3.2 Normalfordeling | Matematikk 2P

Normalfordelingen og bruk av standardavvik.

55 min

14 oppgaver

NormalfordelingStandardavvikEmpirisk regelZ-skår

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Beskrivende statistikk

Normalfordeling

Mange naturlege fenomen følgjer eit bestemt mønster: dei fleste verdiane samlar seg rundt gjennomsnittet, og det blir færre og færre verdiar di lenger vi kjem frå sentrum. Denne fordelinga blir kalla normalfordelinga og er ei av dei viktigaste i statistikk.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva normalfordelinga er og kva som kjenneteiknar henne
- Den empiriske regelen (68–95–99,7-regelen)
- Rekne ut og tolke z-skår
- Bruke normalfordelinga til å løyse praktiske problem

Normalfordelinga

\mu

✏️Eksempel: Normalfordelt høgd

Høgda til norske 18-årige gutar er tilnærma normalfordelt med gjennomsnitt $\mu = 180$ cm og standardavvik $\sigma = 7$ cm. Beskriv kva dette tyder.

Løysing:

- Dei fleste gutane har ei høgd nær 180 cm.
- Gjennomsnittet, medianen og typetalet er alle omtrent 180 cm.
- Standardavviket er 7 cm, som tyder at ein «typisk» avstand frå gjennomsnittet er 7 cm.
- Kurva er symmetrisk: like mange er høgare enn 180 cm som lågare.

Tolking: Fordelinga fortel oss at om lag halvparten av gutane er mellom 173 cm og 187 cm høge (innanfor eitt standardavvik frå gjennomsnittet).

📝Oppgave 1

Kva påstand om normalfordelinga er korrekt?

Den empiriske regelen (68–95–99,7)

\mu

Intervall	Del
$\mu \pm 1\sigma$	68 %
$\mu \pm 2\sigma$	95 %
$\mu \pm 3\sigma$	99,7 %

✏️Eksempel: Empirisk regel

Vekta til nyfødde barn er normalfordelt med $\mu = 3{,}5$ kg og $\sigma = 0{,}5$ kg. a) Mellom kva verdiar ligg 95 % av fødselsvektene? b) Kor stor del veg meir enn 4,5 kg?

Løysing:

a) 95 % ligg innanfor $\mu \pm 2\sigma$ :
$3{,}5 - 2 \cdot 0{,}5 = 2{,}5 \text{ kg}$
$3{,}5 + 2 \cdot 0{,}5 = 4{,}5 \text{ kg}$

Svar: 95 % av fødselsvektene ligg mellom 2,5 kg og 4,5 kg.

b) 4,5 kg er $\mu + 2\sigma$ . Sidan 95 % ligg innanfor $\mu \pm 2\sigma$ , ligg 5 % utanfor. Fordelinga er symmetrisk, så 2,5 % ligg over $\mu + 2\sigma$ .

Svar: Om lag 2,5 % av nyfødde veg meir enn 4,5 kg.

📊Utforsk: Normalfordelingskurva

Kurva viser normalfordelinga for høgder med gjennomsnitt $\mu = 170$ cm og standardavvik $\sigma = 6$ cm. Dei stipla linjene står ved $\mu - \sigma = 164$ og $\mu + \sigma = 176$ – om lag 68 % av arealet under kurva ligg mellom dei. Zoom inn rundt $x = 170$ for å sjå klokkeforma tydeleg.

📝Oppgave 2

Levetida til ein bestemt type lyspære er normalfordelt med $\mu = 1\,200$ timar og $\sigma = 100$ timar. a) Mellom kva verdiar ligg 68 % av levetidene? b) Kor stor del av lyspærene varer lenger enn 1 400 timar? c) Ein produsent garanterer at lyspæra varer minst 900 timar. Kor stor del vil ikkje oppfylle garantien?

📝Oppgave 3

IQ-skårar er normalfordelte med $\mu = 100$ og $\sigma = 15$ . Kor stor del har IQ mellom 85 og 115?

Z-skår (standardisert verdi)

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

✏️Eksempel: Samanlikne med z-skår

Kari fekk 78 poeng på ei norskprøve ( $\mu = 65$ , $\sigma = 10$ ) og 82 poeng på ei matteprøve ( $\mu = 70$ , $\sigma = 8$ ). Kva prøve gjorde ho det relativt best på?

Løysing:

Z-skår for norsk: $\displaystyle z = \frac{78 - 65}{10} = \frac{13}{10} = 1{,}3$

Z-skår for matte: $\displaystyle z = \frac{82 - 70}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5$

Tolking: Kari låg 1,3 standardavvik over gjennomsnittet i norsk og 1,5 standardavvik over gjennomsnittet i matte.

Svar: Kari gjorde det relativt best på matteprøva, sjølv om poengsummen var lågare i norsk. Z-skåren viser at ho var lenger over gjennomsnittet i matte.

📝Oppgave 4

Ola sprang 100 m på 12,2 sekund. Gjennomsnittstida i klassen var $\mu = 13{,}5$ s med $\sigma = 1{,}0$ s. a) Rekn ut z-skåren til Ola. b) Kor stor del av klassen var raskare enn Ola? (Bruk den empiriske regelen.) c) Ein annan elev hadde z-skår $z = 0{,}5$ . Kva var tida til denne eleven?

Bruke normalfordelinga i praksis

Normalfordelinga blir brukt i mange samanhengar:

Kvalitetskontroll: Ein fabrikk produserer skruar med diameter $\mu = 10{,}0$ mm og $\sigma = 0{,}05$ mm. Skruar utanfor $\mu \pm 2\sigma$ (altså under 9,90 mm eller over 10,10 mm) blir kasserte. Om lag 5 % blir kasserte.

Karakterar: Resultat på nasjonale prøver er ofte tilnærma normalfordelte. Z-skåren blir brukt til å plassere eleven på ein skala.

Medisin: Blodtrykk, kolesterolnivå og andre mål er tilnærma normalfordelte. Legar bruker normalfordelinga til å avgjere om ein verdi er «unormal».

Viktig: Ikkje alt er normalfordelt! Inntekt, bustadprisar og ventetider er typisk skeivfordelte og følgjer ikkje normalfordelinga.

📝Oppgave 5

Ein fabrikk produserer boltar med lengd normalfordelt med $\mu = 50$ mm og $\sigma = 0{,}2$ mm. Boltar utanfor $50 \pm 0{,}4$ mm blir kasserte. Kor stor del blir kassert?

📝Oppgave 6

Resultat på ei landsdekkjande matteprøve er normalfordelte med $\mu = 45$ poeng og $\sigma = 12$ poeng. a) Kva er z-skåren for ein elev som fekk 60 poeng? b) Mellom kva poengverdiar ligg 95 % av resultata? c) Ein elev treng minst 69 poeng for å kvalifisere seg til ein konkurranse. Kor mange standardavvik over gjennomsnittet er dette? d) Om lag kor stor del kvalifiserer seg?

Oppsummering

- Normalfordelinga er symmetrisk og klokkeforma med $\mu =$ gjennomsnitt og $\sigma =$ standardavvik
- Empirisk regel: 68 % innanfor $\mu \pm \sigma$ , 95 % innanfor $\mu \pm 2\sigma$ , 99,7 % innanfor $\mu \pm 3\sigma$
- Z-skår: $z = (x - \mu) / \sigma$ – talet på standardavvik frå gjennomsnittet
- Z-skår gjer det mogleg å samanlikne verdiar frå ulike fordelingar
- Normalfordelinga blir brukt i kvalitetskontroll, medisin, utdanning og forsking
- Ikkje alt er normalfordelt – sjekk alltid at fordelinga passar

📝Oppgave 7

Høgda til jenter i ein VG2-klasse er tilnærma normalfordelt med $\mu = 167$ cm og $\sigma = 6$ cm. a) Mellom kva høgder ligg 68 % av jentene? b) Ei jente er 179 cm. Rekn ut z-skåren og kommenter resultatet. c) Kor stor del av jentene er under 155 cm? d) Skulen skal bestille treningsdrakter. Dei planlegg å ha storleikar som dekkjer 95 % av jentene. Kva høgdeintervall må dei dekkje?

📝Oppgave 8

To elevar samanliknar resultata sine på tre ulike prøver:

Prøve	Resultatet til Ole	Resultatet til Kari	Gjennomsnitt (μ)	Standardavvik (σ)
Norsk	72	68	60	8
Matte	55	48	50	5
Engelsk	80	85	75	10

a) Rekn ut z-skåren for begge elevane på alle tre prøvene. b) Kven gjorde det relativt best totalt sett? Grunngi med z-skårar. c) På kva prøve var skilnaden mellom elevane størst (målt i z-skår)?

📝Oppgave 9

Blodtrykket (systolisk) hos friske vaksne er normalfordelt med $\mu = 120$ mmHg og $\sigma = 15$ mmHg. Ein person har blodtrykk 150 mmHg. Kva er z-skåren, og kva tyder han?

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.