8.2 Bestemt integral og fundamentalteoremet | Matematikk for økonomer

Riemann-summar, bestemt integral, fundamentalteoremet (Newton-Leibniz) og areal mellom kurver.

55 min

16 oppgaver

Bestemt integralFundamentalteoremetRiemann-sumAreal under grafAreal mellom kurver

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Antiderivert og ubestemt integral

Brukes videre i

8.3Integrasjonsmetoder

I førre kapittel lærte vi å finne antideriverte. I dette kapittelet skal vi sjå korleis antideriverte blir brukte til å rekne ut bestemte integral, som mellom anna representerer arealet under ein graf og den akkumulerte effekten av ein grensestorleik over eit intervall.

Til dømes: viss $K'(x)$ er grensekostnaden, kva er den totale ekstrakostnaden ved å auke produksjonen frå $x = 100$ til $x = 200$ ? Svaret finn vi via eit bestemt integral.

Tenk deg at vi vil rekne ut arealet under grafen til ein kontinuerleg funksjon

f(x) \geq 0

frå

x = a

til

x = b

. Vi deler intervallet

[a, b]

inn i

n

like breie bitar med breidd

\displaystyle \Delta x = \frac{b - a}{n}

og tilnærmar arealet ved ein sum av rektangel:

$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x$

Når $n \to \infty$ blir tilnærminga perfekt. Denne grenseverdien blir kalla Riemann-summen og definerer det bestemte integralet.

Bestemt integral

f

Medan det ubestemte integralet $\int f(x)\,dx$ er ein funksjon (familie av antideriverte), er det bestemte integralet $\int_a^b f(x)\,dx$ eit tal. Det er denne skilnaden som gjer at vi ikkje treng $+C$ ved bestemte integral — konstanten blir kansellert.

📜Fundamentalteoremet for kalkulus (Newton-Leibniz)

Lat

f

vere kontinuerleg på

[a, b]

, og lat

F

vere ein antiderivert til

f

(altså

F'(x) = f(x)

). Då gjeld

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Vi skriv dette ofte kompakt som
$\int_a^b f(x)\,dx = \Bigl[F(x)\Bigr]_a^b = F(b) - F(a)$

Dette teoremet knyter saman derivasjon og integrasjon, og er grunnsteinen i heile integralrekninga.

✏️Eksempel 1: Bruk av fundamentalteoremet

Rekn ut $\int_1^3 x^2\,dx$ .

Løysing:

Vi finn først ein antiderivert til $f(x) = x^2$ :

$F(x) = \frac{x^3}{3}$

Vi treng ikkje å ta med $+C$ sidan han uansett vil bli kansellert. Vi bruker fundamentalteoremet:

$\int_1^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$

Geometrisk er dette arealet under parabelen $y = x^2$ frå $x = 1$ til $x = 3$ .

✏️Eksempel 2: Polynom

Rekn ut $\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx$ .

Løysing:

Vi finn antiderivert ledd for ledd:

$F(x) = x^3 - 2x^2 + x$

Deretter set vi inn grensene:

$\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx = \Bigl[x^3 - 2x^2 + x\Bigr]_0^2$

$= (2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2) - (0 - 0 + 0) = (8 - 8 + 2) - 0 = 2$

📜Eigenskapar ved bestemte integral

For kontinuerlege funksjonar

f

g

og konstantar

a, b, c, k

gjeld:

Nullintervall:
$\int_a^a f(x)\,dx = 0$

Bytting av grenser:
$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$

Additivitet (oppdeling):
$\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$

Linearitet:
$\int_a^b \bigl(k_1 f(x) + k_2 g(x)\bigr)\,dx = k_1 \int_a^b f(x)\,dx + k_2 \int_a^b g(x)\,dx$

✏️Eksempel 3: Eksponential og logaritme

Rekn ut:

a) $\int_0^2 e^x\,dx$

b) $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x}\,dx$

Løysing:

a) Antiderivert til $e^x$ er $e^x$ :
$\int_0^2 e^x\,dx = \Bigl[e^x\Bigr]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}389$

b) Antiderivert til $\displaystyle \frac{1}{x}$ er $\ln|x|$ . På intervallet $[1, e]$ er $x > 0$ :
$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Bigl[\ln x\Bigr]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$

Når funksjonen er negativ

Viss

f(x) < 0

på eit intervall, gir det bestemte integralet ein negativ verdi. Dette speglar at arealet ligg under x-aksen.

Viss funksjonen vekslar forteikn på intervallet, må du dele opp og ta absoluttverdi viss du vil ha det geometriske arealet:

$\text{Areal} = \int_a^b |f(x)|\,dx$

✏️Eksempel 4: Funksjon med forteiknsskifte

Rekn ut $\int_0^3 (x^2 - 4)\,dx$ og finn det geometriske arealet mellom grafen og x-aksen på intervallet $[0, 3]$ .

Løysing:

Verdien av integralet: Antiderivert er $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x$ .

$\int_0^3 (x^2 - 4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_0^3 = (9 - 12) - 0 = -3$

Geometrisk areal: Funksjonen $x^2 - 4$ er negativ på $[0, 2]$ (sidan $x^2 < 4$ ) og positiv på $[2, 3]$ . Vi deler opp:

$A = -\int_0^2 (x^2 - 4)\,dx + \int_2^3 (x^2 - 4)\,dx$

$\displaystyle \int_0^2 (x^2 - 4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$

$\displaystyle \int_2^3 (x^2 - 4)\,dx = (9 - 12) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

$A = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}$

Areal mellom to kurver

f

✏️Eksempel 5: Areal mellom to kurver

Finn arealet av området avgrensa av grafane til $f(x) = 4 - x^2$ og $g(x) = x^2 - 2x$ .

Løysing:

Steg 1: Skjeringspunkt. Vi set $f(x) = g(x)$ :

$4 - x^2 = x^2 - 2x \Leftrightarrow 2x^2 - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$ , så $x = -1$ eller $x = 2$ .

Steg 2: Bestem kva som er øvst. Ved $x = 0$ : $f(0) = 4$ og $g(0) = 0$ , så $f \geq g$ på $[-1, 2]$ .

Steg 3: Integrer differansen.

$A = \int_{-1}^{2} \bigl((4 - x^2) - (x^2 - 2x)\bigr)\,dx = \int_{-1}^{2} (4 - 2x^2 + 2x)\,dx$

$= \left[4x - \frac{2x^3}{3} + x^2\right]_{-1}^{2}$

$\displaystyle F(2) = 8 - \frac{16}{3} + 4 = 12 - \frac{16}{3} = \frac{20}{3}$

$\displaystyle F(-1) = -4 + \frac{2}{3} + 1 = -3 + \frac{2}{3} = -\frac{7}{3}$

$A = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9$

✏️Eksempel 6: Totalkostnad frå grensekostnad

Ei bedrift har grensekostnad $K'(x) = 3x^2 + 10$ (kroner per eining). Kor mykje aukar totalkostnaden ved ein produksjonsauke frå 5 til 15 einingar?

Løysing:

Endringa i totalkostnad er det bestemte integralet av grensekostnaden:

$\Delta K = \int_5^{15} K'(x)\,dx = \int_5^{15} (3x^2 + 10)\,dx$

$= \Bigl[x^3 + 10x\Bigr]_5^{15} = (15^3 + 150) - (5^3 + 50)$

$= (3375 + 150) - (125 + 50) = 3525 - 175 = 3350$

Tolking: Det kostar bedrifta ytterlegare 3350 kroner å auke produksjonen frå 5 til 15 einingar.

Økonomisk tolking av bestemte integral:

- $\int_a^b K'(x)\,dx = K(b) - K(a)$ : total kostnadsauke frå $a$ til $b$ einingar
- $\int_a^b I'(x)\,dx = I(b) - I(a)$ : total inntektsauke
- $\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,dt$ : akkumulert mengd over tidsperioden $[t_1, t_2]$ når $f(t)$ er ein rate (t.d. inntekt per tidseining)

✏️Eksempel 7: Akkumulert inntekt over tid

Ei bedrift mottar inntekter med rate $r(t) = 50e^{0{,}04t}$ tusen kroner per år, der $t$ er år frå i dag. Kor mykje inntekt akkumulerer bedrifta dei neste 10 åra?

Løysing:

Total akkumulert inntekt er

$\int_0^{10} 50e^{0{,}04t}\,dt = 50 \cdot \frac{1}{0{,}04}\Bigl[e^{0{,}04t}\Bigr]_0^{10} = 1250\bigl(e^{0{,}4} - 1\bigr)$

Med $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$ :

$\approx 1250 \cdot 0{,}4918 \approx 614{,}8 \text{ tusen kroner}$

Bedrifta akkumulerer altså omtrent 614 800 kroner i inntekt over dei neste 10 åra.

📝Oppgave 1

Rekn ut dei bestemte integrala

\int_0^1 x^2\,dx

\int_1^4 2x\,dx

\int_0^3 5\,dx

\int_{-1}^{1} (x^2 + 1)\,dx

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Rekn ut

\int_0^2 (3x^2 + 2)\,dx

\int_1^2 (4x^3 - 6x)\,dx

\int_0^1 (e^x - 1)\,dx

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Rekn ut

\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx

\int_0^1 e^{2x}\,dx

\int_1^4 \sqrt{x}\,dx

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Bruk eigenskapane

Gitt $\int_0^4 f(x)\,dx = 12$ og $\int_4^7 f(x)\,dx = 5$ . Finn $\int_0^7 f(x)\,dx$ .

Gitt $\int_a^b f(x)\,dx = 8$ . Finn $\int_b^a f(x)\,dx$ .

Gitt $\int_1^5 f(x)\,dx = 10$ og $\int_1^5 g(x)\,dx = 4$ . Finn $\int_1^5 (3f(x) - 2g(x))\,dx$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Areal under graf

Finn arealet under grafen til $f(x) = 6x - x^2$ frå $x = 0$ til $x = 6$ .

Finn arealet under grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ frå $x = 1$ til $x = e^2$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Areal mellom to kurver

Finn arealet av området avgrensa av $f(x) = x + 2$ og $g(x) = x^2$ på intervallet der dei kryssar kvarandre.

Finn arealet mellom $f(x) = x^3$ og $g(x) = x$ på $[0, 1]$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Grensekostnad og total kostnadsendring

Ei bedrift har grensekostnad $K'(x) = 4x + 20$ kroner per eining. Kor mykje aukar totalkostnaden når produksjonen aukar frå 10 til 25 einingar?

Grenseinntekta er $I'(x) = 200 - 2x$ . Kva er endringa i inntekt når salet aukar frå 20 til 50 einingar?

Kva er endringa i overskot $O(x) = I(x) - K(x)$ når produksjon og sal aukar frå 20 til 50, gitt grensestorleikane i a) og b)?

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 8

Akkumulert inntekt og kostnadsstraum

Ei investering gir kontantstraum med rate $r(t) = 80e^{0{,}03t}$ tusen kroner per år. Kor stor inntekt blir akkumulert dei første 5 åra? Gi svar avrunda til nærmaste heile tusen.

Ein kostnadsstraum har rate $c(t) = 30 + 2t$ kroner per dag. Kva er totalkostnaden over dei første 30 dagane?

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Bestemt integral

Omgrep / regel	Formel
Definisjon	$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$
Fundamentalteoremet	$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
Nullintervall	$\int_a^a f(x)\,dx = 0$
Bytting	$\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$
Additivitet	$\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$
Linearitet	$\int_a^b (kf+lg)\,dx = k\int_a^b f\,dx + l\int_a^b g\,dx$
Areal mellom kurver	$A = \int_a^b (f(x)-g(x))\,dx$ ( $f \geq g$ )
Endring frå grensestorleik	$\int_a^b K'(x)\,dx = K(b)-K(a)$
Akkumulert mengd	$\int_{t_1}^{t_2} r(t)\,dt$ ( $r$ er rate)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Bestemt integral: Grensa av ein sum; gir areal under grafen.
- Fundamentalteoremet: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .
- Areal mellom kurver: Integralet av differansen mellom øvre og nedre kurve.
- Økonomisk tolking: Integralet av ein grensefunksjon gir total endring.

Viktige formlar

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

A = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Bestemt integral	Areal under grafen frå $a$ til $b$
Fundamentalteoremet	$\int_a^b f = F(b) - F(a)$
Areal mellom kurver	Integral av differansen
Integrasjonsgrenser	$a$ og $b$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.