6.2 Inntekts- og overskuddsfunksjoner

Inntekt er ikke det samme som overskudd

Bedriften din selger kaffe for $80$ kr per pakke. Selger du $100$ pakker, har du tjent $8\,000$ kr i inntekt. Men er det det samme som overskudd? Og er det vits i å selge mer hvis hver ekstra pakke koster mer å lage enn du får inn for den?

For å svare trenger vi tre funksjoner som henger tett sammen. Inntektsfunksjonen $I(x)$ gir total inntekt ved salg av $x$ enheter. Er prisen konstant -- altså at bedriften er pristager i et marked med mange små aktører -- er $I(x)=p\cdot x$, en rett linje gjennom origo. Avhenger prisen derimot av mengden, fordi bedriften er monopolist eller møter en etterspørselsfunksjon $p(x)$, blir $I(x)=p(x)\cdot x$, og kurven blir typisk konkav, som en omvendt U.

Den andre funksjonen er kostnaden $K(x)$ fra forrige kapittel. Den tredje, og kanskje viktigste, er deres differanse -- overskuddsfunksjonen
$$O(x)=I(x)-K(x).$$
Når $O(x)>0$ går bedriften med overskudd, når $O(x)<0$ med underskudd, og når $O(x)=0$ er den i break-even og dekker akkurat kostnadene sine. Målet for en rasjonell bedrift er å finne det produksjonsnivået $x^\ast$ som maksimerer $O(x)$.

Break-even og bidraget per enhet

La oss ta en konkret kaffebedrift som selger pakker for $80$ kr per stykk, med faste kostnader på $12\,000$ kr i måneden og variable kostnader på $28$ kr per pakke. Inntekten er $I(x)=80x$, kostnaden $K(x)=12\,000+28x$, og dermed blir overskuddet
$$O(x)=80x-(12\,000+28x)=52x-12\,000.$$
Break-even finner vi ved å sette $O(x)=0$: $52x=12\,000$, altså $x\approx 230{,}77$. Du må selge minst $231$ pakker i måneden for å gå i null.

Tallet $52=80-28$ er bidraget per enhet, også kalt dekningsbidraget: det hver solgte pakke bidrar med til å dekke de faste kostnadene. Generelt, når $I(x)=p\cdot x$ og $K(x)=FK+v\cdot x$, ligger break-even på
$$x_{BE}=\frac{FK}{p-v},$$
forutsatt at bidraget $p-v>0$. Er prisen lavere enn eller lik den variable kostnaden, er det umulig å gå i null, og bedriften bør ikke produsere i det hele tatt.

Dette bidraget er skjørt når marginene er små. Tenk deg en bedrift med pris $50$ kr og $K(x)=5\,000+30x$. Før en råvareprisøkning er $\displaystyle x_{BE}=\frac{5\,000}{50-30}=\frac{5\,000}{20}=250$ enheter. Stiger de variable kostnadene fra $30$ til $40$ kr, blir $\displaystyle x_{BE}=\frac{5\,000}{50-40}=\frac{5\,000}{10}=500$ enheter. Break-even dobles fordi bidraget kuttes i to. I lavmargin-bransjer gir små kostnadsøkninger altså store konsekvenser for hvor mye man må selge for å overleve.

Når prisen avhenger av mengden -- monopolistens avveiing

Så langt har vi antatt fast pris. Men en bedrift med markedsmakt møter en etterspørsel der prisen synker når den vil selge mer. Ta en monopolist med etterspørselsfunksjon $p(x)=100-2x$ og kostnad $K(x)=200+20x$. Nå er ikke prisen konstant, så vi må multiplisere pris og mengde for å få inntekten:
$$I(x)=(100-2x)\cdot x=100x-2x^2.$$
Kvadratet er signaturen til en prisetter. Overskuddet blir
$$O(x)=100x-2x^2-200-20x=-2x^2+80x-200.$$
Dette er en nedovervendt parabel. Vi finner toppen ved å derivere og sette likt null: $O'(x)=-4x+80=0$ gir $x=20$, og siden $O''(x)=-4<0$ er det et maksimum. Prisen blir $p(20)=100-2\cdot 20=60$ kr, og overskuddet $O(20)=-2\cdot 400+1\,600-200=600$ kr.

Det fristende feilgrepet er å tro at mest mulig produksjon gir mest profitt. Hvis monopolisten i stedet produserer $50$ enheter, blir prisen $p(50)=0$ -- gratis kaffe -- og inntekten faller til null mens kostnadene består. Monopolisten står overfor en avveiing: mer kvantum betyr lavere pris, og optimum ligger mellom de to ytterpunktene.

Grafisk er overskuddet den vertikale avstanden $I(x)-K(x)$ der inntekten ligger over kostnaden. Med en konkav inntektskurve kan det finnes to break-even-punkter, og det maksimale overskuddet ligger der avstanden mellom kurvene er størst -- der tangentene til $I$ og $K$ har samme stigning, altså $I'(x)=K'(x)$. Det er kjernen i neste kapittel. Et siste poeng om lønnsomhet: har en bedrift overskuddsfunksjon $O(x)=-x^2+50x-500$, er den lønnsom kun der $O(x)>0$. Nullpunktene fra kvadratformelen er $\displaystyle x=\frac{50\pm\sqrt{500}}{2}\approx 13{,}8$ og $36{,}2$, så bedriften bør bare produsere i intervallet mellom dem, og helst $x=25$ der toppen ligger.

Oppsummering

Inntekt og overskudd er to ulike størrelser. Inntektsfunksjonen er $I(x)=p\cdot x$ for en pristager med fast pris, og $I(x)=p(x)\cdot x$ for en prisetter som møter en synkende etterspørsel. Overskuddet er differansen $O(x)=I(x)-K(x)$, og break-even ligger der inntekt er lik kostnad, altså $O(x)=0$. For lineære kostnader gir dette den nyttige formelen $\displaystyle x_{BE}=\frac{FK}{p-v}$, der bidraget $p-v$ per enhet dekker de faste kostnadene -- og der små bidrag gjør break-even svært følsom for kostnadsøkninger.

Maksimalt overskudd finner vi ved å sette $O'(x)=0$ og sjekke at $O''(x)<0$. For en monopolist gir dette en avveiing mellom kvantum og pris: å produsere mest mulig presser prisen mot null og ødelegger inntekten. Grafisk er overskuddet avstanden mellom inntekts- og kostnadskurven, størst der de to kurvene har samme stigning. Det leder rett inn i marginalanalysen og likningen $MR=MC$ i neste kapittel.