8.3 Lineær regresjon

Tilpasse lineære modellar til datasett med digitale verktøy.

40 min

10 oppgaver

SpreiingsdiagramLineær regresjonKorrelasjonr-verdiPrediksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Modellering med funksjoner

Brukes videre i

8.4Ikke-lineær regresjon

Frå datapunkt til modell

I mange situasjonar har vi eit sett med målte datapunkt, og vi ønskjer å finne ein matematisk funksjon som beskriv samanhengen mellom variablane. Denne prosessen blir kalla regresjon.

Det første steget er å lage eit spreiingsdiagram (òg kalla punktdiagram). Vi plottar datapunkta i eit koordinatsystem for å sjå om det er ein synleg trend:
- Ser punkta ut til å ligge langs ei rett linje? → Lineær regresjon
- Boga oppover eller nedover? → Polynomregresjon
- Eksponentiell vekst? → Eksponentialregresjon

Lineær regresjon

y = ax + b

Minste kvadraters metode

Regresjonslinja blir funnen med minste kvadraters metode. For kvart datapunkt ser vi på det loddrette avviket mellom punktet og linja, residualet:

$\text{residual} = \text{målt verdi} - \text{modellverdi}$

Kvart residual blir kvadrert, og kvadrata blir lagde saman. Regresjonslinja er den linja som gjer denne summen minst mogleg. Kvadreringa gjer at positive og negative avvik ikkje opphevar kvarandre, og at store avvik tel ekstra mykje.

GeoGebra gjer sjølve utrekninga. Det viktige er å forstå prinsippet.

Residual tyder avvik. Residualet for eit datapunkt er det loddrette avviket mellom datapunktet og regresjonslinja: målt verdi − modellverdi. Det er positivt når punktet ligg over linja. Dersom residuala er jamt fordelte rundt null og ikkje viser noko mønster, tyder det på at ein lineær modell passar godt.

Gjør dette i GeoGebra

Lineær regresjon i GeoGebra

Skriv inn datapunkta som ei liste og bruk RegLin-kommandoen for å finne regresjonslinja. Prøv å legge til, flytte eller fjerne punkt og sjå korleis linja endrar seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

liste = {(1, 2.1), (2, 3.8), (3, 6.2), (4, 7.9), (5, 10.1)}
RegLin(liste)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Døme 1 – Temperatur og issal

Ein iskremkiosk har registrert dagleg temperatur og talet på selde is i ei veke:

Temperatur (°C)	Tal på is
15	48
18	56
21	70
24	82
27	95
30	112
33	120

Bruk GeoGebra til å finne regresjonslinja. Tolk stigingstalet og konstantleddet.

liste = {(15, 48), (18, 56), (21, 70), (24, 82), (27, 95), (30, 112), (33, 120)}
RegLin(liste)

$y = 4{,}20x - 17{,}6$

Tolking:
- Stigingstalet $a \approx 4{,}20$ : For kvar grad temperaturen aukar, blir det i gjennomsnitt selt omtrent 4,2 fleire is.
- Konstantleddet $b \approx -17{,}6$ : Modellen gir $-17{,}6$ is ved 0 °C. Det er ikkje meiningsfullt (eit negativt tal is), og viser at modellen ikkje bør brukast for låge temperaturar.

Modellen gjeld i intervallet $15 \leq x \leq 33$ , der vi har data.

Svar: $y \approx 4{,}20x - 17{,}6$ . Salet aukar med omtrent 4,2 is per grad.

Korrelasjon

Korrelasjon måler styrken og retninga på den lineære samanhengen mellom to variablar. Korrelasjonskoeffisienten $r$ er eit tal mellom $-1$ og $1$ :

- $r = 1$ : Perfekt positiv korrelasjon (alle punkt på ei linje med positiv stiging)
- $r = -1$ : Perfekt negativ korrelasjon (alle punkt på ei linje med negativ stiging)
- $r = 0$ : Inga lineær korrelasjon
- $|r| > 0{,}8$ : Sterk korrelasjon
- $0{,}5 < |r| < 0{,}8$ : Moderat korrelasjon
- $|r| < 0{,}5$ : Svak korrelasjon

I GeoGebra finn du $r$ med kommandoen Korrelasjonskoeffisient(liste).

Korrelasjon og kausalitet

Korrelasjon tyder at to variablar har ein statistisk samanheng - dei endrar seg saman. Kausalitet tyder at endring i den eine variabelen forårsakar endring i den andre. Korrelasjon tyder IKKJE kausalitet. To variablar kan korrelere utan at den eine forårsakar den andre. Det kan finnast ein tredje variabel (ein bakanforliggjande variabel) som påverkar begge. Døme: Det er sterk korrelasjon mellom issal og talet på drukningsulukker. Det tyder ikkje at is forårsakar drukningsulukker - begge blir påverka av ein tredje variabel: varmt vêr.

✏️Døme 2 – Korrelasjon og prediksjon

Tabellen viser samanhengen mellom talet på timar brukt på lekser per veke ( $x$ ) og poengsum på ein prøve ( $y$ ) for 8 elevar:

Timar ( $x$ )	Poeng ( $y$ )
2	35
3	42
4	50
5	58
6	62
7	70
8	75
10	88

a) Finn regresjonslinja.
b) Finn korrelasjonskoeffisienten og vurder styrken.
c) Bruk modellen til å anslå poengsummen for ein elev som brukar 9 timar.

a) RegLin({(2,35),(3,42),(4,50),(5,58),(6,62),(7,70),(8,75),(10,88)})

$y \approx 6{,}58x + 23{,}0$

b) Korrelasjonskoeffisient({(2,35),(3,42),(4,50),(5,58),(6,62),(7,70),(8,75),(10,88)})

$r \approx 0{,}998$

Sidan $|r| > 0{,}8$ , er det ein sterk positiv korrelasjon. Den lineære modellen passar svært godt til dataa.

c)
$y = 6{,}58 \cdot 9 + 23{,}0$
$y = 59{,}22 + 23{,}0$
$y \approx 82$

Svar: Modellen anslår omtrent 82 poeng. $x = 9$ ligg mellom datapunkta $x = 8$ og $x = 10$ , så dette er interpolering, og anslaget er ganske påliteleg.

Merk: Sjølv om korrelasjonen er sterk, kan vi ikkje konkludere med at det berre er leksetimar som bestemmer poengsummen. Forkunnskapar og konsentrasjon spelar òg inn.

Lineær regresjon i GeoGebra:

liste = {(x₁, y₁), (x₂, y₂), …}
RegLin(liste)
Korrelasjonskoeffisient(liste)

Vurder om modellen passar: Sjå på $r$ og på om punkta ligg jamt fordelte rundt linja.

📝Oppgave 1

Forklar med eigne ord kva desse omgrepa tyder:

a) Regresjonslinje
b) Residual
c) Korrelasjon
d) Kvifor er det viktig å skilje mellom korrelasjon og kausalitet?

📝Oppgave 2

Tabellen viser samanhengen mellom alder ( $x$ , i månader) og høgd ( $y$ , i cm) for eit barn:

Alder (mnd)	0	3	6	9	12	18	24
Høgd (cm)	50	58	65	70	75	82	87

Bruk GeoGebra til å finne regresjonslinja og korrelasjonskoeffisienten.

Tolk stigingstalet i konteksten.

Bruk modellen til å anslå høgda ved 15 månader. Er dette interpolering eller ekstrapolering?

Kva gir modellen ved 10 års alder (120 månader)? Er dette rimeleg?

📝Oppgave 3

Ein forskar undersøkjer samanhengen mellom gjennomsnittleg dagtemperatur ( $x$ , i °C) og straumforbruk til oppvarming ( $y$ , i kWh) for eit hus over 10 vinterdagar:

Temp (°C)	kWh
-10	85
-7	78
-4	68
-1	60
0	55
2	48
5	38
7	30
10	22
12	15

Finn regresjonslinja og korrelasjonskoeffisienten med GeoGebra.

Kva fortel stigingstalet oss? Kva fortel den negative korrelasjonen?

Ved kva temperatur spår modellen at straumforbruket er null?

📝Oppgave 4

Ein elev påstår: «Eg har funne at det er sterk positiv korrelasjon ( $r = 0{,}92$ ) mellom talet på brannstasjonar i ein by og talet på kriminalitetssaker. Altså fører fleire brannstasjonar til meir kriminalitet.» Forklar kva som er gale med denne konklusjonen, og foreslå ei betre forklaring.

📝Oppgave 5

Tabellen viser gjennomsnittleg levealder ( $y$ , i år) og BNP per innbyggjar ( $x$ , i tusen dollar) for 8 land:

BNP (tusen dollar)	Levealder (år)
2	55
5	62
10	70
20	76
30	79
40	80
50	81
60	82

Lag eit spreiingsdiagram (for hand eller i GeoGebra) og beskriv kva du ser.

Finn likevel regresjonslinja og korrelasjonskoeffisienten. Passar ein lineær modell godt?

Diskuter om det er rimeleg å seie at høgare BNP forårsakar høgare levealder.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Lineær regresjon: Å finne den rette linja som passar best til eit sett med datapunkt
- Minste kvadraters metode: Linja blir vald slik at summen av dei kvadrerte avvika (residuala) blir minst mogleg
- Bruk av modellen: Set inn $x$ -verdiar i regresjonslinja for å spå $y$ -verdiar
- Korrelasjon: Korrelasjonskoeffisienten $r$ ( $-1 \leq r \leq 1$ ) måler kor sterk den lineære samanhengen er
- Korrelasjon er ikkje kausalitet: At to storleikar samvarierer, tyder ikkje at den eine forårsakar den andre

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Regresjonslinje	Linja som passar best til dataa
Residual	Avviket mellom datapunkt og modell
Korrelasjonskoeffisient	Styrken på lineær samanheng ( $r$ )
Kausalitet	Årsakssamanheng

Hugs

r

nær

\pm 1

: sterk lineær samanheng.

r

nær

0

: svak samanheng
- I GeoGebra: legg punkta i rekneark og bruk RegLin(liste)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.