1.6 Prosent, prosentpoeng og vekstfaktor

Prosent av eit tal, prosentvis endring, prosentpoeng, vekstfaktor, fleire endringar etter kvarandre og prosent i økonomi.

75 min

27 oppgaver

ProsentProsentvis endringProsentpoengVekstfaktorFleire endringarMeirverdiavgift

Din fremgang i kapitlet

0 / 27 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.7Indeks, kroneverdi og reallønn

Prosent, prosentpoeng og vekstfaktor

Prosent blir brukt overalt der noko blir samanlikna eller endrar seg: prisar, løn, renter, valresultat og statistikk. I dette kapittelet ser vi på

- prosent av eit tal og del i prosent
- prosentvis endring
- skilnaden på prosent og prosentpoeng
- vekstfaktor, og korleis vi finn ny verdi og opphavleg verdi
- fleire prosentvise endringar etter kvarandre
- prosent i økonomi: meirverdiavgift, rabatt og påslag

Prosent og del

1\,\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01

✏️Eksempel 1: Prosent av eit tal og del i prosent

a) Kor mykje er $15\,\%$ av $3\,400$ kr?

b) På ein skule har $168$ av $240$ elevar i VG2 deltidsjobb. Kor mange prosent er det?

$\frac{15}{100} \cdot 3\,400 = 0{,}15 \cdot 3\,400 = 510$

Svar: $15\,\%$ av $3\,400$ kr er $510$ kr.

$\frac{168}{240} \cdot 100\,\% = 0{,}70 \cdot 100\,\% = 70\,\%$

Svar: $70\,\%$ av elevane har deltidsjobb.

✏️Eksempel 2: Finne det heile

På ein fjelltur gjekk $85\,\%$ av deltakarane heile vegen til toppen. $6$ deltakarar snudde undervegs. Kor mange deltakarar var med på turen?

Dei som snudde, utgjer

100\,\% - 85\,\% = 15\,\%

$0{,}15 \cdot G = 6$

$G = \frac{6}{0{,}15} = 40$

Kontroll: $0{,}85 \cdot 40 = 34$ og $34 + 6 = 40$ .

Svar: $40$ deltakarar var med på turen.

📝Oppgave 1

Rekn ut utan digitale hjelpemiddel.

Kor mykje er $30\,\%$ av $860$ ?

Kor mykje er $7{,}5\,\%$ av $2\,400$ kr?

Kor mykje er $125\,\%$ av $64$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

I ein klasse er det $28$ elevar. $21$ av dei har førarkort for moped eller bil.

Kor mange prosent av elevane har førarkort?

Kor mange prosent av elevane har ikkje førarkort?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

På ein konsert var $1\,440$ sete i salen opptekne. Det var $96\,\%$ av seta.

Kor mange sete er det i salen?

Kor mange sete var ledige?

Løs oppgaven

Prosentvis endring

\begin{aligned} &\text{prosentvis endring} \\ = {}&\frac{\text{ny verdi} - \text{opphavleg verdi}}{\text{opphavleg verdi}} \cdot 100\,\% \end{aligned}

✏️Eksempel 3: Prosentvis auke og nedgang

a) Prisen på eit månadskort auka frå $240$ kr til $282$ kr. Kor mange prosent auka prisen med?

b) Verdien av ein brukt mobil sokk frå $640$ kr til $512$ kr på eitt år. Kor mange prosent sokk verdien med?

$282 - 240 = 42$

$\frac{42}{240} \cdot 100\,\% = 17{,}5\,\%$

Svar: Prisen auka med $17{,}5\,\%$ .

$512 - 640 = -128$

$\frac{-128}{640} \cdot 100\,\% = -20\,\%$

Svar: Verdien sokk med $20\,\%$ .

📝Oppgave 4

Finn den prosentvise endringa.

Prisen på ei vare går frå $250$ kr til $290$ kr.

Talet på besøkjande går frå $1\,200$ til $1\,020$ .

Talet på abonnentar går frå $80$ til $200$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Ein butikk sel yoghurt i to tilbod: $3$ beger for $105$ kr eller $5$ beger for $150$ kr.

Finn prisen per beger i kvart tilbod.

Kor mange prosent lågare er prisen per beger i 5-pakninga enn i 3-pakninga?

Kor mange prosent høgare er prisen per beger i 3-pakninga enn i 5-pakninga? Forklar kvifor svaret ikkje blir det same som i b).

Løs oppgaven

Prosent og prosentpoeng

2\,\%

✏️Eksempel 4: Rente og oppslutnad

a) Renta på eit bustadlån auka frå $2{,}5\,\%$ til $3{,}0\,\%$ . Kor mange prosentpoeng og kor mange prosent auka renta med?

b) Eit parti fekk $12\,\%$ av stemmene ved eitt val og $15\,\%$ ved det neste. Kor mange prosentpoeng og kor mange prosent auka oppslutnaden med?

$3{,}0 - 2{,}5 = 0{,}5$

$\frac{0{,}5}{2{,}5} \cdot 100\,\% = 20\,\%$

Svar: Renta auka med $0{,}5$ prosentpoeng, som er ein auke på $20\,\%$ .

$15 - 12 = 3$

$\frac{3}{12} \cdot 100\,\% = 25\,\%$

Svar: Oppslutnaden auka med $3$ prosentpoeng, som er ein auke på $25\,\%$ .

Vanlege feller

- «Renta auka med $0{,}5\,\%$ » er feil når renta går frå $2{,}5\,\%$ til $3{,}0\,\%$ . Rett er $0{,}5$ prosentpoeng, eller $20\,\%$ .
- Prosentpoeng blir berre brukt når det som endrar seg, sjølv er eit prosenttal (rente, del, oppslutnad, ledigheit).
- Prosent seier ikkje åleine noko om talet. Eit parti kan få fleire stemmer sjølv om oppslutnaden i prosent går ned, dersom det er fleire som stemmer totalt.

📝Oppgave 6

Arbeidsløysa i ein kommune gjekk ned frå $4{,}0\,\%$ til $3{,}2\,\%$ .

Kor mange prosentpoeng gjekk arbeidsløysa ned?

Kor mange prosent gjekk arbeidsløysa ned?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Familien Berg har eit bustadlån på $2\,000\,000$ kr. Banken aukar renta frå $4{,}5\,\%$ til $4{,}75\,\%$ . Vi ser bort frå nedbetaling.

Kor mange prosentpoeng auka renta med?

Kor mange prosent auka renta med?

Kor mykje meir må familien betale i renter per år?

Ei avis skreiv: «Renta auka med 0,25 prosent.» Kva burde det ha stått?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Eit parti fekk $18{,}0\,\%$ av stemmene ved eitt stortingsval og $13{,}5\,\%$ ved det neste. Tala er tenkte.

Kor mange prosentpoeng gjekk partiet tilbake?

Kor mange prosent gjekk oppslutnaden tilbake?

Ved det siste valet vart det gitt $2\,900\,000$ godkjende stemmer. Kor mange stemmer fekk partiet?

Løs oppgaven

📜Vekstfaktor

Når ein verdi

G

aukar med

p\,\%

, legg vi

p\,\%

G

til

G

$G + \frac{p}{100} \cdot G = G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Når verdien minkar med $p\,\%$ , trekkjer vi frå:

$G - \frac{p}{100} \cdot G = G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

Talet vi gongar med, kallar vi vekstfaktoren $v$ :

$\text{ny verdi} = \text{opphavleg verdi} \cdot v$

Endring	Vekstfaktor
auke på $12\,\%$	$1 + 0{,}12 = 1{,}12$
nedgang på $8\,\%$	$1 - 0{,}08 = 0{,}92$
auke på $150\,\%$	$1 + 1{,}50 = 2{,}5$
nedgang på $0{,}5\,\%$	$1 - 0{,}005 = 0{,}995$

Motsett veg: Vekstfaktoren

0{,}85

tyder ein nedgang på

15\,\%

, og

1{,}035

tyder ein auke på

3{,}5\,\%

. Er

v > 1

, er det ein auke; er

v < 1

, er det ein nedgang.

✏️Eksempel 5: Finne ny verdi med vekstfaktor

a) Ei månadsløn på $12\,400$ kr for ein deltidsjobb aukar med $6\,\%$ . Kva blir den nye løna?

b) Ein sykkel til $18\,000$ kr blir seld med $35\,\%$ rabatt. Kva er tilbodsprisen?

$v = 1 + 0{,}06 = 1{,}06$

$12\,400 \cdot 1{,}06 = 13\,144$

Svar: Den nye løna er $13\,144$ kr.

$v = 1 - 0{,}35 = 0{,}65$

$18\,000 \cdot 0{,}65 = 11\,700$

Svar: Tilbodsprisen er $11\,700$ kr.

✏️Eksempel 6: Finne opphavleg verdi

Ein jakke kostar $1\,360$ kr etter $20\,\%$ rabatt. Kva kosta jakken før rabatten?

v = 1 - 0{,}20 = 0{,}80

$G \cdot 0{,}80 = 1\,360$

$G = \frac{1\,360}{0{,}80} = 1\,700$

Kontroll: $1\,700 \cdot 0{,}80 = 1\,360$ .

Svar: Jakken kosta $1\,700$ kr før rabatten.

Baklengs: del på vekstfaktoren

Rabatten på $20\,\%$ er rekna av den opphavlege prisen, ikkje av $1\,360$ kr. Å leggje $20\,\%$ til $1\,360$ kr gir $1\,360 \cdot 1{,}20 = 1\,632$ kr, som er feil. Frå ny verdi tilbake til opphavleg verdi deler vi alltid på vekstfaktoren:

$\text{opphavleg verdi} = \frac{\text{ny verdi}}{v}$

📝Oppgave 9

Finn vekstfaktoren eller den prosentvise endringa.

Auke på $14\,\%$ . Finn vekstfaktoren.

Nedgang på $6\,\%$ . Finn vekstfaktoren.

Vekstfaktoren er $1{,}025$ . Finn den prosentvise endringa.

Vekstfaktoren er $0{,}7$ . Finn den prosentvise endringa.

Auke på $200\,\%$ . Finn vekstfaktoren.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Bruk vekstfaktor til å finne den nye verdien.

Ein pris på $4\,800$ kr aukar med $15\,\%$ .

Ein verdi på $3\,750$ kr søkk med $24\,\%$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Finn den opphavlege verdien.

Etter ein prisauke på $25\,\%$ kostar ei vare $4\,500$ kr. Kva kosta vara før auken?

Etter $15\,\%$ rabatt kostar ei vare $2\,125$ kr. Kva var prisen før rabatten?

Talet på reisande med ei ny bussrute auka med $250\,\%$ frå første til andre driftsår, til $42\,000$ . Kor mange reiste med ruta det første året?

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Ida fekk eit lønstillegg på $2{,}5\,\%$ . Det gav $1\,150$ kr meir i månadsløn.

Kva var månadsløna hennar før tillegget?

Kor mange kroner hadde tillegget vore om det hadde vore $4\,\%$ ?

Løs oppgaven

📜Fleire endringar etter kvarandre

Endrar ein verdi seg først med vekstfaktoren

v_1

og deretter med

v_2

, gongar vi med begge:

$\text{ny verdi} = G \cdot v_1 \cdot v_2$

Den samla vekstfaktoren er $v_1 \cdot v_2$ . Prosentane kan ikkje leggjast saman, fordi den andre endringa blir rekna av ein annan grunnverdi enn den første.

✏️Eksempel 7: Først opp 20 %, så ned 20 %

Ei vare kostar $500$ kr. Prisen blir først sett opp med $20\,\%$ og deretter ned med $20\,\%$ . Kva kostar vara no, og kva er den samla prosentvise endringa?

500 \cdot 1{,}20 = 600

$600 \cdot 0{,}80 = 480$

$v = 1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96$

$0{,}96 - 1 = -0{,}04 = -4\,\%$

Svar: Vara kostar $480$ kr. Samla har prisen gått ned med $4\,\%$ .

✏️Eksempel 8: Samla prosentvis endring

Prisen på straum auka med $5\,\%$ det første året og med $8\,\%$ det andre året, og sokk med $10\,\%$ det tredje året. Finn den samla prosentvise endringa over dei tre åra.

v = 1{,}05 \cdot 1{,}08 \cdot 0{,}90 = 1{,}0206

$1{,}0206 - 1 = 0{,}0206 = 2{,}06\,\%$

Svar: Samla auka prisen med om lag $2{,}1\,\%$ (ikkje $5 + 8 - 10 = 3\,\%$ ).

📝Oppgave 13

Ei vare kostar $800$ kr.

Prisen blir sett opp med $25\,\%$ og deretter ned med $20\,\%$ . Kva kostar vara etterpå?

Prisen blir i staden sett ned med $20\,\%$ og deretter opp med $20\,\%$ . Kva kostar vara no, og kva er den samla endringa i prosent?

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Eit aksjefond steig $12\,\%$ det første året, sokk $8\,\%$ det andre året og steig $5\,\%$ det tredje året.

Finn den samla prosentvise endringa over dei tre åra.

Martin sette inn $50\,000$ kr i fondet ved starten av det første året. Kor mykje var delane verde etter tre år?

Løs oppgaven

Meirverdiavgift, rabatt og påslag

25\,\%

✏️Eksempel 9: Påslag og mva

Ein butikk kjøper inn ei lampe for $400$ kr. Butikken legg på $60\,\%$ og deretter $25\,\%$ mva. Kva blir utsalsprisen?

400 \cdot 1{,}60 = 640

$640 \cdot 1{,}25 = 800$

Svar: Utsalsprisen er $800$ kr.

✏️Eksempel 10: Pris utan mva

Ei rekning frå ein verkstad er på $1\,250$ kr med $25\,\%$ mva. Kor mykje er prisen utan mva, og kor mykje er mva-beløpet?

\frac{1\,250}{1{,}25} = 1\,000

$1\,250 - 1\,000 = 250$

Kontroll: $250$ er $20\,\%$ av $1\,250$ .

Svar: Prisen utan mva er $1\,000$ kr, og mva-beløpet er $250$ kr.

📝Oppgave 15

Meirverdiavgift. Bruk $25\,\%$ mva der ikkje anna er oppgitt.

Ein PC kostar $2\,960$ kr utan mva. Kva kostar han med mva?

Ei teneste kostar $1\,875$ kr med mva. Finn prisen utan mva og mva-beløpet.

Forklar at mva-beløpet alltid er $20\,\%$ av prisen med mva når satsen er $25\,\%$ .

Matvarer har $15\,\%$ mva. Ei handlekorg med mat kostar $345$ kr. Kor mykje av dette er mva?

Løs oppgaven

Gjenteken prosentvis endring

Endrar ein verdi seg med same prosent fleire periodar på rad, gongar vi med den same vekstfaktoren kvar gong. Etter $n$ periodar er verdien

$K \cdot v^n$

der $K$ er startverdien. Slike modellar kallar vi eksponentielle modellar, og dei er tema i kapittel 2.2 Eksponentielle modellar.

✏️Eksempel 11: Verditap over fleire år

Ein bil kosta $250\,000$ kr som ny. Verdien søkk med $12\,\%$ per år.

a) Kva er bilen verd etter $5$ år?

b) Kor mange prosent har verdien sokke med til saman?

$v = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$

$250\,000 \cdot 0{,}88^5 \approx 131\,933$

Svar: Bilen er verd om lag $131\,900$ kr.

$0{,}88^5 \approx 0{,}5277$

$0{,}5277 - 1 = -0{,}4723$

Svar: Verdien har sokke med om lag $47{,}2\,\%$ (ikkje $5 \cdot 12\,\% = 60\,\%$ ).

✏️Eksempel 12: Frå årleg til månadleg rente

Ein sparekonto gir $5\,\%$ effektiv rente per år, det vil seie at saldoen veks med $5\,\%$ i løpet av eit år. Rentene blir lagde til kvar månad med same månadlege vekstfaktor $x$ . Finn $x$ og den månadlege renta.

x^{12} = 1{,}05

GeoGebra CAS:

NLøys(x^12=1.05, x)

$x = \sqrt[12]{1{,}05} \approx 1{,}00407$

Kontroll: $1{,}00407^{12} \approx 1{,}0500$ .

Svar: Den månadlege vekstfaktoren er om lag $1{,}00407$ , altså om lag $0{,}407\,\%$ rente per månad.

Effektiv årsrente: ikkje del på 12

Når årsrenta er effektiv (den faktiske veksten over eit år), kan vi ikkje dele henne på 12. $\displaystyle \frac{5\,\%}{12} \approx 0{,}417\,\%$ per månad gir $1{,}00417^{12} \approx 1{,}0512$ , altså om lag $5{,}12\,\%$ per år. Renters rente gjer at månadsrenta må vere litt lågare enn årsrenta delt på $12$ .

Er årsrenta nominell, som for kredittkort og lån i delkapittel 1.2, er månadsrenta den nominelle renta delt på 12.

📝Oppgave 16

Butikk A og butikk B kjøper inn den same jakken for $600$ kr. Butikk A reknar ut utsalsprisen med uttrykket $600 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}8 \cdot 1{,}25$ , og butikk B med $600 \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}9 \cdot 1{,}25$ .

Forklar kva kvar faktor i uttrykket for butikk A tyder.

Kva for ein butikk har lågast pris på jakken?

Avgjer kva for ein butikk som er billigast utan å rekne ut prisane. Grunngi svaret.

📝Oppgave 17

Ein idrettsklubb har $486$ medlemmer i dag. Medlemstalet auka med $20\,\%$ det første av dei tre siste åra og sokk med $10\,\%$ kvart av dei to neste åra.

Forklar kva uttrykket $\dfrac{486}{1{,}2 \cdot 0{,}9^2}$ reknar ut.

Rekn ut kor mange medlemmer klubben hadde for tre år sidan.

Løs oppgaven

📝Oppgave 18

Eit rektangel har lengd $20$ cm og breidd $10$ cm. Lengda blir auka med $p\,\%$ , og breidda blir minka med $p\,\%$ .

Finn det nye arealet når $p = 10$ . Kor mange prosent endra arealet seg?

Vis at arealet alltid blir mindre, same kva verdi $p$ har (med $0 < p < 100$ ).

Kor mange prosent minkar arealet når $p = 30$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 19

Påstand: « $a\,\%$ av $b$ er alltid like mykje som $b\,\%$ av $a$ .»

Kontroller påstanden med $a = 8$ og $b = 50$ .

Vis at påstanden alltid stemmer.

Bruk dette til å rekne ut $36\,\%$ av $25$ i hovudet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 20

Gjenteken prosentvis endring. Bruk digitale hjelpemiddel.

Ein bil kosta $320\,000$ kr som ny og taper $15\,\%$ av verdien kvart år. Kva er bilen verd etter $4$ år, og kor mange prosent har verdien sokke med til saman?

Eit sparebeløp på $80\,000$ kr skal vekse til $100\,000$ kr på $5$ år med fast årleg rente. Kor høg må renta vere?

Løs oppgaven

📝Oppgave 21

Ein bank gir $6\,\%$ effektiv rente per år på ein sparekonto, det vil seie at saldoen veks med $6\,\%$ i løpet av eit år. Rentene blir lagde til kvar månad med same månadlege vekstfaktor. Bruk digitale hjelpemiddel.

Set opp ei likning for den månadlege vekstfaktoren x, og løys ho. Kor mange prosent er renta per månad?

Sofie set inn $20\,000$ kr. Kor mykje står på kontoen etter $8$ månader?

Sofie meiner månadsrenta er $\displaystyle \frac{6\,\%}{12} = 0{,}5\,\%$ . Vis at det gir meir enn $6\,\%$ rente per år.

Løs oppgaven

Oppsummering

- $p\,\%$ av $G$ er $\displaystyle \frac{p}{100} \cdot G$ . Del i prosent er $\displaystyle \frac{\text{del}}{\text{det heile}} \cdot 100\,\%$ .
- Prosentvis endring $= \dfrac{\text{ny} - \text{opphavleg}}{\text{opphavleg}} \cdot 100\,\%$ . Del alltid på verdien du samanliknar med.
- Prosentpoeng er differansen mellom to prosenttal. Prosent er den relative endringa.
- Vekstfaktor: $\displaystyle v = 1 + \frac{p}{100}$ ved auke og $\displaystyle v = 1 - \frac{p}{100}$ ved nedgang. Ny verdi $= G \cdot v$ .
- Opphavleg verdi $= \dfrac{\text{ny verdi}}{v}$ . Prosenten kan ikkje berre trekkjast frå.
- Fleire endringar: gong vekstfaktorane. $+20\,\%$ og så $-20\,\%$ gir $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ , altså $-4\,\%$ .
- Mva $25\,\%$ : gong med $1{,}25$ for å leggje til, del på $1{,}25$ for å trekkje frå.
- Same endring $n$ gonger: $K \cdot v^n$ . Frå årleg til månadleg vekstfaktor: løys $x^{12} = v$ .

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Grunnverdi	Verdien prosenten blir rekna av
Prosentpoeng	Differansen mellom to prosenttal
Vekstfaktor	Talet vi gongar med ved ei prosentvis endring
Samla vekstfaktor	Produktet av vekstfaktorane ved fleire endringar
Meirverdiavgift	Avgift på varer og tenester, generelt $25\,\%$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.