12.2 Problemløsningsstrategier

Nar du star fast

Vi har alle vært der. Du sitter foran en matteoppgave, leser den tre ganger, og har fortsatt ingen anelse om hvor du skal begynne. Det er frustrerende, men helt normalt -- og det finnes en losning.

Den ungarske matematikeren George Polya (1887--1985) skrev en berømt bok kalt «How to Solve It» der han beskrev en systematisk metode for a angripe matematiske problemer. Metoden hans brukes den dag i dag, fra ungdomsskolen til universitetsniva.

Hovedbudskapet er dette: problemlosning er en ferdighet som kan laeres. Det handler ikke om a være et geni -- det handler om a ha gode strategier.

Polyas 4 steg

Polya delte problemlosning inn i fire steg:

Steg 1: Forsta problemet
Les oppgaven noye -- gjerne flere ganger. Hva er det du skal finne? Hvilken informasjon har du fatt? Er det informasjon som mangler? Kan du tegne en figur?

Steg 2: Lag en plan
Hvilken strategi passer best? Kjenner du igjen et monster fra tidligere oppgaver? Kan du dele problemet i mindre deler?

Steg 3: Gjennomfor planen
Folg planen steg for steg. Vis utregningene tydelig. Hvis du star fast, ga tilbake til steg 2 og prov en annen strategi.

Steg 4: Se tilbake
Er svaret rimelig? Har du svart pa det oppgaven spurte om? Kan du kontrollere svaret pa en annen mate?

La oss prove dette i praksis. Et rektangulært jorde har en omkrets pa 56 m. Lengden er 4 m mer enn bredden. Finn lengden og bredden.

Steg 1: Vi kaller bredden $b$ og lengden $l = b + 4$. Omkretsen er 56 m.

Steg 2: Vi bruker formelen $O = 2l + 2b$ og setter inn.

Steg 3:
$$2(b + 4) + 2b = 56$$
$$2b + 8 + 2b = 56$$
$$4b = 48$$
$$b = 12 \text{ m}, \quad l = 16 \text{ m}$$

Steg 4: Kontroll: $2 \cdot 16 + 2 \cdot 12 = 32 + 24 = 56$ m. Stemmer!

Strategi: Tegne en figur

A tegne en figur er kanskje den mest undervurderte strategien i matematikk. En god skisse gjor det lettere a se sammenhenger, identifisere rettvinklede trekanter, og holde oversikt over kjente og ukjente mal.

Eksempel: En stige star inntil en vegg. Stigens fot er 3 m fra veggen, og toppen nar 4 m opp pa veggen. Hvor lang er stigen?

Tegner du en figur, ser du umiddelbart at dette er en rettvinklet trekant der veggen og bakken er kateter, og stigen er hypotenusen:

$$s^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \implies s = 5 \text{ m}$$

Uten figuren ville du kanskje sett pa tallene 3 og 4 uten a vite hva du skulle gjore med dem. Med figuren er losningen opplagt.

Strategi: Jobbe baklengs

Noen ganger vet du svaret, men ikke utgangspunktet. Da kan du jobbe baklengs -- start med det du vet og gjor de omvendte operasjonene i omvendt rekkefolge.

Eksempel: Arealet av en trekant er $54 \text{ cm}^2$. Grunnlinjen er 12 cm. Finn hoyden.

Vi starter med arealformelen og loser for hoyden:
$$54 = \frac{12 \cdot h}{2} \implies 54 = 6h \implies h = 9 \text{ cm}$$

Kontroll: $\displaystyle \frac{12 \cdot 9}{2} = 54 \text{ cm}^2$. Stemmer!

Strategi: Dele opp i delproblemer

Store, sammensatte problemer kan virke overveldende. Trikset er a dele dem opp i mindre delproblemer som du kan lose ett om gangen.

Eksempel: En rektangulær hage er 20 m lang og 12 m bred. Det skal anlegges en gangvei med lik bredde $x$ langs alle fire sider. Arealet av det gjenværende bedet skal være $140 \text{ m}^2$. Finn bredden pa gangveien.

Delproblem 1: Finn malene pa det gjenværende bedet.
Bedet har lengde $20 - 2x$ og bredde $12 - 2x$ (vi trekker fra gangveiens bredde pa begge sider).

Delproblem 2: Sett opp likningen.
$$(20 - 2x)(12 - 2x) = 140$$

Delproblem 3: Los likningen.
$$240 - 40x - 24x + 4x^2 = 140$$
$$4x^2 - 64x + 100 = 0$$
$$x^2 - 16x + 25 = 0$$

Med abc-formelen:
$$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 100}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{156}}{2}$$

$x \approx 1{,}75$ m (den andre losningen er for stor).

Delproblem 4: Kontroller.
$(20 - 3{,}5)(12 - 3{,}5) = 16{,}5 \cdot 8{,}5 = 140{,}25 \approx 140$. Stemmer!

Ved a bryte opp det store problemet i fire mindre steg ble det handterbart.

Oppsummering

Problemlosning er en ferdighet som kan laeres. Polyas 4 steg gir deg en systematisk tilnærming:

1. Forsta problemet -- les noye, tegn figur, identifiser hva du vet og hva du soker
2. Lag en plan -- velg strategi (tegne figur, sette opp likning, prove og feile, jobbe baklengs, dele opp)
3. Gjennomfor planen -- vis mellomregning, vaer tydelig
4. Se tilbake -- kontroller svaret, er det rimelig?

De viktigste strategiene:
- Tegne en figur -- gjor sammenhenger synlige
- Sette opp en likning -- oversett ord til matematikk
- Jobbe baklengs -- start med det du vet om svaret
- Prove og feile systematisk -- bruk tabell, juster basert pa resultater
- Dele opp i delproblemer -- gjor det store problemet handterbart