4.5 Formlikhet

Samme bilde, ny størrelse

Du tar et bilde med mobilen og bestiller det både som lite passfoto og som stor plakat. Motivet er identisk, proporsjonene er de samme -- bare størrelsen er forskjellig. I geometrien sier vi at de to bildene er formlike.

To figurer er formlike dersom to krav er oppfylt: Alle tilsvarende vinkler er like store, og alle tilsvarende sider har samme forholdstall. Dette felles forholdstallet kalles formlikhetsfaktoren (eller skaleringsfaktoren) $k$, og vi finner den ved å dele en side i den store figuren på den tilsvarende siden i den lille:
$$k = \frac{\text{side i den store figuren}}{\text{tilsvarende side i den lille figuren}}$$
Er $k > 1$, er figuren forstørret; er $0 < k < 1$, er den forminsket.

Et eksempel: Et lite rektangel har sider 3 cm og 5 cm, et stort har sider 9 cm og 15 cm. Vi sjekker forholdene: $\displaystyle \frac{9}{3} = 3$ og $\displaystyle \frac{15}{5} = 3$. Begge gir samme tall, så rektanglene er formlike med $k = 3$ -- det store er tre ganger så stort i alle retninger. Nettopp dette at begge forhold må stemme, er testen på formlikhet. Kart, arkitektmodeller, mobilskjermer og skygger på bakken -- formlikheten dukker opp overalt, og i dette kapittelet lærer du å regne med den.

Den ukjente siden

Når vi vet at to figurer er formlike, blir formlikhetsfaktoren en regnemaskin for ukjente sider: Finn $k$ ved hjelp av et sidepar du kjenner, og gang de andre sidene med $k$.

Si at to trekanter er formlike. Den første har sider 5 cm, 8 cm og 10 cm, og i den andre er den korteste siden 7,5 cm. Først faktoren: $\displaystyle k = \frac{7{,}5}{5} = 1{,}5$. Deretter de andre sidene: $8 \cdot 1{,}5 = 12$ cm og $10 \cdot 1{,}5 = 15$ cm. Den andre trekanten har altså sidene 7,5 cm, 12 cm og 15 cm.

Du kan også sette opp forholdstall direkte. Siden tilsvarende sider har samme forhold, gjelder
$$\frac{\text{side}_1 \text{ i figur B}}{\text{side}_1 \text{ i figur A}} = \frac{\text{side}_2 \text{ i figur B}}{\text{side}_2 \text{ i figur A}}$$
og den ukjente finner du ved kryssregning. Det viktigste -- og det folk oftest snubler i -- er å koble riktige sider sammen: Korteste side hører sammen med korteste, lengste med lengste. Tegn gjerne figurene ved siden av hverandre og merk av hvilke sider som tilsvarer hverandre, før du begynner å regne. Husk også at $k$ avhenger av retningen: Fra den store til den lille figuren blir faktoren $\displaystyle \frac{1}{k}$, altså mindre enn 1.

Skyggen som måler stolpen

Hvordan måler du høyden på en lyktestolpe uten stige? Med sola som hjelpemiddel. Når sola skinner, kaster både du og stolpen skygger på bakken -- og fordi solstrålene er tilnærmet parallelle, danner stolpen med sin skygge og du med din skygge to formlike trekanter. Samme vinkler, samme forholdstall.

La oss prøve. En stolpe kaster en skygge på 12 meter. Samtidig kaster en person på 1,8 meter en skygge på 2,4 meter. Forholdet mellom høyde og skygge må være likt for begge:
$$\frac{h}{12} = \frac{1{,}8}{2{,}4}$$
Høyresiden er $0{,}75$ -- høyden er tre firedeler av skyggelengden. Dermed er $h = 12 \cdot 0{,}75 = 9$ meter. Stolpen er 9 meter høy, målt uten å forlate bakken.

Denne teknikken er eldgammel: Den greske filosofen Tales skal ha målt høyden på pyramidene i Egypt nettopp slik, ved å sammenligne pyramidens skygge med sin egen. Det eneste du trenger, er at målingene gjøres samtidig -- solas vinkel endrer seg i løpet av dagen, og da endres alle skyggene i samme takt. Formlike trekanter dukker også opp andre steder: i kart og arbeidstegninger, i perspektivtegning, og hver gang du zoomer på mobilskjermen.

Når lengden tredobles, hva skjer med arealet?

Her kommer kapittelets mest overraskende innsikt. Hvis alle lengdene i en figur ganges med $k$, skulle man kanskje tro at arealet også ganges med $k$. Men nei: Arealet er todimensjonalt, så det ganges med $k$ to ganger:
$$A_{\text{ny}} = k^2 \cdot A_{\text{original}}$$
Og volumet, som er tredimensjonalt, ganges med $k$ tre ganger: $V_{\text{ny}} = k^3 \cdot V_{\text{original}}$. Med $k = 3$ blir altså lengdene 3 ganger så store, arealet $3^2 = 9$ ganger så stort og volumet $3^3 = 27$ ganger så stort. Dette er den klart vanligste feilkilden i formlikhetsoppgaver -- husk: lengde $k$, areal $k^2$, volum $k^3$.

La oss se det i praksis hos en arkitekt som har laget en husmodell i målestokk 1 : 50, slik at $k = 50$ fra modell til virkelighet. En vegg på modellen er 16 cm -- i virkeligheten $16 \cdot 50 = 800$ cm $= 8$ meter. Taket på modellen har areal 120 cm² -- i virkeligheten $120 \cdot 50^2 = 120 \cdot 2500 = 300\,000$ cm² $= 30$ m². Og modellens volum på 4800 cm³ svarer til $4800 \cdot 50^3 = 600\,000\,000$ cm³ $= 600$ m³ i virkeligheten. Samme faktor, tre forskjellige potenser -- alt etter om du regner på lengder, flater eller rom.

Kartet i lomma

Målestokk er formlikhet satt i system. Når kartet i turappen din viser «1 : 25 000», betyr det at 1 cm på kartet tilsvarer 25 000 cm i virkeligheten -- altså 250 meter. Generelt betyr målestokk $1 : n$ at formlikhetsfaktoren fra kart til virkelighet er $k = n$: Fra kart til virkelighet ganger du med $n$, fra virkelighet til kart deler du på $n$.

La oss planlegge en hyttetur med et kart i 1 : 25 000. Avstanden mellom to hytter måler 6 cm på kartet. I virkeligheten er det $6 \cdot 25\,000 = 150\,000$ cm $= 1500$ m $= 1{,}5$ km. Motsatt vei: En innsjø på 800 meter er $80\,000$ cm i virkeligheten, og på kartet blir den $\displaystyle \frac{80\,000}{25\,000} = 3{,}2$ cm.

Arealer på kartet følger $k^2$-regelen fra forrige seksjon. Et skogsområde på 2 cm × 3 cm på kartet er i virkeligheten $500$ m × $750$ m, altså $375\,000$ m² -- som med dekarregningen fra enhetkapittelet er 375 dekar. Samme svar får du ved å gange kartarealet 6 cm² med $25\,000^2$.

Tegninger bruker målestokk på samme måte, ofte med små tall: En bygning på 18 meter blir på en tegning i 1 : 200 bare $\displaystyle \frac{1800 \text{ cm}}{200} = 9$ cm lang. Kart, byggetegninger og modeller -- alt er formlikhet med hver sin $k$.

Fortellingen om samme form i ny størrelse

Passfotoet og plakaten viste vei: Formlike figurer har like vinkler og proporsjonale sider, og formlikhetsfaktoren $\displaystyle k = \frac{\text{stor side}}{\text{tilsvarende liten side}}$ er tallet som binder dem sammen. Kjenner du $k$ og én figur, kjenner du alle sidene i den andre -- bare husk å koble tilsvarende sider riktig.

I praksis målte vi stolpehøyder med skygger, fordi parallelle solstråler lager formlike trekanter: høyde delt på skygge er likt for alt som står i samme sol. Og vi avslørte kapittelets store felle: Lengder skaleres med $k$, men areal med $k^2$ og volum med $k^3$ -- dobler du alle sidene, firedobles flaten og åttedobles rommet.

Til slutt satte målestokken alt i system: $1 : n$ betyr $k = n$, så du ganger med $n$ fra kart til virkelighet og deler på $n$ tilbake. Fra arkitektmodeller til turkart i lomma -- formlikheten er geometriens måte å si at størrelse og form er to forskjellige ting.