6.2 Inntekts- og overskuddsfunksjoner | Matematikk for økonomer

Inntektsfunksjon, overskuddsfunksjon, break-even og profittanalyse.

45 min

14 oppgaver

InntektsfunksjonOverskuddsfunksjonBreak-evenProfittNullpunkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Kostnadsfunksjoner

Brukes videre i

6.3Grensekostnad og grenseinntekt

Bedrifta di sel kaffi for $80$ kr per pakke. Når du sel $100$ pakkar, har du tent $8\,000$ kr i inntekt. Men er det det same som overskot? Og er det vits i å selje meir om kvar ekstra pakke kostar meir å produsere enn du får inn?

I dette kapittelet byggjer vi opp tre nært beslekta funksjonar: inntektsfunksjonen $I(x)$ , kostnadsfunksjonen $K(x)$ (frå førre seksjon), og differansen deira — overskotsfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ . Vi skal lære kvar break-even ligg, korleis vi maksimerer overskotet, og kor stor skilnad det gjer om bedrifta er pristakar eller prissetjar (monopolist).

Inntekt, kostnad og overskot

For ein monopolist med pris $p(x) = a - bx$. Sjå korleis break-even-punktet og maks-overskot flyttar seg.

I(x) = (a - bx)x

K(x) = FK + VK \cdot x

O(x) = I(x) - K(x)

a

(maksimal pris)

100

b

(pris-respons)

FK

(faste kostnader)

200

VK

(variable per enhet)

Inntektsfunksjon

I(x)

Pristakar vs. prissetjar: Om bedrifta er ein pristakar (fullkomen konkurranse, mange små aktørar som sel like varer), er

I(x) = p \cdot x

. Om bedrifta er prissetjar (monopol, differensierte produkt, sterk merkevare), er

I(x) = p(x) \cdot x

— og deriveringa krev produktregel. Dette har stor verknad for grenseinntekta, som vi ser i kapittel 6.3.

Overskotsfunksjon

O(x) = I(x) - K(x)

✏️Eksempel 1 — Lineær break-even

Ei kaffibedrift sel pakkar for $80$ kr/stk. Faste kostnader er $12\,000$ kr/mnd, variable kostnader er $28$ kr per pakke. Kor mange pakkar må du selje for å gå i null?

Inntektsfunksjon:

I(x) = 80x

Kostnadsfunksjon: $K(x) = 12\,000 + 28x$

Overskotsfunksjon:
$O(x) = 80x - (12\,000 + 28x) = 52x - 12\,000$

Break-even: $O(x) = 0 \Rightarrow 52x = 12\,000 \Rightarrow x \approx 230{,}77$

Du må selje minst $231$ pakkar per månad for å gå i null. Bidraget per pakke er $80 - 28 = 52$ kr — det er det som dekkjer dei faste kostnadene.

Break-even-formel ved lineære kostnader

I(x) = p \cdot x

📊Inntekt, kostnad og break-even

Plott $I(x) = 80x$ og $K(x) = 12000 + 28x$ i same graf. Kryssinga er break-even. Området mellom kurvene er overskotet (eller underskotet).

✏️Eksempel 2 — Monopolist med lineær etterspurnad

Ein monopolist har etterspurnadsfunksjon $p(x) = 100 - 2x$ og kostnadsfunksjon $K(x) = 200 + 20x$ . Finn produksjonen og prisen som maksimerer overskotet.

Inntektsfunksjonen: Her er prisen ikkje konstant. Vi multipliserer pris og mengd:

I(x) = p(x) \cdot x = (100 - 2x) \cdot x = 100x - 2x^2

Legg merke til kvadratet — typisk for monopolist.

Overskotsfunksjonen:
$O(x) = I(x) - K(x) = 100x - 2x^2 - 200 - 20x = -2x^2 + 80x - 200$

Maksimum: $O'(x) = -4x + 80 = 0 \Rightarrow x = 20$ .

Andre deriverte: $O''(x) = -4 < 0$ ✓ Det er eit maksimum.

Pris og overskot ved maksimum:
- $p(20) = 100 - 2 \cdot 20 = 60$ kr
- $O(20) = -2 \cdot 400 + 1\,600 - 200 = 600$ kr

Monopolisten bør produsere $20$ einingar, ta ein pris på $60$ kr, og tene $600$ kr i overskot.

Det er freistande å tru at maks omsetnad er maks profitt. Det er feil. I eksempel 2: om monopolisten produserer $50$ einingar blir prisen $p(50) = 0$ — gratis kaffi! Inntekta blir 0, og overskotet blir negativt fordi vi framleis har kostnader.

Monopolisten møter ei avveging: meir kvantum tyder lågare pris. Optimum ligg mellom dei to ekstreme yttergrensene.

📊Inntekt og overskot for ein monopolist

Inntekta $I(x) = 100x - 2x^2$ er konkav (omvendt U). Overskotet $O(x) = -2x^2 + 80x - 200$ er òg konkavt, men har maks i eit anna punkt enn $I$ . Marker maksimumspunktet.

✏️Eksempel 3 — Profittmaksimering med pris-respons

Ei treningssenter-kjede møter etterspurnadsfunksjonen $p(x) = 120 - 0{,}5x$ (kr per medlem per månad). Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 200 + 20x$ . Finn optimalt tal medlemmer og maks overskot.

Inntektsfunksjon:

I(x) = (120 - 0{,}5x) \cdot x = 120x - 0{,}5x^2

Overskotsfunksjon:
$O(x) = 120x - 0{,}5x^2 - 200 - 20x = -0{,}5x^2 + 100x - 200$

Maksimum: $O'(x) = -x + 100 = 0 \Rightarrow x = 100$ medlemmer.

Pris og overskot:
- $p(100) = 120 - 50 = 70$ kr/mnd
- $O(100) = -5\,000 + 10\,000 - 200 = 4\,800$ kr

Dei kunne teke 100 kr/mnd, men då ville færre kjøpt. Dei kunne køyrt 200 medlemmer, men då hadde prisen falle for mykje. Den optimale balansen er 100 medlemmer til 70 kr — som gjev maksimalt månadleg overskot på 4 800 kr.

I eit diagram med $K(x)$ og $I(x)$ :
- Break-even er der grafane kryssar. Med ein konkav $I(x)$ kan det vere to slike punkt.
- Overskot er den vertikale avstanden $I(x) - K(x)$ når $I > K$ .
- Maks overskot er der avstanden mellom kurvene er størst — der tangentane til $I$ og $K$ har same stigning, dvs. $I'(x) = K'(x)$ . Dette er kjerna i kapittel 6.3.

✏️Eksempel 4 — Når lønner det seg å produsere?

Ei bedrift har overskotsfunksjon $O(x) = -x^2 + 50x - 500$ . Innanfor kva for eit intervall av $x$ er det lønsamt å produsere?

Lønsamt tyder

O(x) > 0

. Vi løyser likninga

O(x) = 0

først:

-x^2 + 50x - 500 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 50x + 500 = 0

Med kvadratformelen:
$x = \frac{50 \pm \sqrt{2\,500 - 2\,000}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{500}}{2} \approx \frac{50 \pm 22{,}36}{2}$

Nullpunkt: $x \approx 13{,}82$ og $x \approx 36{,}18$ .

Sidan parabelen vender nedover ( $O''(x) = -2 < 0$ ), er $O(x) > 0$ for $x \in (13{,}82, \; 36{,}18)$ .

Maksimum: $O'(x) = -2x + 50 = 0 \Rightarrow x = 25$ . Maksimalt overskot: $O(25) = -625 + 1\,250 - 500 = 125$ kr.

Konklusjon: Bedrifta bør berre produsere når $x$ er mellom $\sim 14$ og $\sim 36$ einingar, og helst produsere $25$ for maksimum.

✏️Eksempel 5 — Sjokk: kostnadene aukar

Ei bedrift sel til pris $50$ kr/stk, med kostnadsfunksjon $K(x) = 5\,000 + 30x$ . Plutseleg stig råvareprisane slik at variable kostnader aukar frå $30$ til $40$ kr/stk. Korleis endrar break-even seg?

Før prisauken:

x_{BE} = \frac{5\,000}{50 - 30} = \frac{5\,000}{20} = 250 \text{ einingar}

Etter prisauken:
$x_{BE} = \frac{5\,000}{50 - 40} = \frac{5\,000}{10} = 500 \text{ einingar}$

Break-even doblast. Bidraget per eining vert kutta i to (frå 20 til 10 kr), så bedrifta må selje dobbelt så mykje for å dekkje same faste kostnader.

Lærdom: Når marginane er små, gjev små kostnadsaukar store konsekvensar for kva ein må selje for å overleve. Dette er ein sentral risikofaktor i lågmargin-bransjar.

✏️Eksempel 6 — Produktmiks under tidsknappleik

Eit bakeri har $1\,000$ arbeidstimar per månad. Produkt A bruker $2$ timar og gjev bidrag $30$ kr/stk. Produkt B bruker $4$ timar og gjev bidrag $50$ kr/stk. Kva for eit produkt bør bakeriet prioritere om det berre har tid til eitt av dei?

Bidrag per knapp ressurs (per time):
- A:

30 / 2 = 15

kr per time
- B:

50 / 4 = 12{,}50

kr per time

Avgjerd: A gjev høgare bidrag per time. Bakeriet bør produsere berre A.

Totalt bidrag:
- Om berre A: $1\,000 / 2 = 500$ einingar, bidrag $= 500 \cdot 30 = 15\,000$ kr.
- Om berre B: $1\,000 / 4 = 250$ einingar, bidrag $= 250 \cdot 50 = 12\,500$ kr.

Differanse: $2\,500$ kr i favør A.

Generelt prinsipp: Når ein ressurs er knapp, bør han brukast på det produktet som gjev høgast bidrag per eining av den knappe ressursen — ikkje det med høgast bidrag per produkt. Dette er ein grunnpilar i lineær programmering.

📜Formelsamling — inntekt og overskot

Omgrep	Formel	Tolking
Inntekt (pristakar)	$I(x) = p \cdot x$	Rett linje
Inntekt (monopolist)	$I(x) = p(x) \cdot x$	Krev produktregel
Overskot	$O(x) = I(x) - K(x)$	Profitt
Break-even	$O(x) = 0$	Null i overskot
Break-even (lineær)	$x_{BE} = FK / (p - v)$	Krev $p > v$
Bidrag per eining	$p - v$	Dekkjer faste kostnader
Maks overskot	$O'(x) = 0$ , $O''(x) < 0$	Optimal produksjon

📝Oppgave 1

Pris $40$ kr/stk. $K(x) = 1\,500 + 25x$ .

Set opp $O(x)$ .

Finn break-even.

Kva er overskotet ved $x = 200$ ?

Kva er bidrag per eining?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Pris $120$ kr/stk. $K(x) = 24\,000 + 60x$ .

Bidrag per eining?

Finn break-even.

Overskot ved $x = 500$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Ein monopolist har $p(x) = 60 - x$ og $K(x) = 200 + 10x$ .

Set opp $I(x)$ .

Set opp $O(x)$ .

Finn $x^*$ som maksimerer $O$ .

Kva er maks overskot?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

p(x) = 100 - x

K(x) = 400 + 20x

I(x) = ?

O(x) = ?

Optimal produksjon.

Maks overskot.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Eit selskap lanserer eit nytt produkt. Faste kostnader er $100\,000$ kr/mnd (løn til marknadsføring og utvikling). Variable kostnader $200$ kr per eining. Salspris $350$ kr.

Bidrag per eining?

Kor mange einingar trengst for break-even? (oppgi to desimalar)

Kor mange einingar må seljast for å nå eit månadleg overskot på $50\,000$ kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Ei bedrift har $K(x) = 5\,000 + 30x$ og pris $p = 50$ kr.

Rekn ut opphavleg break-even.

Råvareprisane stig slik at variable kostnader aukar til $40$ kr per eining. Kva blir ny break-even?

Med kor mange prosent auka break-even-punktet?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Ein kafé har $400$ arbeidstimar per månad. To produkt:
- Kake: $0{,}5$ timar per stk, $20$ kr bidrag/stk
- Lunsj: $1{,}5$ timar per stk, $50$ kr bidrag/stk

Kafeen kan berre lage eitt av produkta.

Bidrag per time for kake?

Bidrag per time for lunsj (oppgi to desimalar).

Kva for eit produkt gjev mest bidrag totalt?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Tenk: Ei bedrift har ein konkav inntektsfunksjon (omvendt U) og ein konveks kostnadsfunksjon (vanleg U eller stigande). Argumenter utan rekning at ho har eitt eintydig maks overskot.

Forklar kvifor $O(x) = I(x) - K(x)$ må vere konkav.

Kvifor har ein konkav funksjon maksimum eitt maksimum?

Kvifor er denne strukturen vanleg i økonomi?

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Inntektsfunksjon: $I(x) = p \cdot x$ for ein pristakar.
- Overskot: Differansen mellom inntekt og kostnad, $O(x) = I(x) - K(x)$ .
- Break-even: Punktet der inntekt er lik kostnad.
- Diagram: Overskotet er den vertikale avstanden mellom inntekts- og kostnadskurva.

Viktige formlar

O(x) = I(x) - K(x), \qquad x_{BE} = \frac{FK}{p - v}

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Inntektsfunksjon	$I(x) = p \cdot x$
Overskot	Inntekt minus kostnad
Break-even	Der inntekt = kostnad
Pristakar	Bedrift som tek prisen som gjeven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.