6.3 Sannsynlighetsberegning | Matematikk 9. klasse

Beregne sannsynligheter for sammensatte hendelser.

50 min

14 oppgaver

SannsynlighetSammensatte hendelserProduktregelenSumregelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Sannsyn måler kor sannsynleg ei hending er på ein skala frå 0 (umogleg) til 1 (sikkert). For samansette hendingar bruker vi reglar for å kombinere sannsyn.

Grunnleggjande sannsyn

P(A) = \frac{\text{tal på gunstige utfall}}{\text{tal på moglege utfall}}

Ein standard kortstokk har 52 kort fordelt på 4 fargar:

Farge	Symbol	Farge på kortet
Hjarter	♥	Raud
Ruter	♦	Raud
Spar	♠	Svart
Kløver	♣	Svart

Kvar farge har 13 kort: Ess (1), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Knekt, Dame, Konge.
Nyttige tal:
- Totalt: 52 kort
- Kvar farge: 13 kort
- Raude kort: 26 (hjarter + ruter)

- Svarte kort: 26 (spar + kløver)

- Ess: 4 (eitt i kvar farge)
- Biletkort (knekt, dame, konge): 12 (3 per farge)

✏️Eksempel 1

Ein kortstokk har 52 kort. Finn sannsynet for å trekkje:
a) Eit ess
b) Ein ruter

a) Eit ess:
- Gunstige utfall: 4 ess
- Moglege utfall: 52 kort
-

\displaystyle P(\text{ess}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

b) Ein ruter:
- Gunstige utfall: 13 ruterkort
- Moglege utfall: 52 kort
- $\displaystyle P(\text{ruter}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

📝Oppgave 1

Finn sannsynet

Trekkje ei raud kule frå ein pose med 3 raude og 7 blå kuler. Oppgi svaret som brøk.

Kaste ein terning og få eit partal. Oppgi svaret som brøk.

Trekkje eit biletkort frå ein kortstokk (knekt, dame, konge). Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

Produktregelen (OG)

P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B)

✏️Eksempel 2

Du kastar ein mynt og ein terning. Finn sannsynet for å få kron OG 6.

Hendingane er uavhengige.

$\displaystyle P(\text{kron}) = \frac{1}{2}$

$\displaystyle P(6) = \frac{1}{6}$

$\displaystyle P(\text{kron og 6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \approx 8{,}3\%$

📝Oppgave 2

Bruk produktregelen

Kaste to terningar og få 6 på begge. Oppgi svaret som brøk.

Kaste ein mynt tre gonger og få kron alle gongene. Oppgi svaret som brøk.

Trekkje to kort (med tilbakelegging) og få to ess. Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

Sumregelen (ELLER)

P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B)

✏️Eksempel 3

Ein pose har 4 raude, 3 blå og 5 grøne kuler. Finn sannsynet for å trekkje raud ELLER blå.

Totalt: $4 + 3 + 5 = 12$ kuler

$\displaystyle P(\text{raud}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$\displaystyle P(\text{blå}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Hendingane er disjunkte (kan ikkje få begge samtidig):

$\displaystyle P(\text{raud eller blå}) = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \approx 58\%$

📝Oppgave 3

Bruk sumregelen

Terning: Få 1, 2 eller 3. Oppgi svaret som brøk.

Kortstokk: Trekkje spar eller kløver. Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Du kastar to terningar. Finn sannsynet for at summen er 7.

Gunstige utfall (sum = 7):
- (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
- Tal: 6

Totalt tal på utfall: $6 \cdot 6 = 36$

$\displaystyle P(\text{sum } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$

📝Oppgave 4

Løys dei samansette sannsynsoppgåvene

To terningar: Finn sannsynet for sum 11. Oppgi svaret som brøk.

Tre myntkast: Finn sannsynet for nøyaktig 2 kron. Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

Komplementært sannsyn

\overline{A}

✏️Eksempel 5

Du kastar ein terning 3 gonger. Finn sannsynet for å få minst éin seksar.

Strategi: Bruk komplementet - det er lettare å rekne ut "ingen seksarar".

$\displaystyle P(\text{ikkje 6}) = \frac{5}{6}$ for kvart kast

$\displaystyle P(\text{ingen seksarar på 3 kast}) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$

$\displaystyle P(\text{minst éin seksar}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 42\%$

📝Oppgave 5

Bruk komplementært sannsyn

Kaste ein mynt 4 gonger: Sannsyn for minst éin kron. Oppgi svaret som brøk.

Trekkje 2 kort (med tilbakelegging): Sannsyn for minst eitt ess. Oppgi svaret som brøk.

Kaste terning 2 gonger: Sannsyn for minst eitt partal. Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

Trediagram

Eit trediagram viser alle moglege utfall for samansette forsøk. Oppbygging : - Kvar grein representerer eitt utfall - Sannsyna blir skrivne langs greinene - Multiplikasjon langs ein sti gir sannsynet for den kombinasjonen - Addisjon av stiar gir sannsynet for "eller"

✏️Eksempel 6

Ein pose har 3 raude og 2 blå kuler. Du trekkjer éi kule, legg ho tilbake, og trekkjer igjen. Bruk trediagram til å finne sannsynet for å få to like fargar.

Trediagram med tilbakelegging

Vi har 3 raude og 2 blå kuler, totalt 5 kuler. Sannsyna er:
- $\displaystyle P(\text{raud}) = \frac{3}{5}$
- $\displaystyle P(\text{blå}) = \frac{2}{5}$

Første trekk	Andre trekk	Utrekning	Sannsyn
Raud	Raud	$\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}$	$\displaystyle \frac{9}{25}$
Raud	Blå	$\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$	$\displaystyle \frac{6}{25}$
Blå	Raud	$\displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}$	$\displaystyle \frac{6}{25}$
Blå	Blå	$\displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}$	$\displaystyle \frac{4}{25}$

To like fargar tyder Raud-Raud eller Blå-Blå:

P(\text{to like}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25} = 52\%

📝Oppgave 6

Bruk trediagram til å løyse oppgåvene

Kast mynt to gonger. Teikn trediagram og finn P(nøyaktig éin kron). Oppgi svaret som brøk.

Pose med 4 raude og 1 grøn kule (med tilbakelegging). Trekk 2 gonger. Finn P(minst éi grøn). Oppgi svaret som brøk.

Terning blir kasta 2 gonger. Finn P(summen er partal) ved å telje gunstige stiar. Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

Trekking utan tilbakelegging

\displaystyle P(\text{raud}) = \frac{3}{5}

✏️Eksempel 7

Frå ein kortstokk (52 kort) trekkjer du 2 kort UTAN tilbakelegging. Finn sannsynet for å få to ess.

Første trekk:

\displaystyle P(\text{ess}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

Andre trekk (gitt at første var ess):
$\displaystyle P(\text{ess}) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$

Begge ess:
$\displaystyle P = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221} \approx 0{,}45\%$

Samanlikning: Med tilbakelegging ville det vore $\displaystyle \frac{4}{52} \cdot \frac{4}{52} \approx 0{,}59\%$

📝Oppgave 7

Rekn med trekking utan tilbakelegging

Pose med 6 raude og 4 blå kuler. Trekk 2 utan tilbakelegging. Finn P(begge raude). Oppgi svaret som brøk.

Kortstokk: Trekk 2 kort utan tilbakelegging. Finn P(begge er hjarter). Oppgi svaret som brøk.

Klasse med 12 jenter og 8 gutar. Vel 2 elevar tilfeldig. Finn P(begge er jenter). Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Grunnleggjande sannsyn

Ein pose har 8 raude, 5 blå og 2 grøne kuler. Finn sannsynet for å trekkje ei blå kule. Oppgi svaret som brøk.

Finn sannsynet for å trekkje ei kule som IKKJE er raud. Oppgi svaret som brøk.

Eit lukkehjul har 12 like store felt: 4 raude, 3 blå, 3 grøne og 2 gule. Finn P(raud eller gul). Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Samansette hendingar med terningar

Du kastar to terningar. Finn sannsynet for at summen er 9. Oppgi svaret som brøk.

Finn sannsynet for at produktet av terningane er 12. Oppgi svaret som brøk.

Finn sannsynet for at differansen mellom terningane er 0 (like tal). Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Vilkårsbunde sannsyn og avhengige hendingar

Ei skuff har 10 kvite og 5 svarte sokkar. Du trekkjer 2 sokkar utan å sjå (utan tilbakelegging). Finn P(begge kvite). Oppgi svaret som brøk.

Finn P(eitt par like sokkar). Oppgi svaret som brøk.

Finn P(ulike sokkar). Oppgi svaret som brøk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Kompleks sannsynsrekning

Eit lotteri har 100 lodd, 10 gir gevinst. Du kjøper 3 lodd. Finn P(minst ein gevinst) med tilbakelegging. Oppgi svaret som brøk (bruk 1000 som nemnar).

Same lotteri, men UTAN tilbakelegging. Finn P(minst ein gevinst). Oppgi svaret som brøk (bruk 970200 som nemnar).

Kvifor er svaret i b) litt høgare enn i a)?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Praktiske sannsynsoppgåver

I ein klasse med 25 elevar er det 60% sannsyn for at minst 2 har same bursdag i same månad. Kvifor er dette høgare enn mange trur?

Ein test har 5 fleirvalsspørsmål med 4 alternativ kvar. Finn P(å gjette alle rett). Oppgi svaret som brøk.

Finn P(å gjette minst 4 av 5 rett). Oppgi svaret som brøk.

Ei dør har kode med 4 siffer (0-9). Kor mange forsøk treng du i verste fall for å finne koden?

Løs oppgaven Tren

Løys oppgåva

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sannsyn: Måler kor sannsynleg ei hending er, frå 0 (umogleg) til 1 (sikkert): $\displaystyle P(A) = \frac{\text{gunstige utfall}}{\text{moglege utfall}}$
- Produktregelen (OG): For uavhengige hendingar som begge skal skje: $P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B)$
- Sumregelen (ELLER): For disjunkte hendingar der minst éi skal skje: $P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B)$
- Komplementhending: Sannsynet for at noko IKKJE skjer: $P(\text{ikkje } A) = 1 - P(A)$
- Valtre: Systematisk oversikt over alle moglege utfall i samansette forsøk

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Utfallsrom	Mengda av alle moglege utfall
Gunstige utfall	Utfall som gir den hendinga vi er interesserte i
Uavhengige hendingar	Hendingar der den eine ikkje påverkar den andre
Disjunkte hendingar	Hendingar som ikkje kan skje samtidig
Komplementhending	Det motsette av ei hending ( $P(\text{ikkje } A) = 1 - P(A)$ )
Valtre	Diagram som viser alle moglege utfall systematisk

Viktige formlar

\displaystyle P(A) = \frac{\text{gunstige utfall}}{\text{moglege utfall}}

(grunnleggjande sannsyn)
-

P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B)

(produktregelen for uavhengige hendingar)
-

P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B)

(sumregelen for disjunkte hendingar)
-

P(\text{ikkje } A) = 1 - P(A)

(komplementregelen)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 7 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.