Tilbake
1.6
Rasjonale uttrykk

1.6 Rasjonale uttrykk

Alle fag for VG1

Forkorte, multiplisere, dividere og trekke sammen brøker med algebraiske uttrykk.

60 min
14 oppgaver
Forkorting av algebraiske brøkerMultiplikasjon og divisjonFellesnevner
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Brøker med algebraiske uttrykk

Nødvendige forkunnskapar: Algebra og faktorisering

I dette kapitlet skal vi lære å rekne med brøker som inneheld algebraiske uttrykk (bokstavar). Vi skal sjå på korleis vi forkortar, multipliserer, dividerer og trekk saman slike brøker.

✏️Døme 1

Forkort brøkene:

a) 2x3x\displaystyle \frac{2x}{3x}

b) 3x−66\displaystyle \frac{3x - 6}{6}

c) x2−5x+6x2−4\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}

Løysing:

a) 2x3x=2⋅x3⋅x=23\displaystyle \frac{2x}{3x} = \frac{2 \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}

b) 3x−66=3⋅(x−2)3⋅2=x−22\displaystyle \frac{3x - 6}{6} = \frac{3 \cdot (x - 2)}{3 \cdot 2} = \frac{x - 2}{2}

c) x2−5x+6x2−4=(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)=x−3x+2\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2}

📝Oppgave 1

Forkort brøkane

a
4x9x\displaystyle \frac{4x}{9x}
b
2xx2−2x\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 2x}
c
x2−5xx−5\displaystyle \frac{x^2 - 5x}{x - 5}
d
2x−84\displaystyle \frac{2x - 8}{4}
e
x2−9x+3\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}
f
x2−7x+122x−6\displaystyle \frac{x^2 - 7x + 12}{2x - 6}
Løs oppgavenTren
✏️Døme 2

Multipliser og forkort brøkene:

a) 23x⋅x+34\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4}

b) x2x+8⋅x+43x\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x}

c) 3x2⋅x+33x2−27\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27}

Løysing:

a) 23x⋅x+34=2⋅(x+3)3x⋅4=2⋅(x+3)3x⋅2⋅2=x+36x\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 2 \cdot 2} = \frac{x + 3}{6x}

b) x2x+8⋅x+43x=x⋅(x+4)(2x+8)⋅3x=x⋅(x+4)⋅12(x+4)⋅3⋅x=16\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x} = \frac{x \cdot (x + 4)}{(2x + 8) \cdot 3x} = \frac{x \cdot (x + 4) \cdot 1}{2(x + 4) \cdot 3 \cdot x} = \frac{1}{6}

c) 3x2⋅x+33x2−27=3x21⋅x+33(x2−9)=3⋅x2⋅(x+3)3⋅(x+3)⋅(x−3)=x2x−3\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27} = \frac{3x^2}{1} \cdot \frac{x + 3}{3(x^2 - 9)} = \frac{3 \cdot x^2 \cdot (x + 3)}{3 \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)} = \frac{x^2}{x - 3}

📝Oppgave 2

Multipliser og forkort (om mogleg) brøkene

a
x+55x⋅52x+10\displaystyle \frac{x + 5}{5x} \cdot \frac{5}{2x + 10}
b
2x3x−12⋅x2−164\displaystyle \frac{2x}{3x - 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{4}
c
5x⋅x+44x2−16x\displaystyle 5x \cdot \frac{x + 4}{4x^2 - 16x}
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 3

Multipliser og forkort (om mogleg) brøkene

a
x2÷2x3\displaystyle \frac{x}{2} \div \frac{2x}{3}
b
x+92x÷x2−812x+8\displaystyle \frac{x + 9}{2x} \div \frac{x^2 - 81}{2x + 8}
c
4x÷xx2−16\displaystyle 4x \div \frac{x}{x^2 - 16}
Løs oppgavenTren
✏️Døme 3

Trekk saman brøkane:

9x+3y4x−x−3y4x\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x}

Løysing:

9x+3y4x−x−3y4x=9x+3y−(x−3y)4x=9x+3y−x+3y4x\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x} = \frac{9x + 3y - (x - 3y)}{4x} = \frac{9x + 3y - x + 3y}{4x}

=8x+6y4x=2(4x+3y)2⋅2x=4x+3y2x\displaystyle = \frac{8x + 6y}{4x} = \frac{2(4x + 3y)}{2 \cdot 2x} = \frac{4x + 3y}{2x}

📝Oppgave 4

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

a
2x4+3x4\displaystyle \frac{2x}{4} + \frac{3x}{4}
b
2x3−8x3\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{8x}{3}
c
y5−3y5\displaystyle \frac{y}{5} - \frac{3y}{5}
d
2x−y4x−3x4x\displaystyle \frac{2x - y}{4x} - \frac{3x}{4x}
e
x3+2x3−3−6x3\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{2x}{3} - \frac{3 - 6x}{3}
f
x+62x+1−3x−42x+1\displaystyle \frac{x + 6}{2x + 1} - \frac{3x - 4}{2x + 1}
Løs oppgavenTren
📜Utviding av brøkar

For å trekk saman brøkar med ulik nemnar må vi først utvidle brøkane slik at dei får lik nemnar (fellesnemnar).

Vi utviklar ein brøk ved å gange teljar og nemnar med same faktor.

✏️Døme 4

Utvild brøken slik at du får x2−4x^2 - 4 i nemnar:

3x−2\displaystyle \frac{3}{x - 2}

Løysing:

3x−2=3(x+2)(x−2)(x+2)=3x+6x2−4\displaystyle \frac{3}{x - 2} = \frac{3(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3x + 6}{x^2 - 4}

📝Oppgave 5

Utvild brøken

a
9x−2\displaystyle \frac{9}{x - 2} slik at nemnaren blir 2x−42x - 4
b
5x+3\displaystyle \frac{5}{x + 3} slik at nemnaren blir x2−9x^2 - 9
c
3xx−2\displaystyle \frac{3x}{x - 2} slik at nemnaren blir 2x2−82x^2 - 8
Løs oppgavenTren
✏️Døme 5

Trekk saman brøkane:

5x2y+32\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2}

Løysing:

5x2y+32=5x2y+3⋅y2⋅y=5x2y+3y2y=5x+3y2y\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2} = \frac{5x}{2y} + \frac{3 \cdot y}{2 \cdot y} = \frac{5x}{2y} + \frac{3y}{2y} = \frac{5x + 3y}{2y}

📝Oppgave 6

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

a
32+12x\displaystyle \frac{3}{2} + \frac{1}{2x}
b
4x2+2x5\displaystyle \frac{4x}{2} + \frac{2x}{5}
c
2y5−x3\displaystyle \frac{2y}{5} - \frac{x}{3}
d
3x2y+2yx\displaystyle \frac{3x}{2y} + \frac{2y}{x}
e
x5−3x\displaystyle \frac{x}{5} - 3x
f
2x11y−4x11−2\displaystyle \frac{2x}{11y} - \frac{4x}{11} - 2
Løs oppgavenTren
✏️Døme 6

Trekk saman brøkane:

43xy+3x2y−2\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - 2

Løysing:

43xy+3x2y−21=4⋅23xy⋅2+3x⋅3x2y⋅3x−2⋅6xy1⋅6xy=86xy+9x26xy−12xy6xy\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - \frac{2}{1} = \frac{4 \cdot 2}{3xy \cdot 2} + \frac{3x \cdot 3x}{2y \cdot 3x} - \frac{2 \cdot 6xy}{1 \cdot 6xy} = \frac{8}{6xy} + \frac{9x^2}{6xy} - \frac{12xy}{6xy}

=8+9x2−12xy6xy=9x2−12xy+86xy\displaystyle = \frac{8 + 9x^2 - 12xy}{6xy} = \frac{9x^2 - 12xy + 8}{6xy}

📝Oppgave 7

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

a
32xy+13x−1\displaystyle \frac{3}{2xy} + \frac{1}{3x} - 1
b
32ab+15\displaystyle \frac{3}{2ab} + \frac{1}{5}
c
25x−13y−1\displaystyle \frac{2}{5x} - \frac{1}{3y} - 1
Løs oppgavenTren
✏️Døme 7

Trekk saman:

4x+2−2\displaystyle \frac{4}{x + 2} - 2

Løysing:

4x+2−21=4x+2−2(x+2)1(x+2)=4x+2−2x+4x+2=4−(2x+4)x+2\displaystyle \frac{4}{x + 2} - \frac{2}{1} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2(x + 2)}{1(x + 2)} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2x + 4}{x + 2} = \frac{4 - (2x + 4)}{x + 2}

=4−2x−4x+2=−2xx+2\displaystyle = \frac{4 - 2x - 4}{x + 2} = \frac{-2x}{x + 2}

📝Oppgave 8

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

a
5x+2+13\displaystyle \frac{5}{x + 2} + \frac{1}{3}
b
2x+3−12\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2}
c
2−x+23\displaystyle 2 - \frac{x + 2}{3}
d
3y+1+42(y+1)\displaystyle \frac{3}{y + 1} + \frac{4}{2(y + 1)}
e
x5x−2\displaystyle \frac{x}{5x} - 2
f
23−x−33x−2\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{x - 3}{3x} - 2
Løs oppgavenTren
✏️Døme 8

Trekk saman:

5x−3−32\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2}

Løysing:

5x−3−32=2⋅52(x−3)−3(x−3)2(x−3)=102x−6−3x−92x−6\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 5}{2(x - 3)} - \frac{3(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{10}{2x - 6} - \frac{3x - 9}{2x - 6}

=10−(3x−9)2x−6=10−3x+92x−6=−3x+192x−6\displaystyle = \frac{10 - (3x - 9)}{2x - 6} = \frac{10 - 3x + 9}{2x - 6} = \frac{-3x + 19}{2x - 6}

✏️Døme 9

Trekk saman:

2x−4−1x+4\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4}

Løysing:

Vi ser fellesnevnaren er (x−4)(x+4)(x - 4)(x + 4)

2x−4−1x+4=2(x+4)(x−4)(x+4)−1(x−4)(x+4)(x−4)\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4} = \frac{2(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)}

=2x+8−1(x−4)(x−4)(x+4)=2x+8−x+4(x−4)(x+4)=x+12x2−16\displaystyle = \frac{2x + 8 - 1(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{2x + 8 - x + 4}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 12}{x^2 - 16}

📝Oppgave 9

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

a
2x+2+3x−2\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}
b
2x+3−12x+6\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2x + 6}
c
3−x+2x2+2x\displaystyle 3 - \frac{x + 2}{x^2 + 2x}
d
3y+4+42y+8−13\displaystyle \frac{3}{y + 4} + \frac{4}{2y + 8} - \frac{1}{3}
e
13x−2x+1\displaystyle \frac{1}{3x} - \frac{2}{x + 1}
f
12−x−3x−2−2x−1\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x - 3}{x - 2} - \frac{2}{x - 1}
Løs oppgavenTren
✏️Døme 10

Trekk saman:

2x+2−43x−3\displaystyle \frac{2}{x + 2} - \frac{4}{3x - 3}

Løysing:

2x+2+43x−3=2(x+2)−43(x−1)\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{4}{3x - 3} = \frac{2}{(x + 2)} - \frac{4}{3(x - 1)}

=3⋅2(x−1)3(x−1)(x+2)−4(x+2)3(x−1)(x+2)=6(x−1)−4(x+2)3(x−1)(x+2)\displaystyle = \frac{3 \cdot 2(x - 1)}{3(x - 1)(x + 2)} - \frac{4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{6(x - 1) - 4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)}

=6x−6−4x−83(x−1)(x+2)=2x−143(x−1)(x+2)=2x−143x2+3x−6\displaystyle = \frac{6x - 6 - 4x - 8}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3x^2 + 3x - 6}

Oppsummering

- Forkorting av rasjonale uttrykk: Faktoriser både teljar og nevnar, deretter stryk like faktorar
- Multiplikasjon: ab⋅cd=acbd\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} - gang teljarar og gang nevnarar, forkort undervegs viss mogleg
- Divisjon: ab÷cd=ab⋅dc\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} - snu den andre brøken og gang
- Addisjon/subtraksjon med lik nevnar: Trekk saman teljarane, behald nevnaren
- Utviding: Gang både teljar og nevnar med same faktor for å få ønskt nevnar
- Fellesnevnar: Faktoriser nevnarane og finn minste felles multiplum, eller gang nevnarane med kvarandre
- Vær forsiktig med fortegn når du trekkjer frå brøkar: ab−cd=ad−bcbd\displaystyle \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}

Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.