7.1 Gjennomsnittlig vekstfart | Matematikk 1T

Forstå og beregne gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter på en graf.

35 min

10 oppgaver

StigningstallEttpunktsformelenGjennomsnittlig vekstfartSekant

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

7.2Momentan vekstfart

Stigningstal og vekstfart

Før vi ser på vekstfart, må vi forstå stigningstal. Stigningstalet fortel oss kor bratt ei linje er.

$\Delta$ (delta) betyr endring i matematikken:
- $\Delta x$ betyr endringa i $x$ -verdien
- $\Delta y$ betyr endringa i $y$ -verdien

Stigningstal

P_1 = (x_1, y_1)

✏️Døme 1: Finn stigningstalet

Finn stigningstalet til linja som går gjennom punkta $(1, 3)$ og $(3, 9)$ .

Løysing:

Vi vel $P_1 = (1, 3)$ og $P_2 = (3, 9)$ .

Frå $P_1$ ser vi at $x_1 = 1$ og $y_1 = 3$ .
Frå $P_2$ ser vi at $x_2 = 3$ og $y_2 = 9$ .

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$

Stigningstalet er $a = 3$ , som betyr at $y$ -verdien aukar med 3 når $x$ -verdien aukar med 1.

📝Oppgave 7.1.1

Finn stigningstalet til ei linje som går gjennom punkta

P_1 = (1, 3)

P_2 = (4, 9)

(-1, -2)

(1, -4)

(2, 5)

(-1, -4)

(1, 3)

(5, 5)

Løs oppgaven Tren

Eittpunktsformelen

Eittpunktsformelen bruker eitt punkt på linja og stigningstalet til å finne likninga for heile linja.

Eittpunktsformelen

a

✏️Døme 2: Bruk eittpunktsformelen

Finn likninga til ei linje som går gjennom punktet $(1, 2)$ og har stigningstalet 3.

Løysing:

Her ser vi at $(x_0, y_0) = (1, 2)$ , altså $x_0 = 1$ , $y_0 = 2$ og stigningstalet $a = 3$ .

Vi set inn i eittpunktsformelen:
$y - y_0 = a(x - x_0)$
$y - 2 = 3(x - 1)$
$y - 2 = 3x - 3$
$y = 3x - 1$

📝Oppgave 7.1.2

Finn likninga for linja som

går gjennom punktet $(x_0, y_0) = (1, 0)$ og har stigningstal $a = 3$

går gjennom punktet $(2, -3)$ og har stigningstalet $a = -2$

går gjennom punktet $(1, 3)$ og har stigningstalet $a = 0$

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 3: Linje gjennom to punkt

Finn likninga til ei linje som går gjennom punkta $(1, 5)$ og $(3, 9)$ .

Løysing:

Vi finn først stigningstalet til linja gjennom dei 2 punkta:
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

Vi vel $(1, 5)$ som $(x_0, y_0)$ og bruker eittpunktsformelen:
$y - y_0 = a(x - x_0)$
$y - 5 = 2(x - 1)$
$y - 5 = 2x - 2$
$y = 2x + 3$

📝Oppgave 7.1.3

Finn likninga til ei linje som går gjennom punkta

(1, 3)

(5, 7)

(0, 3)

(5, 13)

(1, -2)

(3, -4)

(2, 5)

(4, 5)

Løs oppgaven Tren

Gjennomsnittleg vekstfart

No som vi kan finne stigningstal, kan vi sjå på gjennomsnittleg vekstfart for ein funksjon.

Gjennomsnittleg vekstfart skildrar kor mykje funksjonsverdien i gjennomsnitt endrar seg per eining $x$ i eit gitt intervall. Grafisk er dette stigningstalet til sekanten (linja som skjer grafen i to punkt).

Gjennomsnittleg vekstfart

f

📊Utforsk gjennomsnittleg vekstfart

Prøv å teikne ein funksjon og ein sekant. Bruk kommandoen Stigning(linje) for å finne stigningstalet til sekanten.

✏️Døme 4: Gjennomsnittleg vekstfart

La $f(x) = x^2 - 1$ . Finn gjennomsnittleg vekstfart når $x \in [-2, 1]$ .

Løysing:

Vi treng å finne stigningstalet til linja som går gjennom punkta $A = (-2, f(-2))$ og $B = (1, f(1))$ .

Vi byrjar med å finne $f(-2)$ og $f(1)$ :
$f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
$f(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

Vi har no altså punkta $A = (-2, 3)$ og $B = (1, 0)$ .

$\text{Gjennomsnittleg vekstfart} = \frac{f(1) - f(-2)}{1 - (-2)} = \frac{0 - 3}{1 + 2} = \frac{-3}{3} = -1$

Den gjennomsnittlege vekstfarten til $f(x)$ i intervallet $x \in [-2, 1]$ er altså lik $-1$ .

📝Oppgave 7.1.4

La $f(x) = x^2 - 3x + 2$ . Finn den gjennomsnittlege vekstfarten i intervalla:

x \in [1, 5]

x \in [-2, 2]

x \in [1, 2]

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7.1.5

Ein ball blir kasta opp i lufta. Høgda

h

(i meter) over bakken etter

t

sekund er gitt ved:

h(t) = -5t^2 + 20t + 1

Finn den gjennomsnittlege farten (vekstfarten) til ballen i dei gitte tidsintervalla:

t \in [0, 1]

t \in [1, 2]

t \in [2, 3]

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stigningstal: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — kor mykje $y$ endrar seg når $x$ aukar med 1
- Eittpunktsformelen: $y - y_1 = a(x - x_1)$ gir likninga for linja gjennom $(x_1, y_1)$ med stigningstal $a$
- Linje gjennom to punkt: Finn først stigningstalet, og bruk deretter eittpunktsformelen
- Gjennomsnittleg vekstfart: For ein funksjon $f$ frå $x_1$ til $x_2$ : $\displaystyle \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ — stigningstalet til sekanten

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Stigningstal	Endring i $y$ per eining endring i $x$
Sekant	Linje gjennom to punkt på ein graf
Gjennomsnittleg vekstfart	Stigningstalet til sekanten

Viktige formlar

\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

- Eittpunktsformelen:

y - y_1 = a(x - x_1)

- Gjennomsnittleg vekstfart:

\displaystyle \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.