12.2 Problemløsningsstrategier | Matematikk 9. klasse

Lær og bruk ulike strategier for matematisk problemløsning.

55 min

7 oppgaver

ProblemløsningStrategierModelleringKommunikasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Problemløysingsstrategiar

Har du nokon gong site fast på ei matteoppgåve utan å vite kvar du skal begynne? Då er du ikkje åleine. Matematisk problemløysing handlar ikkje berre om å kunne formlar — det handlar om å ha gode strategiar for å gå laus på problem.

Den ungarske matematikaren George Polya (1887–1985) utvikla ein berømt metode for problemløysing som framleis vert brukt over heile verda. I dette kapittelet skal du lære Polyas 4 steg og fleire konkrete strategiar som hjelper deg med å kome i gang og finne løysinga.

Strategiar du skal lære:
- Polyas 4 steg for problemløysing
- Teikne ein figur eller eit diagram
- Setje opp ei likning
- Jobbe baklengs
- Prøve og feile systematisk
- Dele opp i delproblem

Polyas 4 steg for problemløysing

George Polya skildra fire steg som hjelper deg med å løyse eitkvart matematisk problem: Steg 1: Forstå problemet - Les oppgåva nøye — gjerne fleire gonger - Kva er det du skal finne? - Kva informasjon har du fått? - Er det informasjon som manglar? - Kan du teikne ein figur eller skisse? Steg 2: Lag ein plan - Kva strategi passar best? (teikne figur, setje opp likning, prøve og feile, osv.) - Kjenner du att eit mønster frå tidlegare oppgåver? - Kan du dele problemet i mindre delar? Steg 3: Gjennomfør planen - Følg planen steg for steg - Vis utrekningane tydeleg - Viss du står fast, gå tilbake til steg 2 og prøv ein annan strategi Steg 4: Sjå tilbake - Er svaret rimeleg? - Har du svart på det oppgåva spurde om? - Kan du kontrollere svaret på ein annan måte? - Kva har du lært som du kan bruke på andre oppgåver?

Strategi: Teikne ein figur

x

Strategi: Jobbe baklengs

60 \text{ cm}^2

✏️Eksempel: Polyas 4 steg i praksis

Eit rektangulært jorde har ein omkrins på 56 m. Lengda er 4 m meir enn breidda. Finn lengda og breidda av jordet.

Steg 1: Forstå problemet
- Vi veit: Omkrinsen er 56 m. Lengda er 4 m meir enn breidda.
- Vi skal finne: Lengda og breidda.
- Vi kallar breidda

b

og lengda

l = b + 4

Steg 2: Lag ein plan
Vi set opp ei likning ved å bruke formelen for omkrins av eit rektangel: $O = 2l + 2b$ .

Steg 3: Gjennomfør planen

$O = 2l + 2b = 56$

Vi set inn $l = b + 4$ :

$2(b + 4) + 2b = 56$
$2b + 8 + 2b = 56$
$4b + 8 = 56$
$4b = 48$
$b = 12$

Altså er breidda $b = 12$ m og lengda $l = 12 + 4 = 16$ m.

Steg 4: Sjå tilbake

Kontroll: $O = 2 \cdot 16 + 2 \cdot 12 = 32 + 24 = 56$ m. Stemmer!
Lengda ( $16$ m) er $4$ m meir enn breidda ( $12$ m). Stemmer!

Svar: Breidda er 12 m og lengda er 16 m.

✏️Eksempel: Prøve og feile systematisk

Summen av to tal er 25. Produktet av tala er 150. Finn dei to tala.

Strategi: Prøve og feile systematisk

Vi veit at $a + b = 25$ og $a \cdot b = 150$ .

Vi prøver systematisk ved å starte med eit tal og sjekke:

$a$	$b = 25 - a$	$a \cdot b$	Stemmer?
10	15	150	Ja!

Vi trefte allereie! Men la oss sjå kva som hadde skjedd:

$a$	$b = 25 - a$	$a \cdot b$	For stort/lite?
5	20	100	For lite
8	17	136	For lite
10	15	150	Riktig!
12	13	156	For stort

Alternativt med likning: Vi kan òg setje opp $a(25 - a) = 150$ , som gjev $25a - a^2 = 150$ , altså $a^2 - 25a + 150 = 0$ . Med abc-formelen: $\displaystyle a = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 600}}{2} = \frac{25 \pm 5}{2}$ , som gjev $a = 15$ eller $a = 10$ .

Svar: Dei to tala er 10 og 15.

✏️Eksempel: Dele opp i delproblem

Ein bonde har eit L-forma jorde. Den eine delen er eit rektangel på 30 m $\times$ 20 m. Den andre delen er eit rektangel på 15 m $\times$ 10 m som heng fast i den eine kortsida.

a) Finn det totale arealet av jordet.
b) Bonden vil setje opp gjerde rundt heile jordet. Finn den totale gjerde-lengda (omkrinsen).

Strategi: Del opp i delproblem

a) Totalt areal:

Del 1 (stort rektangel): $A_1 = 30 \cdot 20 = 600 \text{ m}^2$

Del 2 (lite rektangel): $A_2 = 15 \cdot 10 = 150 \text{ m}^2$

Totalt: $A = 600 + 150 = 750 \text{ m}^2$

b) Omkrinsen:

Her må vi tenkje nøye. Det vesle rektangelet heng fast i kortsida (20 m) av det store. Vi må teikne figuren og summere alle yttersidene.

Yttersidene av L-figuren (vi følgjer langs kanten):
- Langside stor: $30$ m
- Kortside stor: $20$ m
- Ned langs det vesle rektangelet: $15$ m
- Bort langs det vesle rektangelet: $10$ m
- Opp igjen til det store: $20 - 10 = 10$ m (berre den delen som er utanfor det vesle rektangelet)
- Tilbake langs det store: $30 + 15 = 45$ m

Nei, la oss tenkje meir nøye. Kortsida av det store rektangelet er 20 m. Det vesle rektangelet er 10 m breitt og 15 m langt, festa til denne kortsida.

Omkrinsen: $30 + 20 + 15 + 10 + (30 - 15) + (20 - 10)$

Hmm, dette avheng av nøyaktig korleis L-en ser ut. La oss gå ut frå at det vesle rektangelet er festa nedst:

$O = 30 + 10 + 15 + 10 + (30 - 15) + 20 = 30 + 10 + 15 + 10 + 15 + 20 = 100$ m

Svar: Arealet er $750 \text{ m}^2$ og omkrinsen er $100$ m.

📝Oppgave 1

Bruk Polyas 4 steg til å løyse dette problemet:

Eit rektangel har omkrins 30 cm. Lengda er dobbelt så lang som breidda. Finn lengda og breidda.

Skriv tydeleg kva du gjer i kvart av dei fire stega.

📝Oppgave 2

Bruk strategien «teikne ein figur» til å løyse dette problemet:

Ein stige står inntil ein vegg. Stigens fot er 3 m frå veggen, og toppen av stigen når 4 m opp på veggen. Kor lang er stigen?

📝Oppgave 3

Bruk strategien «jobbe baklengs»:

Arealet av ein trekant er $54 \text{ cm}^2$ . Grunnlinja er 12 cm. Finn høgda.

📝Oppgave 4

Bruk strategien «prøve og feile systematisk»:

Volumet av ein terning er $512 \text{ cm}^3$ . Finn sidelengda.

Tips: Start med eit estimat og juster.

📝Oppgave 5

Bruk strategien «dele opp i delproblem»:

Ein T-forma figur er sett saman av to rektangel. Det øvste rektangelet er 10 cm breitt og 3 cm høgt. Det nedste rektangelet er 4 cm breitt og 7 cm høgt (sentrert under det øvste).

a) Finn det totale arealet av T-figuren.
b) Finn omkrinsen av T-figuren.

📝Oppgave 6

Vel sjølv ein passande strategi og løys dette problemet:

Eit rektangulært rom har areal $48 \text{ m}^2$ . Lengda er 2 m meir enn breidda. Finn lengda og breidda av rommet.

📝Oppgave 7

Ein rektangulær hage er 20 m lang og 12 m brei. Innanfor hagen skal det leggjast ein gangveg med lik breidd langs alle fire sider. Arealet av det attverande bedarealet (innanfor gangvegen) skal vere $140 \text{ m}^2$ .

Finn breidda på gangvegen.

📝Oppgave 8

Bruk ein passande strategi for å løyse denne oppgåva:

Ein bonde vil gjerde inn eit rektangulært område langs ei elv. Elva fungerer som den eine langsida, slik at det berre trengst gjerde på dei tre andre sidene. Bonden har 80 m gjerde.

a) Kall breidda $b$ og uttrykk lengda $l$ ved hjelp av $b$ .
b) Set opp eit uttrykk for arealet $A$ som funksjon av $b$ .
c) Bruk prøving til å finne breidda som gjev størst mogleg areal. (Hint: Prøv $b = 10, 15, 20, 25, 30$ .)

📝Oppgave F1

Finn feilen! Erik skal løyse denne oppgåva ved å jobbe baklengs:

«Eit tal vert ganga med 3, deretter vert det lagt til 7, og svaret er 28. Kva var det opphavlege talet?»

Erik reknar slik:

$28 \cdot 3 = 84$

$84 + 7 = 91$

Svaret er 91.

Finn feilen og skriv rett utrekning.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Å teikne ein figur er berre nyttig i geometrioppgåver.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Du har fått i oppgåve å finne summen av alle heile tal frå 1 til 100.

Drøft kva problemløysingsstrategiar som kan brukast til å løyse denne oppgåva. Prøv minst to ulike strategiar og samanlikn dei. Kva strategi synest du fungerer best, og kvifor?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Polyas 4 steg: Ein systematisk metode for å løyse problem: forstå, planleggje, gjennomføre og sjå tilbake
- Teikne figur: Å lage gode skisser med kjende mål og ukjende merkte med bokstavar for å visualisere problemet
- Jobbe baklengs: Å starte med det kjende sluttresultatet og gjere omvende operasjonar for å finne startverdien
- Systematisk prøving: Å organisere forsøk i tabellar for å finne løysinga steg for steg
- Dele opp i delproblem: Å bryte samansette problem ned i mindre, handterbare delar

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Polyas 4 steg	Forstå problemet, lag ein plan, gjennomfør planen, sjå tilbake
Teikne figur	Strategi der du lagar ein skisse med alle kjende og ukjende mål
Jobbe baklengs	Strategi der du startar med svaret og jobbar deg tilbake til utgangspunktet
Systematisk prøving	Å prøve verdiar på ein organisert måte, gjerne i ein tabell
Delproblem	Eit mindre problem som du løyser som ein del av eit større problem
Kontrollrekning	Å sjekke svaret ved å setje det tilbake i oppgåva

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.