4.5 Formlikhet | Matematikk 1P

Lær om formlike figurer, formlikhetsfaktoren og hvordan du beregner ukjente sider, areal og volum ved hjelp av formlikhet.

50 min

10 oppgaver

FormlikhetFormlikhetsfaktorMålestokkAreal og formlikhetVolum og formlikhet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kva er formlikskap?

Har du nokon gong sett eit fotografi i ulike storrleiker? Eit lite passfoto og ein stor plakat kan visa det same biletet -- berre i ulik storleik. Proporsjongane er dei same, men mål er ulike. Vi seier at figurane er formlike.

Formlikskap er eit viktig omgrep i geometri og har mange praktiske bruksområde: kart, arkitektteikningar, modellar og mykje meir.

Formlike figurar

k

✏️Døme 1: Finne formlikskapsaktoren

To rektangel er formlike. Det lille rektangelet har sider 3 cm og 5 cm. Det store rektangelet har sider 9 cm og 15 cm.

Finn formlikskapsaktoren.

Løysing:

Vi finn forholdet mellom tilsvarande sider:

$k = \frac{9}{3} = 3 \quad \text{og} \quad k = \frac{15}{5} = 3$

Begge forholda gir $k = 3$ , som stadfester at rektangla er formlike med formlikskapsaktoren $k = 3$ .

Det store rektangelet er 3 gonger så stort som det lille.

📝Oppgave 4.5.1

Finn formlikskapsaktoren mellom figurane:

Trekant A har sider 4 cm, 6 cm og 8 cm. Trekant B har sider 10 cm, 15 cm og 20 cm.

Rektangel A har sider 12 cm og 8 cm. Rektangel B har sider 6 cm og 4 cm.

Kvadrat A har side 7 cm. Kvadrat B har side 21 cm.

Løs oppgaven Tren

Rekne ut ukjende sider

Når vi veit at to figurar er formlike, kan vi bruke formlikskapsaktoren til å finne ukjende sider. Vi set opp forholdstall mellom tilsvarande sider:

$\frac{\text{side}_1 \text{ i figur B}}{\text{side}_1 \text{ i figur A}} = \frac{\text{side}_2 \text{ i figur B}}{\text{side}_2 \text{ i figur A}}$

Frå dette kan vi finne den ukjende siden ved kryssregning.

✏️Døme 2: Finne ein ukjend side

To trekanter er formlike. I den første trekanten er sidene 5 cm, 8 cm og 10 cm. I den andre trekanten er den kortaste siden 7,5 cm. Finn dei to andre sidene i den andre trekanten.

Løysing:

Først finn vi formlikskapsaktoren med den kjende siden:

$k = \frac{7{,}5}{5} = 1{,}5$

Deretter gangar vi dei andre sidene med formlikskapsaktoren:

Side 2: $8 \cdot 1{,}5 = 12$ cm

Side 3: $10 \cdot 1{,}5 = 15$ cm

Den andre trekanten har sider 7,5 cm, 12 cm og 15 cm.

📊Utforsk: Formlike trekanter

Dei to trekantane er formlike med formlikskapsaktoren $k = 2$ : alle sidene i den røde trekanten er dobbelt så lange som i den blå. Mål sidene i algebrafeltet og kontroller at forholdet mellom tilsvarande sider er likt.

📝Oppgave 4.5.2

Figurane er formlike. Finn den ukjende siden $x$ :

Trekant A: sider 6 og 9. Trekant B: sider 10 og $x$ .

Rektangel A: sider 4 og 7. Rektangel B: sider $x$ og 21.

Trekant A: sider 15 og 20. Trekant B: sider 9 og $x$ .

Løs oppgaven Tren

Formlike trekanter i praksis

Formlike trekanter oppstår ofte i naturen og i praktiske situasjonar. Eit klassisk døme er skyggeberekning: Når solen skinn, lagar ein person og ein stolpe skuggar. Personen, stolpen og skuggane dannar formlike trekanter fordi solstrålar er tilnærma parallelle.

Vi kan bruke dette til å rekne ut høgda på gjenstandar vi ikkje kan måle direkte.

✏️Døme 3: Skyggeberekning

Ein stolpe kastar ein skugge som er 12 m lang. Samstundes kastar ein person som er 1,8 m høg ein skugge som er 2,4 m lang. Kor høg er stolpen?

Løysing:

Personen og stolpen med sine skuggar dannar formlike trekanter. Vi set opp forholdet:

$\frac{\text{høgd stolpe}}{\text{skugge stolpe}} = \frac{\text{høgd person}}{\text{skugge person}}$

$\frac{h}{12} = \frac{1{,}8}{2{,}4}$

$h = 12 \cdot \frac{1{,}8}{2{,}4} = 12 \cdot 0{,}75 = 9 \text{ m}$

Stolpen er 9 meter høg.

📝Oppgave 4.5.3

Løys oppgåvene med formlike trekanter:

Ein flaggstong kastar ein skugge på 8 m. Ein pinne som er 1,5 m høg kastar ein skugge på 2 m. Kor høg er flaggstonga?

Eit tre kastar ei skugge på 15 m. Ein person (1,7 m) som står ved treet kastar ei skugge på 3 m. Kor høgt er treet?

Løs oppgaven Tren

Formlikskap og areal

Når to figurar er formlike med formliks faktor $k$ , gjeld følgjande samanheng for areala:

$\frac{A_{\text{stor}}}{A_{\text{liten}}} = k^2$

Arealet endrar seg med kvadratet av formliks faktoren. Viss alle sider blir dubla ( $k = 2$ ), blir arealet $2^2 = 4$ gonger så stort.

Formliks faktor, areal og volum

k

✏️Døme 4: Areal og volum ved formlikskap

Ein arkitekt lagar ein modell av eit hus i målestokk 1 : 50.

a) Ein vegg på modellen er 16 cm lang. Kor lang er den verkelege veggen?
b) Taket på modellen har eit areal på 120 cm². Kva er arealet av det verkelege taket?
c) Modellhuset har eit volum på 4800 cm³. Kva er volumet av det verkelege huset?

Løysing:

Formliks faktoren er $k = 50$ (frå modell til verkelegheit).

a) Verkeleg vegg $= 16 \cdot 50 = 800 \text{ cm} = 8 \text{ m}$

b) Verkeleg takareal $= 120 \cdot 50^2 = 120 \cdot 2500 = 300\,000 \text{ cm}^2 = 30 \text{ m}^2$

c) Verkeleg volum $= 4800 \cdot 50^3 = 4800 \cdot 125\,000 = 600\,000\,000 \text{ cm}^3 = 600 \text{ m}^3$

📝Oppgave 4.5.4

Løys oppgåvene om formlikskap og areal/volum:

To formlike trekantar har formliks faktor $k = 4$ . Den litle trekanten har areal 5 cm². Finn arealet av den store trekanten.

To formlike boksar har formliks faktor $k = 2$ . Den litle boksen har volum 30 cm³. Finn volumet av den store boksen.

Ein liten statue er 15 cm høg og veg 200 g. Ein formliks kopi er 45 cm høg. Kor mykje veg kopien?

Løs oppgaven Tren

Målestokk som formlikskap

Målestokk er eit spesialtilfelle av formlikskap. Eit kart i målestokk 1 : 10 000 betyr at 1 cm på kartet tilsvarar 10 000 cm = 100 m i verkelegheit.

Generelt: Målestokk $1 : n$ betyr at formliks faktoren er $k = n$ .

- Frå kart til verkelegheit: Gang med $n$
- Frå verkelegheit til kart: Del på $n$

✏️Døme 5: Målestokk

Eit kart har målestokk 1 : 25 000.

a) Avstanden mellom to hytter er 6 cm på kartet. Kor langt er det i verkelegheit?
b) Ein innsjø er 800 m lang i verkelegheit. Kor lang er innsjøen på kartet?
c) Eit skogsområde måler 2 cm $\times$ 3 cm på kartet. Kva er det verkelege arealet i m²?

Løysing:

a) Verkeleg avstand $= 6 \cdot 25\,000 = 150\,000 \text{ cm} = 1500 \text{ m} = 1{,}5 \text{ km}$

b) $800 \text{ m} = 80\,000 \text{ cm}$ . På kartet: $\displaystyle \frac{80\,000}{25\,000} = 3{,}2 \text{ cm}$

c) Verkeleg lengd: $2 \cdot 25\,000 = 50\,000 \text{ cm} = 500 \text{ m}$
Verkeleg breidd: $3 \cdot 25\,000 = 75\,000 \text{ cm} = 750 \text{ m}$
Areal: $500 \cdot 750 = 375\,000 \text{ m}^2 = 375 \text{ dekar}$

Alternativt for areal: $A_{\text{kart}} = 6 \text{ cm}^2$ , $A_{\text{verkeleg}} = 6 \cdot 25\,000^2 = 3{,}75 \cdot 10^9 \text{ cm}^2 = 375\,000 \text{ m}^2$ .

📝Oppgave 4.5.5

Løys oppgåvene om målestokk:

Eit kart har målestokk 1 : 50 000. Avstanden mellom to stader er 4,5 cm på kartet. Finn avstanden i km.

Ein bygning er 18 m lang. Kor lang blir ho på ei teikning i målestokk 1 : 200?

Ein hage er 3 cm $\times$ 4 cm på ei teikning med målestokk 1 : 100. Finn det verkelege arealet i m².

Løs oppgaven Tren

Husk å bruke rett potens!

Når du bruker formliks faktor:
- Lengder skalerar seg med $k$
- Areal skalerar seg med $k^2$
- Volum skalerar seg med $k^3$

Ein vanleg feil er å bruke $k$ for areal og volum i staden for $k^2$ og $k^3$ .

Døme: Viss $k = 3$ , blir arealet $3^2 = 9$ gonger så stort, IKKJE 3 gonger.

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Formlike figurar: Like vinklar og proporsjonale sider.
- Formliks faktor $k$ : Talet alle lengder blir gonga med. $\displaystyle k = \frac{\text{stor side}}{\text{tilsvarande liten side}}$
- Areal og volum: Lengder skalerar seg med $k$ , areal med $k^2$ og volum med $k^3$ .
- Målestokk: Kart og modellar er formlike med verkelegheita — målestokk $1 : 25\,000$ betyr at $1$ cm på kartet er $25\,000$ cm i verkelegheit.

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Formlikskap	Same form, ulik størrelse
Formliks faktor	Forholdet mellom tilsvarande sider
Målestokk	Forholdet mellom teikning og verkelegheit

Viktige samanhengar

- Lengd:

\cdot \, k

, areal:

\cdot \, k^2

, volum:

\cdot \, k^3

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.