\,dx

\displaystyle \int \frac{1}{2x + 1}\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Bestemte integral med substitusjon

\int_0^2 x(x^2 + 1)^2\,dx

\int_0^1 e^{2x}\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Delvis integrasjon — grunnleggjande

\int x e^{2x}\,dx

\int x \ln x\,dx

\int \ln x\,dx

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Delvis integrasjon — utvida

\int x^2 \ln x\,dx

\int x e^{-x}\,dx

\int x^2 e^{-x}\,dx

(Tips: to gonger delvis integrasjon.)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Vel rett metode

\int 2x \sqrt{x^2 + 3}\,dx

\int x \ln(x^2)\,dx

\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 8

Økonomiske bruksområde

Grensekostnad $K'(x) = 10x e^{0{,}1 x^2}$ . Bestem antiderivert $K(x)$ med $K(0) = 500$ .

Grenseinntekt $I'(x) = x e^{-0{,}1 x}$ . Finn $I(x)$ med $I(0) = 0$ .

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Integrasjonsmetodar

Metode	Formel / regel
Substitusjon (ubestemt)	$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ , $u = g(x)$
Substitusjon (bestemt)	$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$
Delvis integrasjon	$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
LIATE	Vel $u$ : Logaritme, Invers trig, Algebraisk, Trig, Eksponential
Standard	$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$
Standard	$\displaystyle \int xe^{ax}\,dx = \frac{(ax-1)e^{ax}}{a^2} + C$
Standard	$\displaystyle \int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln\lvert g(x) \rvert + C$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Substitusjon: Den omvende av kjerneregelen; set $u = g(x)$ og $du = g'(x)\,dx$ .
- Delvis integrasjon: Den omvende av produktregelen.
- LIATE-regelen: Hjelper deg å velje kva faktor som skal vere $u$ .
- Bruk: Metodane utvidar kva integral vi kan løyse.

Viktige formlar

\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

\int u v'\,dx = uv - \int u' v\,dx

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Substitusjon	Variabelskifte $u = g(x)$
Delvis integrasjon	Omvend produktregel
LIATE	Regel for val av $u$
Indre funksjon	$u = g(x)$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.