6.2 Lese og forstå bevis

Å lese matematikkens språk

Å lese et matematisk bevis er litt som å lese en krimroman – du følger sporene steg for steg, og til slutt faller alt på plass. Men mens en krimroman kan ha overraskende vendinger, har et godt bevis bare logiske steg. Hvert eneste steg skal kunne begrunnes, og ingenting er overlatt til tilfeldigheter.

I forrige kapittel lærte vi om matematisk argumentasjon. Nå tar vi det videre og ser på hele bevis – både algebraiske og geometriske. Vi skal lære å lese bevis systematisk, forstå ulike bevistyper, og etter hvert prøve å utvikle egne bevis. Vi møter blant annet direkte bevis, indirekte bevis og det kraftige verktøyet matematisk induksjon.

Algebraiske bevis – kvadratsetningene

La oss starte med noe konkret: beviset for 1. kvadratsetning. Påstanden er at $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ for alle tall $a$ og $b$.

Beviset er et direkte bevis. Vi skriver $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$. Nå ganger vi ut ved å bruke distributiv lov: hvert ledd i den første parentesen ganges med hvert ledd i den andre. Det gir $a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ferdig.

Hva gjør dette til et bevis og ikke bare en utregning? Jo, vi brukte $a$ og $b$ som vilkårlige tall. Vi antok ingenting spesielt om dem – de kan være positive, negative, brøker, irrasjonale tall, hva som helst. Derfor gjelder resultatet for alle tall.

Det finnes også et vakkert geometrisk bevis for samme setning. Tenk på et kvadrat med sidelengde $(a + b)$. Arealet er $(a + b)^2$. Del nå dette kvadratet inn i fire deler: et lite kvadrat med side $a$ (areal $a^2$), et lite kvadrat med side $b$ (areal $b^2$), og to rektangler med sider $a$ og $b$ (areal $ab$ hver). Totalt areal: $a^2 + b^2 + 2ab$. Siden dette er det samme arealet, er $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

De to bevisene viser det samme resultatet fra to ulike vinkler – ett algebraisk, ett geometrisk. Det er noe av det som gjør matematikk så fascinerende.

Geometriske bevis – Pytagoras' setning

Nå tar vi et steg opp i vanskelighetsgrad og ser på et berømt geometrisk bevis: beviset for Pytagoras' setning. Påstanden er at i en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$ gjelder $a^2 + b^2 = c^2$.

Beviset bruker areal på en svært elegant måte. Tegn et stort kvadrat med sidelengde $(a + b)$. Dets areal er $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Nå plasserer vi fire kopier av den rettvinklede trekanten inne i kvadratet, slik at de danner et skjevt kvadrat i midten med sidelengde $c$.

Arealet av de fire trekantene er $\displaystyle 4 \cdot \frac{1}{2}ab = 2ab$. Arealet av det indre kvadratet er $c^2$. Totalt areal: $2ab + c^2$.

Nå sammenligner vi de to uttrykkene for arealet av det store kvadratet:

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

Vi trekker $2ab$ fra begge sider og får $a^2 + b^2 = c^2$. Pytagoras er bevist!

Legg merke til hva vi gjorde: vi uttrykte det samme arealet på to ulike måter og satte dem like. Denne teknikken – å finne to uttrykk for den samme størrelsen – er en av de kraftigste metodene i matematikk. Det er som å veie samme gjenstand på to ulike vekter og sette resultatene lik hverandre.

Indirekte bevis – irrasjonale tall

Noen ganger er det vanskelig å vise noe direkte. Da kan et indirekte bevis (motbevis) være redningen. Vi antar at påstanden er usann og viser at dette fører til en selvmotsigelse.

Vi har allerede sett beviset for at $\sqrt{2}$ er irrasjonalt. La oss nå gjøre det samme for $\sqrt{3}$.

Anta det motsatte: $\sqrt{3}$ er rasjonalt. Da kan vi skrive $\displaystyle \sqrt{3} = \frac{p}{q}$ der $p$ og $q$ er hele tall uten felles faktorer (brøken er maksimalt forkortet).

Kvadrering gir $\displaystyle 3 = \frac{p^2}{q^2}$, altså $p^2 = 3q^2$. Siden $p^2$ er delelig med 3, må $p$ selv være delelig med 3. (Hvorfor? Fordi hvis $p$ ikke var delelig med 3, ville $p^2$ heller ikke vært det – dette kan vises ved å se på alle muligheter modulo 3.)

La $p = 3k$. Da er $p^2 = 9k^2 = 3q^2$, som gir $q^2 = 3k^2$. Altså er $q^2$ delelig med 3, og dermed er $q$ delelig med 3.

Nå har vi at både $p$ og $q$ er delelige med 3. Men vi antok at brøken var maksimalt forkortet! Det er en selvmotsigelse. Altså var antagelsen feil, og $\sqrt{3}$ er irrasjonalt.

Mønsteret er det samme som for $\sqrt{2}$: anta rasjonalitet, vis at teller og nevner begge er delelige med det aktuelle primtallet, og konkluder med selvmotsigelse. Denne metoden fungerer for $\sqrt{p}$ der $p$ er et primtall.

Bevis ved induksjon – dominoeffekten

Matematisk induksjon er en bevismetode som er skreddersydd for påstander som gjelder for alle naturlige tall. Ideen er lik en rekke dominobrikker: hvis den første brikken faller, og hver brikke som faller slår ned den neste, så faller alle brikkene.

Strukturen har tre steg. Først viser vi grunntilfellet: påstanden er sann for $n = 1$. Deretter formulerer vi induksjonsantagelsen: vi antar at påstanden er sann for et vilkårlig $n = k$. Til slutt gjennomfører vi induksjonssteget: vi viser at påstanden da også er sann for $n = k + 1$.

La oss bevise at $\displaystyle 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Grunntilfelle ($n = 1$): Venstre side er $1$. Høyre side er $\displaystyle \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$. Stemmer!

Induksjonsantagelse: Anta at $\displaystyle 1 + 2 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}$ for et eller annet $k$.

Induksjonssteg: Vi vil vise at $\displaystyle 1 + 2 + \ldots + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$. Vi starter med venstre side og bruker antagelsen:

$\displaystyle 1 + 2 + \ldots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Og det er nettopp formelen med $n = k + 1$. Beviset er fullført!

Hvordan lese et bevis – og utvikle egne

Nå som du har sett flere bevistyper, la oss snakke om hvordan du bør lese et bevis. Her er fem steg som gjør det lettere.

Forstå påstanden. Før du begynner på selve beviset, sørg for at du forstår hva som skal bevises. Hva betyr alle begrepene? Kan du sjekke påstanden med et konkret eksempel?

Identifiser strukturen. Er det et direkte bevis, et kontrapositivt bevis, et motbevis eller et induksjonsbevis? Å vite hvilken type bevis du leser, hjelper deg å følge logikken.

Følg hvert steg. Gå gjennom beviset linje for linje. Hvorfor følger denne linjen fra den forrige? Hvilken regel eller setning brukes? Ikke hopp over steg – det er ofte i de «åpenbare» stegene at misforståelser oppstår.

Se det store bildet. Etter å ha forstått hvert steg, trekk deg tilbake og se helheten. Hva er hovedideen i beviset? Kan du forklare den med dine egne ord?

Prøv selv. Den ultimate testen er å lukke boka og forsøke å gjenskape beviset. Du trenger ikke huske det ord for ord – det viktige er at du forstår logikken godt nok til å rekonstruere den.

Det finnes fire hovedtyper bevis du bør kjenne til: direkte bevis (vis at $P \Rightarrow Q$ steg for steg), kontraposisjon (vis at $\neg Q \Rightarrow \neg P$), motbevis (anta $\neg Q$ og finn selvmotsigelse), og induksjon (grunntilfelle pluss induksjonssteg). Hvilken type som passer best, avhenger av problemet.

Oppsummering

Vi har sett fire typer matematiske bevis. Direkte bevis viser påstanden steg for steg, som da vi beviste kvadratsetningene ved å gange ut parentesene. Geometriske bevis bruker areal og figurer, som i det elegante beviset for Pytagoras' setning der vi uttrykte det samme arealet på to måter.

Indirekte bevis (motbevis) antar det motsatte av det vi vil vise og utleder en selvmotsigelse. Vi brukte dette til å vise at $\sqrt{3}$ er irrasjonalt – hvis den var rasjonalt, ville teller og nevner begge vært delelige med 3, noe som motsa at brøken var forkortet.

Matematisk induksjon beviser påstander for alle naturlige tall. Grunntilfellet starter kjeden, og induksjonssteget viser at «neste» alltid følger av «forrige». Vi beviste formelen for summen $\displaystyle 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ på denne måten.

For å lese et bevis godt: forstå påstanden, identifiser bevistypen, følg hvert steg, se helheten, og prøv å gjenskape beviset selv. Å forstå hvorfor noe er sant er den dypeste formen for matematisk innsikt.