4.5 Formlikhet | Matematikk 1P

Lær om formlike figurer, formlikhetsfaktoren og hvordan du beregner ukjente sider, areal og volum ved hjelp av formlikhet.

50 min

10 oppgaver

FormlikhetFormlikhetsfaktorMålestokkAreal og formlikhetVolum og formlikhet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Hva er formlikhet?

Har du noen gang sett et fotografi i ulike storrelser? Et lite passfoto og en stor plakat kan vise det samme bildet -- bare i forskjellig storrelse. Proporsjonene er de samme, men målene er ulike. Vi sier at figurene er formlike.

Formlikhet er et viktig begrep i geometri og har mange praktiske bruksområder: kart, arkitekttegninger, modeller og mye mer.

Formlike figurer

k

✏️Eksempel 1: Finne formlikhetsfaktoren

To rektangler er formlike. Det lille rektangelet har sider 3 cm og 5 cm. Det store rektangelet har sider 9 cm og 15 cm.

Finn formlikhetsfaktoren.

Løsning:

Vi finner forholdet mellom tilsvarende sider:

$k = \frac{9}{3} = 3 \quad \text{og} \quad k = \frac{15}{5} = 3$

Begge forholdene gir $k = 3$ , som bekrefter at rektanglene er formlike med formlikhetsfaktor $k = 3$ .

Det store rektangelet er 3 ganger så stort som det lille.

📝Oppgave 4.5.1

Finn formlikhetsfaktoren mellom figurene:

Trekant A har sider 4 cm, 6 cm og 8 cm. Trekant B har sider 10 cm, 15 cm og 20 cm.

Rektangel A har sider 12 cm og 8 cm. Rektangel B har sider 6 cm og 4 cm.

Kvadrat A har side 7 cm. Kvadrat B har side 21 cm.

Løs oppgaven Tren

Beregne ukjente sider

Når vi vet at to figurer er formlike, kan vi bruke formlikhetsfaktoren til å finne ukjente sider. Vi setter opp forholdstall mellom tilsvarende sider:

$\frac{\text{side}_1 \text{ i figur B}}{\text{side}_1 \text{ i figur A}} = \frac{\text{side}_2 \text{ i figur B}}{\text{side}_2 \text{ i figur A}}$

Fra dette kan vi finne den ukjente siden ved kryssregning.

✏️Eksempel 2: Finne en ukjent side

To trekanter er formlike. I den forste trekanten er sidene 5 cm, 8 cm og 10 cm. I den andre trekanten er den korteste siden 7,5 cm. Finn de to andre sidene i den andre trekanten.

Løsning:

Forst finner vi formlikhetsfaktoren med den kjente siden:

$k = \frac{7{,}5}{5} = 1{,}5$

Deretter ganger vi de andre sidene med formlikhetsfaktoren:

Side 2: $8 \cdot 1{,}5 = 12$ cm

Side 3: $10 \cdot 1{,}5 = 15$ cm

Den andre trekanten har sider 7,5 cm, 12 cm og 15 cm.

📊Utforsk: Formlike trekanter

De to trekantene er formlike med formlikhetsfaktor $k = 2$ : alle sidene i den røde trekanten er dobbelt så lange som i den blå. Mål sidene i algebrafeltet og kontroller at forholdet mellom samsvarende sider er likt.

📝Oppgave 4.5.2

Figurene er formlike. Finn den ukjente siden $x$ :

Trekant A: sider 6 og 9. Trekant B: sider 10 og $x$ .

Rektangel A: sider 4 og 7. Rektangel B: sider $x$ og 21.

Trekant A: sider 15 og 20. Trekant B: sider 9 og $x$ .

Løs oppgaven Tren

Formlike trekanter i praksis

Formlike trekanter oppstår ofte i naturen og i praktiske situasjoner. Et klassisk eksempel er skyggeberegning: Når solen skinner, lager en person og en stolpe skygger. Personen, stolpen og skyggene danner formlike trekanter fordi solstrålene er tilnormet parallelle.

Vi kan bruke dette til å beregne hoyden på gjenstander vi ikke kan måle direkte.

✏️Eksempel 3: Skyggeberegning

En stolpe kaster en skygge som er 12 m lang. Samtidig kaster en person som er 1,8 m hoy en skygge som er 2,4 m lang. Hvor hoy er stolpen?

Løsning:

Personen og stolpen med sine skygger danner formlike trekanter. Vi setter opp forholdet:

$\frac{\text{hoyde stolpe}}{\text{skygge stolpe}} = \frac{\text{hoyde person}}{\text{skygge person}}$

$\frac{h}{12} = \frac{1{,}8}{2{,}4}$

$h = 12 \cdot \frac{1{,}8}{2{,}4} = 12 \cdot 0{,}75 = 9 \text{ m}$

Stolpen er 9 meter hoy.

📝Oppgave 4.5.3

Los oppgavene med formlike trekanter:

Et flaggstang kaster en skygge på 8 m. En pinne som er 1,5 m hoy kaster en skygge på 2 m. Hvor hoy er flaggstangen?

Et tre kaster en skygge på 15 m. En person (1,7 m) som står ved treet kaster en skygge på 3 m. Hvor hoyt er treet?

Løs oppgaven Tren

Formlikhet og areal

Når to figurer er formlike med formlikhetsfaktor $k$ , gjelder folgende sammenheng for arealene:

$\frac{A_{\text{stor}}}{A_{\text{liten}}} = k^2$

Arealet endres med kvadratet av formlikhetsfaktoren. Hvis alle sider dobles ( $k = 2$ ), blir arealet $2^2 = 4$ ganger så stort.

Formlikhetsfaktor, areal og volum

k

✏️Eksempel 4: Areal og volum ved formlikhet

En arkitekt lager en modell av et hus i målestokk 1 : 50.

a) En vegg på modellen er 16 cm lang. Hvor lang er den virkelige veggen?
b) Taket på modellen har et areal på 120 cm². Hva er arealet av det virkelige taket?
c) Modellhuset har et volum på 4800 cm³. Hva er volumet av det virkelige huset?

Løsning:

Formlikhetsfaktoren er $k = 50$ (fra modell til virkelighet).

a) Virkelig vegg $= 16 \cdot 50 = 800 \text{ cm} = 8 \text{ m}$

b) Virkelig takareal $= 120 \cdot 50^2 = 120 \cdot 2500 = 300\,000 \text{ cm}^2 = 30 \text{ m}^2$

c) Virkelig volum $= 4800 \cdot 50^3 = 4800 \cdot 125\,000 = 600\,000\,000 \text{ cm}^3 = 600 \text{ m}^3$

📝Oppgave 4.5.4

Los oppgavene om formlikhet og areal/volum:

To formlike trekanter har formlikhetsfaktor $k = 4$ . Den lille trekanten har areal 5 cm². Finn arealet av den store trekanten.

To formlike bokser har formlikhetsfaktor $k = 2$ . Den lille boksen har volum 30 cm³. Finn volumet av den store boksen.

En liten statue er 15 cm hoy og veier 200 g. En formlik kopi er 45 cm hoy. Hvor mye veier kopien?

Løs oppgaven Tren

Målestokk som formlikhet

Målestokk er et spesialtilfelle av formlikhet. Et kart i målestokk 1 : 10 000 betyr at 1 cm på kartet tilsvarer 10 000 cm = 100 m i virkeligheten.

Generelt: Målestokk $1 : n$ betyr at formlikhetsfaktoren er $k = n$ .

- Fra kart til virkelighet: Gang med $n$
- Fra virkelighet til kart: Del på $n$

✏️Eksempel 5: Målestokk

Et kart har målestokk 1 : 25 000.

a) Avstanden mellom to hytter er 6 cm på kartet. Hvor langt er det i virkeligheten?
b) En innsjø er 800 m lang i virkeligheten. Hvor lang er innsjoen på kartet?
c) Et skogsområde måler 2 cm $\times$ 3 cm på kartet. Hva er det virkelige arealet i m²?

Løsning:

a) Virkelig avstand $= 6 \cdot 25\,000 = 150\,000 \text{ cm} = 1500 \text{ m} = 1{,}5 \text{ km}$

b) $800 \text{ m} = 80\,000 \text{ cm}$ . På kartet: $\displaystyle \frac{80\,000}{25\,000} = 3{,}2 \text{ cm}$

c) Virkelig lengde: $2 \cdot 25\,000 = 50\,000 \text{ cm} = 500 \text{ m}$
Virkelig bredde: $3 \cdot 25\,000 = 75\,000 \text{ cm} = 750 \text{ m}$
Areal: $500 \cdot 750 = 375\,000 \text{ m}^2 = 375 \text{ dekar}$

Alternativt for areal: $A_{\text{kart}} = 6 \text{ cm}^2$ , $A_{\text{virkelig}} = 6 \cdot 25\,000^2 = 3{,}75 \cdot 10^9 \text{ cm}^2 = 375\,000 \text{ m}^2$ .

📝Oppgave 4.5.5

Los oppgavene om målestokk:

Et kart har målestokk 1 : 50 000. Avstanden mellom to steder er 4,5 cm på kartet. Finn avstanden i km.

En bygning er 18 m lang. Hvor lang blir den på en tegning i målestokk 1 : 200?

En hage er 3 cm $\times$ 4 cm på en tegning med målestokk 1 : 100. Finn det virkelige arealet i m².

Løs oppgaven Tren

Husk å bruke riktig potens!

Når du bruker formlikhetsfaktor:
- Lengder skaleres med $k$
- Areal skaleres med $k^2$
- Volum skaleres med $k^3$

En vanlig feil er å bruke $k$ for areal og volum i stedet for $k^2$ og $k^3$ .

Eksempel: Hvis $k = 3$ , blir arealet $3^2 = 9$ ganger så stort, IKKE 3 ganger.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Formlike figurer: Like vinkler og proporsjonale sider.
- Formlikhetsfaktor $k$ : Tallet alle lengder ganges med. $\displaystyle k = \frac{\text{stor side}}{\text{tilsvarende liten side}}$
- Areal og volum: Lengder skaleres med $k$ , areal med $k^2$ og volum med $k^3$ .
- Målestokk: Kart og modeller er formlike med virkeligheten — målestokk $1 : 25\,000$ betyr at $1$ cm på kartet er $25\,000$ cm i virkeligheten.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Formlikhet	Samme form, ulik størrelse
Formlikhetsfaktor	Forholdet mellom tilsvarende sider
Målestokk	Forholdet mellom tegning og virkelighet

Viktige sammenhenger

- Lengde:

\cdot \, k

, areal:

\cdot \, k^2

, volum:

\cdot \, k^3

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.