12.2 Problemløsningsstrategier | Matematikk 9. klasse

Lær og bruk ulike strategier for matematisk problemløsning.

55 min

7 oppgaver

ProblemløsningStrategierModelleringKommunikasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Problemløsningsstrategier

Har du noen gang sittet fast på en matteoppgave uten å vite hvor du skal begynne? Da er du ikke alene. Matematisk problemløsning handler ikke bare om å kunne formler — det handler om å ha gode strategier for å angripe problemer.

Den ungarske matematikeren George Polya (1887–1985) utviklet en berømt metode for problemløsning som fortsatt brukes over hele verden. I dette kapittelet skal du lære Polyas 4 steg og flere konkrete strategier som hjelper deg med å komme i gang og finne løsningen.

Strategier du skal lære:
- Polyas 4 steg for problemløsning
- Tegne en figur eller et diagram
- Sette opp en likning
- Jobbe baklengs
- Prøve og feile systematisk
- Dele opp i delproblemer

Polyas 4 steg for problemløsning

George Polya beskrev fire steg som hjelper deg med å løse ethvert matematisk problem: Steg 1: Forstå problemet - Les oppgaven nøye — gjerne flere ganger - Hva er det du skal finne? - Hvilken informasjon har du fått? - Er det informasjon som mangler? - Kan du tegne en figur eller skisse? Steg 2: Lag en plan - Hvilken strategi passer best? (tegne figur, sette opp likning, prøve og feile, osv.) - Kjenner du igjen et mønster fra tidligere oppgaver? - Kan du dele problemet i mindre deler? Steg 3: Gjennomfør planen - Følg planen steg for steg - Vis utregningene tydelig - Hvis du står fast, gå tilbake til steg 2 og prøv en annen strategi Steg 4: Se tilbake - Er svaret rimelig? - Har du svart på det oppgaven spurte om? - Kan du kontrollere svaret på en annen måte? - Hva har du lært som du kan bruke på andre oppgaver?

Strategi: Tegne en figur

x

Strategi: Jobbe baklengs

60 \text{ cm}^2

✏️Eksempel: Polyas 4 steg i praksis

Et rektangulært jorde har en omkrets på 56 m. Lengden er 4 m mer enn bredden. Finn lengden og bredden av jordet.

Steg 1: Forstå problemet
- Vi vet: Omkretsen er 56 m. Lengden er 4 m mer enn bredden.
- Vi skal finne: Lengden og bredden.
- Vi kaller bredden

b

og lengden

l = b + 4

Steg 2: Lag en plan
Vi setter opp en likning ved å bruke formelen for omkrets av et rektangel: $O = 2l + 2b$ .

Steg 3: Gjennomfør planen

$O = 2l + 2b = 56$

Vi setter inn $l = b + 4$ :

$2(b + 4) + 2b = 56$
$2b + 8 + 2b = 56$
$4b + 8 = 56$
$4b = 48$
$b = 12$

Altså er bredden $b = 12$ m og lengden $l = 12 + 4 = 16$ m.

Steg 4: Se tilbake

Kontroll: $O = 2 \cdot 16 + 2 \cdot 12 = 32 + 24 = 56$ m. Stemmer!
Lengden ( $16$ m) er $4$ m mer enn bredden ( $12$ m). Stemmer!

Svar: Bredden er 12 m og lengden er 16 m.

✏️Eksempel: Prøve og feile systematisk

Summen av to tall er 25. Produktet av tallene er 150. Finn de to tallene.

Strategi: Prøve og feile systematisk

Vi vet at $a + b = 25$ og $a \cdot b = 150$ .

Vi prøver systematisk ved å starte med et tall og sjekke:

$a$	$b = 25 - a$	$a \cdot b$	Stemmer?
10	15	150	Ja!

Vi traff allerede! Men la oss se hva som hadde skjedd:

$a$	$b = 25 - a$	$a \cdot b$	For stort/lite?
5	20	100	For lite
8	17	136	For lite
10	15	150	Riktig!
12	13	156	For stort

Alternativt med likning: Vi kan også sette opp $a(25 - a) = 150$ , som gir $25a - a^2 = 150$ , altså $a^2 - 25a + 150 = 0$ . Med abc-formelen: $\displaystyle a = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 600}}{2} = \frac{25 \pm 5}{2}$ , som gir $a = 15$ eller $a = 10$ .

Svar: De to tallene er 10 og 15.

✏️Eksempel: Dele opp i delproblemer

En bonde har et L-formet jorde. Den ene delen er et rektangel på 30 m $\times$ 20 m. Den andre delen er et rektangel på 15 m $\times$ 10 m som henger fast i den ene kortsiden.

a) Finn det totale arealet av jordet.
b) Bonden vil sette opp gjerde rundt hele jordet. Finn den totale gjerde-lengden (omkretsen).

Strategi: Del opp i delproblemer

a) Totalt areal:

Del 1 (stort rektangel): $A_1 = 30 \cdot 20 = 600 \text{ m}^2$

Del 2 (lite rektangel): $A_2 = 15 \cdot 10 = 150 \text{ m}^2$

Totalt: $A = 600 + 150 = 750 \text{ m}^2$

b) Omkretsen:

Her må vi tenke nøye. Det lille rektangelet henger fast i kortsiden (20 m) av det store. Vi må tegne figuren og summere alle yttersidene.

Yttersidene av L-figuren (vi følger langs kanten):
- Langside stor: $30$ m
- Kortside stor: $20$ m
- Ned langs det lille rektangelet: $15$ m
- Bort langs det lille rektangelet: $10$ m
- Opp igjen til det store: $20 - 10 = 10$ m (bare den delen som er utenfor det lille rektangelet)
- Tilbake langs det store: $30 + 15 = 45$ m

Nei, la oss tenke mer nøye. Kortsiden av det store rektangelet er 20 m. Det lille rektangelet er 10 m bredt og 15 m langt, festet til denne kortsiden.

Omkretsen: $30 + 20 + 15 + 10 + (30 - 15) + (20 - 10)$

Hmm, dette avhenger av nøyaktig hvordan L-en ser ut. La oss anta at det lille rektangelet er festet nederst:

$O = 30 + 10 + 15 + 10 + (30 - 15) + 20 = 30 + 10 + 15 + 10 + 15 + 20 = 100$ m

Svar: Arealet er $750 \text{ m}^2$ og omkretsen er $100$ m.

📝Oppgave 1

Bruk Polyas 4 steg til å løse dette problemet:

Et rektangel har omkrets 30 cm. Lengden er dobbelt så lang som bredden. Finn lengden og bredden.

Skriv tydelig hva du gjør i hvert av de fire stegene.

📝Oppgave 2

Bruk strategien «tegne en figur» til å løse dette problemet:

En stige står inntil en vegg. Stigens fot er 3 m fra veggen, og toppen av stigen når 4 m opp på veggen. Hvor lang er stigen?

📝Oppgave 3

Bruk strategien «jobbe baklengs»:

Arealet av en trekant er $54 \text{ cm}^2$ . Grunnlinjen er 12 cm. Finn høyden.

📝Oppgave 4

Bruk strategien «prøve og feile systematisk»:

Volumet av en terning er $512 \text{ cm}^3$ . Finn sidelengden.

Tips: Start med et estimat og juster.

📝Oppgave 5

Bruk strategien «dele opp i delproblemer»:

En T-formet figur er satt sammen av to rektangler. Det øverste rektangelet er 10 cm bredt og 3 cm høyt. Det nederste rektangelet er 4 cm bredt og 7 cm høyt (sentrert under det øverste).

a) Finn det totale arealet av T-figuren.
b) Finn omkretsen av T-figuren.

📝Oppgave 6

Velg selv en passende strategi og løs dette problemet:

Et rektangulært rom har areal $48 \text{ m}^2$ . Lengden er 2 m mer enn bredden. Finn lengden og bredden av rommet.

📝Oppgave 7

En rektangulær hage er 20 m lang og 12 m bred. Innenfor hagen skal det anlegges en gangvei med lik bredde langs alle fire sider. Arealet av det gjenværende bedarealet (innenfor gangveien) skal være $140 \text{ m}^2$ .

Finn bredden på gangveien.

📝Oppgave 8

Bruk en passende strategi for å løse denne oppgaven:

En bonde vil gjerde inn et rektangulært område langs en elv. Elven fungerer som den ene langsiden, slik at det bare trengs gjerde på de tre andre sidene. Bonden har 80 m gjerde.

a) Kall bredden $b$ og uttrykk lengden $l$ ved hjelp av $b$ .
b) Sett opp et uttrykk for arealet $A$ som funksjon av $b$ .
c) Bruk prøving til å finne bredden som gir størst mulig areal. (Hint: Prøv $b = 10, 15, 20, 25, 30$ .)

📝Oppgave F1

Finn feilen! Erik skal løse denne oppgaven ved å jobbe baklengs:

«Et tall ganges med 3, deretter legges det til 7, og svaret er 28. Hva var det opprinnelige tallet?»

Erik regner slik:

$28 \cdot 3 = 84$

$84 + 7 = 91$

Svaret er 91.

Finn feilen og skriv riktig utregning.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Å tegne en figur er bare nyttig i geometrioppgaver.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: Du har fått i oppgave å finne summen av alle hele tall fra 1 til 100.

Drøft hvilke problemløsningsstrategier som kan brukes til å løse denne oppgaven. Prøv minst to ulike strategier og sammenlign dem. Hvilken strategi synes du fungerer best, og hvorfor?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Polyas 4 steg: En systematisk metode for å løse problemer: forstå, planlegge, gjennomføre og se tilbake
- Tegne figur: Å lage gode skisser med kjente mål og ukjente merket med bokstaver for å visualisere problemet
- Jobbe baklengs: Å starte med det kjente sluttresultatet og gjøre omvendte operasjoner for å finne startverdien
- Systematisk prøving: Å organisere forsøk i tabeller for å finne løsningen steg for steg
- Dele opp i delproblemer: Å bryte sammensatte problemer ned i mindre, håndterbare deler

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Polyas 4 steg	Forstå problemet, lag en plan, gjennomfør planen, se tilbake
Tegne figur	Strategi der du lager en skisse med alle kjente og ukjente mål
Jobbe baklengs	Strategi der du starter med svaret og jobber deg tilbake til utgangspunktet
Systematisk prøving	Å prøve verdier på en organisert måte, gjerne i en tabell
Delproblem	Et mindre problem som du løser som en del av et større problem
Kontrollregning	Å sjekke svaret ved å sette det tilbake i oppgaven

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.