6.3 Sannsynlighetsberegning

Tilfeldighet med regler

Hva er sjansen for at det regner i morgen? For at du vinner i Lotto? For at du kaster en sekser med en terning? Vi lever i en verden full av usikkerhet, men matematikken gir oss verktøy for å måle denne usikkerheten.

Sannsynlighet er et tall mellom $0$ og $1$ (eller mellom $0\,\%$ og $100\,\%$) som beskriver hvor sannsynlig en hendelse er. $0$ betyr umulig, $1$ betyr sikkert, og alt imellom er ulike grader av usikkerhet.

La oss utforske reglene for å beregne sannsynligheter -- fra de enkleste terningkastene til mer avanserte kombinasjoner.

Grunnleggende sannsynlighet

Når alle utfall er like sannsynlige (som med en rettferdig terning eller mynt), kan vi beregne sannsynligheten med en enkel formel:

$$P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$$

La oss ta en vanlig terning med $6$ sider. Hvert kast har $6$ mulige utfall: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

- $\displaystyle P(\text{sekser}) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 = 16{,}7\,\%$
- $\displaystyle P(\text{partall}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$ (utfallene $2, 4, 6$)
- $\displaystyle P(\text{mindre enn 5}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%$ (utfallene $1, 2, 3, 4$)

Komplementregelen sier at sannsynligheten for at noe ikke skjer er:

$$P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$$

Sannsynligheten for å ikke kaste en sekser er $\displaystyle 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Denne regelen er veldig nyttig -- noen ganger er det lettere å beregne det motsatte og trekke fra.

Et utfallsrom (ofte kalt $\Omega$) er mengden av alle mulige utfall. For ett terningkast: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. En hendelse er en delmengde av utfallsrommet, for eksempel «partall» $= \{2, 4, 6\}$.

Sammensatte hendelser og valgtre

Hva skjer når vi gjør flere forsøk? Hvis du kaster en terning to ganger, eller trekker to kort, blir ting mer komplisert. Her bruker vi valgtre (også kalt trestruktur) for å holde oversikten.

Multiplikasjonsregelen

Når to hendelser er uavhengige (den ene påvirker ikke den andre), ganger vi sannsynlighetene:

$$P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B)$$

Du kaster en mynt og en terning. Sannsynligheten for krone OG sekser:

$$P(\text{krone og sekser}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$$

Valgtre

Et valgtre er et diagram der hver forgrening representerer et mulig utfall. Ved to myntkast får vi:

- Første kast: Krone (K) eller Mynt (M)
- Andre kast: Krone (K) eller Mynt (M)

Utfallsrommet er $\{KK, KM, MK, MM\}$ -- fire like sannsynlige utfall, hver med sannsynlighet $\displaystyle \frac{1}{4}$.

Sannsynligheten for nøyaktig en krone av to kast: Utfallene $KM$ og $MK$ gir en krone, så $\displaystyle P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Addisjonsregelen

Når to hendelser ikke kan skje samtidig (disjunkte hendelser), legger vi sammen sannsynlighetene:

$$P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B)$$

Sannsynligheten for å kaste $1$ eller $6$ med en terning: $\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Med og uten tilbakelegging

Noen ganger påvirker det første forsøket det neste. Tenk på en pose med $3$ røde og $2$ blå kuler.

Med tilbakelegging

$$P(\text{rød, rød}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$$

Uten tilbakelegging

$$P(\text{rød, rød}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

Etter at du har tatt ut en rød kule, er det bare $2$ røde igjen av $4$ kuler totalt.

Her er hendelsene avhengige -- utfallet av det første trekket påvirker sannsynligheten for det andre. Vi bruker betinget sannsynlighet: $P(B | A)$ betyr «sannsynligheten for $B$ gitt at $A$ har skjedd».

$$P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B | A)$$

Et valgtre er ekstra nyttig i slike situasjoner, fordi du kan skrive de oppdaterte sannsynlighetene langs hver gren.

Relativ frekvens og store talls lov

I praksis vet vi ikke alltid den teoretiske sannsynligheten. Hva er sannsynligheten for at et brødskive lander med smørsiden ned? Det finnes ingen formel -- men vi kan eksperimentere.

Hvis du slipper brødskiven $100$ ganger og den lander med smørsiden ned $62$ ganger, er den relative frekvensen:

$$\text{Relativ frekvens} = \frac{62}{100} = 0{,}62 = 62\,\%$$

Jo flere forsøk du gjør, jo nærmere vil den relative frekvensen komme den sanne sannsynligheten. Dette er store talls lov. Med $10$ kast av en rettferdig mynt kan du godt få $7$ krone ($70\,\%$), men med $10\,000$ kast vil andelen krone ligge svært nær $50\,\%$.

Viktig: Store talls lov betyr IKKE at myntene «husker» tidligere kast. Etter $10$ krone på rad er sannsynligheten for krone på neste kast fortsatt $\displaystyle \frac{1}{2}$. Hvert kast er uavhengig. Troen på at «det er på tide» med mynt etter mange krone kalles gamblerens feilslutning.

Oppsummering

Grunnleggende sannsynlighet med like sannsynlige utfall:

$$P(A) = \frac{\text{gunstige utfall}}{\text{mulige utfall}}$$

Komplementregelen: $P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$.

Multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser: $P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B)$.

Addisjonsregelen for disjunkte hendelser: $P(A \text{ eller } B) = P(A) + P(B)$.

Trekking uten tilbakelegging gir avhengige hendelser: $P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B|A)$.

Relativ frekvens er estimert sannsynlighet basert på eksperimenter. Store talls lov: jo flere forsøk, jo nærmere kommer den relative frekvensen den sanne sannsynligheten.

Valgtre er et uunnværlig verktøy for å holde oversikten over sammensatte hendelser -- tegn alltid et tre når du er i tvil!