1.4 Brøkregning

Kva er ei brøk?

Ei brøk beskriver ein del av noko. Når vi deler ei pizza i 8 like store stykke og et 3 av dei, har vi ete $\displaystyle \frac{3}{8}$ av pizzaen.

Ei brøk skrivast slik:

$$\frac{\text{teljar}}{\text{nemnar}}$$

- Teljaren (talet over brøkstreken) fortel kor mange delar vi har.
- Nemnaren (talet under brøkstreken) fortel kor mange like store delar heilheita er delt i.
- Brøkstreken tyder det same som deling: $\displaystyle \frac{3}{8} = 3 \div 8$.

Uekte brøkar og blanda tal

Når teljaren er like stor som eller større enn nemnaren, kallar vi brøken uekte. Til dømes er $\displaystyle \frac{7}{4}$ ei uekte brøk fordi $7 > 4$.

Eit blanda tal (blanda tal) består av eit heilt tal og ei ekte brøk. Til dømes:

$$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$$

fordi $7 \div 4 = 1$ med rest $3$.

Frå blanda tal til uekte brøk:
$$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$

Forkorting og utviding av brøkar

To brøkar som representerer same verdi, kallar vi likverdige brøkar. Til dømes er $\displaystyle \frac{2}{4}$ og $\displaystyle \frac{1}{2}$ likverdige.

Å forkorte ei brøk tyder å dele teljar og nemnar med same tal:

$$\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$$

Å utvide ei brøk tyder å gange teljar og nemnar med same tal:

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$$

Verdien av brøken endrar seg ikkje, fordi vi eigentleg gangar eller deler med 1.

Addisjon og subtraksjon av brøkar

For å leggje saman eller trekkje frå brøkar, må brøkane ha lik nemnar (fellesnemnar).

Med lik nemnar legg vi saman teljrane og held nemnaren:

$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$$

Med ulik nemnar utvider vi brøkane slik at dei får fellesnemnar:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

Vi fann fellesnemnar 12 (minste felles multiplum av 3 og 4) og utvidet begge brøkane.

Multiplikasjon og divisjon av brøkar

Multiplikasjon: Vi gangar teljar med teljar og nemnar med nemnar.

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Divisjon: Vi gangar med den omvendte brøken (vi snur den brøken vi delar med).

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Å «snue brøken» betyr å bytte teljar og nemnar. Den omvendte brøken av $\displaystyle \frac{3}{4}$ er $\displaystyle \frac{4}{3}$.

Brøk og desimaltal — omrekning

Brøkar og desimaltal er to måtar å skrive det same talet på.

Frå brøk til desimaltal: Del teljaren på nemnaren.

$$\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$$

Frå desimaltal til brøk: Skriv desimaltalet som ei brøk med nemnar 10, 100 osv.

$$0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

$$0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$$

Nokon brøkar gir endelause desimaltal: $\displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}$

Brøkdelen av eit tal

Å finne ei brøkdel av eit tal brukar vi ofte i kvardagen. «$\displaystyle \frac{2}{3}$ av 900» betyr $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot 900$.

Framgangsmåte:
1. Del talet på nemnaren (for å finne éin del).
2. Gang med teljaren (for å finne rett antal deler).

Døme frå kvardagen:
- Ei oppskrift som blir laga i $\displaystyle \frac{3}{4}$ porsjon
- $\displaystyle \frac{1}{5}$ av budsjettet blir brukt på transport
- Eit salg gir $\displaystyle \frac{2}{3}$ rabatt

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Brøk: $\displaystyle \frac{a}{b}$ der $a$ er tellar og $b$ er nemnar ($b \neq 0$).
- Forkorta/utvida: Del eller gang tellar og nemnar med same tal — verdien endrar seg ikkje.
- Addisjon/subtraksjon: Finn fellesnemnara først, og legg saman tellarane.
- Multiplikasjon: Tellar · tellar og nemnar · nemnar.
- Divisjon: Gang med den omvendte brøken.
- Brøkdelen av eit tal: Gang brøken med talet.

Nøkkelbegrep

Viktige formlar