5.2 Kongruens og formlikskap | Matematikk 1T

Kongruente og formlike figurar.

30 min

15 oppgaver

KongruensFormlikskapMålestokk

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kongruens

To figurar er kongruente når dei har nøyaktig same form og storleik. Dei er identiske kopiar av kvarandre.

Kongruente figurar har:
- Like store sider
- Like store vinklar
- Same areal

Kongruente trekantar

To trekantar er kongruente viss dei oppfyller eitt av følgjande kriterium: SSS (side-side-side): Alle tre sidene er parvis like lange. SVS (side-vinkel-side): To sider og vinkelen mellom dei er like. VSV (vinkel-side-vinkel): To vinklar og sida mellom dei er like. SSV (side-side-vinkel): To sider og ein vinkel som ikkje ligg mellom dei er like, og vinkelen ligg overfor den lengste av dei to sidene.

✏️Døme 1

Trekant ABC har sidene AB = 5 cm, BC = 7 cm og AC = 6 cm.
Trekant DEF har sidene DE = 5 cm, EF = 7 cm og DF = 6 cm.
Er trekantane kongruente?

Løysing:

Vi sjekkar SSS-kriteriet (side-side-side):
- AB = DE = 5 cm ✓
- BC = EF = 7 cm ✓
- AC = DF = 6 cm ✓

Alle tre sidene er parvis like lange.

Svar: Ja, trekantane er kongruente etter SSS-kriteriet.

📝Oppgave 1

Avgjer om trekantane er kongruente og oppgi kva kriterium som blir brukt

Trekant 1: sider 3, 4, 5. Trekant 2: sider 3, 4, 5.

Trekant 1: sider 6, 8, 10. Trekant 2: sider 6, 8, 11.

Begge har sider 4 og 5, og vinkelen mellom er 60°

Begge har vinklar 50° og 70°, og sida mellom er 8 cm

Formlikskap

To figurar er formlike når dei har same form, men ikkje nødvendigvis same storleik. Den eine figuren er ein forstørra eller forminska versjon av den andre.

Formlike figurar har:
- Like store vinklar
- Samsvarande sider med same forhold (forholdstal)

Formlike trekantar

To trekantar er formlike viss dei oppfyller eitt av følgjande kriterium: VV (vinkel-vinkel): To vinklar er parvis like store. SSS (forhold): Alle tre sidene har same forholdstal. SVS (forhold): To sider har same forholdstal og vinkelen mellom dei er lik. Forholdstalet mellom samsvarande sider kallast skaleringsfaktoren eller forstørringsfaktoren .

✏️Døme 2

Trekant ABC har sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm.
Trekant DEF har sidene 6 cm, 8 cm og 10 cm.
Er trekantane formlike? Finn i så fall forstørringsfaktoren.

Løysing:

Vi sjekkar forholda mellom samsvarande sider:
- $\displaystyle \frac{6}{3} = 2$
- $\displaystyle \frac{8}{4} = 2$
- $\displaystyle \frac{10}{5} = 2$

Alle forholda er like, så trekantane er formlike.

Trekant DEF er dobbelt så stor som trekant ABC.

Svar: Forstørringsfaktoren er 2.

📝Oppgave 2

Avgjer om trekantane er formlike og finn forstørringsfaktoren

Trekant 1: sider 2, 3, 4. Trekant 2: sider 4, 6, 8.

Trekant 1: sider 10, 20, 25. Trekant 2: sider 2, 4, 5.

Trekant 1: sider 3, 4, 5. Trekant 2: sider 6, 7, 10.

Trekant 1: sider 6, 9, 12. Trekant 2: sider 2, 3, 4.

✏️Døme 3

To trekantar er formlike med forstørringsfaktor 3.
Den vesle trekanten har sider 4 cm, 5 cm og 7 cm.
Finn sidene i den store trekanten.

Løysing:

Vi multipliserer alle sidene med forstørringsfaktoren 3:
- $4 \cdot 3 = 12$ cm
- $5 \cdot 3 = 15$ cm
- $7 \cdot 3 = 21$ cm

Svar: Den store trekanten har sider 12 cm, 15 cm og 21 cm.

📝Oppgave 3

Finn dei ukjende sidene i den formlike trekanten

Liten trekant: 3, 4, 5. Forstørringsfaktor: 4

Stor trekant: 15, 20, 25. Forminskingsfaktor: $\displaystyle \frac{1}{5}$

Liten trekant: 2, 3, 4. Forstørringsfaktor: $2{,}5$

Parallelle linjer i ein trekant

La $D$ liggje på sida $AB$ og $E$ på sida $AC$ i trekant $ABC$ , med $DE \parallel BC$ . Vinkel $A$ er felles, og $\angle ADE = \angle ABC$ fordi dei er samsvarande vinklar ved parallelle linjer. Etter VV er då $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ .

Areal i formlike figurar

Er forstørringsfaktoren $k$ , blir både grunnlinja og høgda $k$ gonger så store:

$A_{\text{stor}} = \frac{(k \cdot g) \cdot (k \cdot h)}{2} = k^2 \cdot \frac{g \cdot h}{2} = k^2 \cdot A_{\text{liten}}$

📜Areal i formlike figurar

Er forstørringsfaktoren

k

, er arealet til den store figuren

k^2

gonger så stort som arealet til den vesle:

$\frac{A_{\text{stor}}}{A_{\text{liten}}} = k^2$

Målestokk

Målestokk er forholdet mellom ein avstand på ei teikning/kart og den verkelege avstanden.

$\text{Målestokk} = \frac{\text{Avstand på kart}}{\text{Verkeleg avstand}}$

Til dømes tyder målestokk 1:100 at 1 cm på teikninga svarar til 100 cm (1 m) i verkelegheita.

✏️Døme 4

Eit kart har målestokk 1:50 000.
Avstanden mellom to byar er 8 cm på kartet.
Kor lang er den verkelege avstanden?

Løysing:

Målestokk 1:50 000 tyder at 1 cm på kartet = 50 000 cm i verkelegheita.

Verkeleg avstand = Avstand på kart × 50 000
$= 8 \cdot 50\,000$ cm
$= 400\,000$ cm
$= 4000$ m
$= 4$ km

Svar: Den verkelege avstanden er 4 km.

📝Oppgave 4

Rekn ut med målestokk

Målestokk 1:100. 5 cm på teikning. Finn verkeleg lengd.

Målestokk 1:25 000. 6 cm på kart. Finn verkeleg avstand.

Målestokk 1:500. Verkeleg lengd 30 m. Finn lengd på teikning.

Målestokk 1:200. Eit rom er 8 cm × 5 cm på teikninga. Finn verkeleg storleik.

Løs oppgaven

✏️Døme 5

To formlike trekantar har ei ukjend side. Den vesle trekanten har sider 3 cm, 4 cm og $x$ cm.
Den store trekanten har sider 9 cm, 12 cm og 18 cm. Finn $x$ .

Løysing:

Først finn vi forstørringsfaktoren ved å samanlikne kjende sider:
$\displaystyle \frac{9}{3} = 3$ og $\displaystyle \frac{12}{4} = 3$

Faktoren er 3, så:
$x \cdot 3 = 18$
$x = 6$ cm

Svar: $x = 6$ cm

📝Oppgave 5

Finn den ukjende sida i dei formlike trekantane

Trekant 1: 2, 3, x. Trekant 2: 8, 12, 16.

Trekant 1: 5, x, 10. Trekant 2: 15, 21, 30.

Trekant 1: x, 6, 8. Trekant 2: 12, 18, 24.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Bestem målestokken

Ein modell av eit hus er 20 cm høg. Huset er 10 m høgt.

Avstanden mellom to byar er 5 cm på kartet og 25 km i verkelegheita.

Ei planteikning viser eit rom som 4 cm × 3 cm. Rommet er 8 m × 6 m.

📝Oppgave 7

Areal ved formlikskap

To formlike trekantar har forstørringsfaktor 3. Den vesle har areal 4 cm². Finn arealet til den store.

To formlike rektangel. Det vesle er 2 cm × 3 cm. Det store er 6 cm × 9 cm. Samanlikn areala.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Praktiske oppgåver med formlikskap. Teikn figurar som viser situasjonane.

Eit tre kastar ein skugge på 12 m. Samtidig kastar ein 2 m høg stolpe ein skugge på 3 m. Kor høgt er treet?

Eit foto er 10 cm × 15 cm. Det skal forstørrast slik at den lange sida blir 45 cm. Kor lang blir den korte sida?

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Bevis at trekantane er formlike og finn ukjende mål. Teikn begge trekantane sjølv.

Trekant ABC har vinklar 30°, 60°, 90°. Trekant DEF har vinklar 30°, 60°, 90°. Grunngi at dei er formlike.

I oppgåve a) er AB og DE samsvarande sider. Viss AB = 4 og DE = 12, kva er forstørringsfaktoren?

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Samansette oppgåver

Ein arkitekt teiknar eit hus i målestokk 1:50. Taket på teikninga har sider 6 cm, 6 cm og 8 cm. Kva er dei verkelege måla?

To formlike trekantar. Den eine har omkrins 24 cm, den andre 36 cm. Kva er forstørringsfaktoren?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Kongruente trekantar: Heilt like — alle sider og vinklar er parvis like store
- Formlike trekantar: Same form, men ulik storleik — vinklane er parvis like, og sidene er proporsjonale
- Forstørringsfaktor: Forholdet mellom samsvarande sider i formlike figurar er konstant
- Målestokk på kart: $1 : 50\,000$ tyder at $1$ cm på kartet er $50\,000$ cm $= 500$ m i verkelegheita
- Parallelle linjer: $DE \parallel BC$ gir $\triangle ADE \sim \triangle ABC$
- Areal: Er forstørringsfaktoren $k$ , blir arealet $k^2$ gonger så stort
- Praktisk bruk: Skuggemålingar og parallelle linjer i trekantar gir formlike trekantar

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Kongruens	Nøyaktig like figurar ( $\cong$ )
Formlikskap	Like vinklar, proporsjonale sider ( $\sim$ )
Målestokk	Forholdet mellom bilete og verkelegheit

Viktige formlar

- Formlike trekantar:

\displaystyle \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k

- Areal i formlike figurar:

\dfrac{A_{\text{stor}}}{A_{\text{liten}}} = k^2

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.