7.5 Definisjonen av derivasjon og numerisk derivasjon | Matematikk 1T

Den formelle definisjonen av den deriverte som grenseverdi, og numerisk tilnærming til derivasjon.

50 min

8 oppgaver

GrenseverdiDerivasjonsdefinisjonenNumerisk derivasjonDifferenskvotient

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.2Momentan vekstfart

Frå sekant til tangent

Vi har sett at den momentane vekstfarten er stigningstalet til tangenten. Men korleis finn vi eigentleg tangenten matematisk?

Ideen er å starte med ein sekant (linje gjennom to punkt på grafen) og la dei to punkta kome nærare og nærare kvarandre. Når avstanden vert uendeleg liten, vert sekanten til ein tangent.

Newton-kvotienten

Lat $f$ vere ein funksjon og lat $h$ vere ein liten positiv verdi (avstanden mellom to $x$ -verdiar).

Gjennomsnittleg vekstfart frå $x$ til $x + h$ :
$\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Dette vert kalla Newton-kvotienten eller differanskvotienten.

Newton-kvotienten

f

✏️Døme 1: Newton-kvotienten

Lat $f(x) = x^2$ . Finn Newton-kvotienten når $x = 2$ og $h = 0{,}1$ .

Løysing:

Vi set inn i formelen:
$\frac{f(2 + 0{,}1) - f(2)}{0{,}1} = \frac{f(2{,}1) - f(2)}{0{,}1}$

Vi reknar ut funksjonsverdiane:
- $f(2{,}1) = 2{,}1^2 = 4{,}41$
- $f(2) = 2^2 = 4$

$\frac{4{,}41 - 4}{0{,}1} = \frac{0{,}41}{0{,}1} = 4{,}1$

Newton-kvotienten er $4{,}1$ .

Merk: Den eksakte deriverte er $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$ , så $4{,}1$ er ei god tilnærming!

📝Oppgave 7.5.1

Rekn ut Newton-kvotienten for dei gitte verdiane.

f(x) = x^2

x = 3

h = 0{,}1

f(x) = x^2

x = 3

h = 0{,}01

f(x) = x^3

x = 2

h = 0{,}1

Løs oppgaven Tren

Definisjonen av den deriverte

Når vi lèt $h$ gå mot 0, nærmar Newton-kvotienten seg den deriverte. Dette skriv vi som ein grenseverdi:

Definisjonen av den deriverte

f

✏️Døme 2: Derivere frå definisjonen

Bruk definisjonen til å vise at $f'(x) = 2x$ når $f(x) = x^2$ .

Løysing:

Vi startar med Newton-kvotienten:
$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$

Vi utvidar $(x + h)^2$ :
$= \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

Vi forenklar:
$= \frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h$

Når $h \to 0$ :
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

Dette stadfestar at den deriverte av $x^2$ er $2x$ .

📝Oppgave 7.5.2

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne $f'(x)$ .

f(x) = 3x

f(x) = x^2 + 1

f(x) = 2x^2 - x

Løs oppgaven Tren

Numerisk derivasjon

Ofte er det vanskeleg å rekne ut den eksakte deriverte. Då kan vi bruke numerisk derivasjon, som gjev ein tilnærma verdi.

Framoverdifferansen (den vi har brukt):
$f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Sentraldifferansen (meir nøyaktig):
$f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$

📊Utforsk: Newton-kvotienten

Sjå korleis Newton-kvotienten nærmar seg den deriverte når h vert mindre.

✏️Døme 3: Sentraldifferansen

Lat $f(x) = x^2$ . Bruk sentraldifferansen til å finne ei tilnærming til $f'(3)$ med $h = 0{,}1$ .

Løysing:

Sentraldifferansen er:
$f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$

Med $x = 3$ og $h = 0{,}1$ :
$f'(3) \approx \frac{f(3{,}1) - f(2{,}9)}{2 \cdot 0{,}1} = \frac{3{,}1^2 - 2{,}9^2}{0{,}2}$

$= \frac{9{,}61 - 8{,}41}{0{,}2} = \frac{1{,}2}{0{,}2} = 6$

Kontroll: Den eksakte verdien er $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$ . Sentraldifferansen gav eksakt svar her!

📝Oppgave 7.5.3

Bruk sentraldifferansen $\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$ med $h = 0{,}1$ .

Finn ei tilnærming til $f'(2)$ når $f(x) = x^3$

Samanlikn med den eksakte verdien $f'(2) = 3 \cdot 2^2 = 12$

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Newton-kvotienten: $\displaystyle \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ — gjennomsnittleg vekstfart over eit intervall med lengd $h$
- Definisjonen av den deriverte: $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
- Derivere frå definisjonen: Set inn, gang ut, forkort $h$ , og lat $h \to 0$
- Numerisk derivasjon: Tilnærm $f'(x)$ med ein liten $h$ -verdi; sentraldifferansen $\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$ gjev ekstra god tilnærming

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Newton-kvotient	Gjennomsnittleg vekstfart over $[x, x+h]$
Grenseverdi	Verdien uttrykket nærmar seg når $h \to 0$
Sentraldifferanse	Numerisk tilnærming med punkt på begge sider

Viktige formlar

\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

- Sentraldifferansen:

\displaystyle f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.