1.4 Brøkregning

Pizzakvelden

Det er fredag, og du og tre venner har bestilt pizza. Den deles i 8 like store stykker, og du forsyner deg med 3 av dem. Hvor mye av pizzaen har du spist? Du har spist $\displaystyle \frac{3}{8}$ -- tre åttedeler. Sånn, da har vi allerede laget en brøk.

En brøk beskriver en del av noe, og den skrives som ett tall over og ett tall under en strek. Tallet over streken kalles telleren og forteller hvor mange deler vi har -- her 3 stykker. Tallet under streken kalles nevneren og forteller hvor mange like store deler helheten er delt i -- her 8 stykker. Og selve brøkstreken betyr det samme som deling: $\displaystyle \frac{3}{8} = 3 \div 8$.

Formelt er en brøk et tall på formen $\displaystyle \frac{a}{b}$ der $b \neq 0$. Nevneren kan aldri være null, for å dele noe i null deler gir ikke mening -- divisjon med null er rett og slett ikke definert.

Hva om du er ekstra sulten og spiser 7 stykker av en pizza som er delt i 4... vel, da trenger du mer enn én pizza, og brøken $\displaystyle \frac{7}{4}$ har teller som er større enn nevneren. En slik brøk kalles uekte, og den kan også skrives som et blanda tall: $\displaystyle \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$, altså én hel pizza og tre firedeler til, fordi $7 \div 4 = 1$ med rest 3. Motsatt vei ganger vi det hele tallet med nevneren og legger til telleren: $\displaystyle 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$, og på samme måte er $\displaystyle 3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$.

Samme mengde, ulike navn -- forkorting og utviding

Tenk deg at en venn spiser 2 av 4 stykker av en liten pizza, mens du spiser 1 av 2 stykker av en like stor en. Hvem spiste mest? Ingen -- dere spiste like mye! Brøkene $\displaystyle \frac{2}{4}$ og $\displaystyle \frac{1}{2}$ er likeverdige brøker: de ser forskjellige ut, men representerer nøyaktig samme verdi.

Vi kan veksle mellom slike brøker med to operasjoner. Å forkorte en brøk betyr å dele teller og nevner med det samme tallet: $\displaystyle \frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$. Å utvide en brøk betyr å gange teller og nevner med det samme tallet: $\displaystyle \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$. I begge tilfeller endres ikke verdien -- vi ganger eller deler jo egentlig bare med 1.

En brøk er fullt forkortet når teller og nevner ikke har noen felles faktor utenom 1. Svar oppgis vanligvis fullt forkortet, så $\displaystyle \frac{4}{6}$ bør skrives $\displaystyle \frac{2}{3}$.

Hvorfor bry seg om utviding? Fordi det er nøkkelen til å legge sammen brøker. Skal vi addere eller subtrahere brøker, må de ha lik nevner -- en fellesnevner. Har de det allerede, legger vi bare sammen tellerne og beholder nevneren: $\displaystyle \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$. Har de ulik nevner, utvider vi først: $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$, der 12 er minste felles multiplum av 3 og 4. To eksempler til: $\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$, og $\displaystyle \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$. Den klassiske fellen er å legge sammen både tellere og nevnere: $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ er ikke $\displaystyle \frac{2}{7}$ -- uten fellesnevner går det galt.

Halve oppskriften -- multiplikasjon og divisjon

Uka etter pizzakvelden skal dere bake, men oppskriften er til dobbelt så mange. Dere vil lage halve oppskriften, og det står at den bruker $\displaystyle \frac{3}{4}$ liter melk. Hvor mye trenger dere? Halvparten av tre firedeler -- altså $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$. Nå trenger vi multiplikasjon av brøker.

Heldigvis er multiplikasjon den enkleste brøkoperasjonen av alle: vi ganger teller med teller og nevner med nevner.

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Melka blir dermed $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ liter. Et eksempel til: $\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35}$. Ingen fellesnevner, ingen triks -- bare rett fram.

Divisjon ser skumlere ut, men har et elegant knep: å dele med en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken -- vi snur brøken vi deler med, slik at teller og nevner bytter plass.

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Den omvendte brøken av $\displaystyle \frac{3}{4}$ er $\displaystyle \frac{4}{3}$. La oss prøve: $\displaystyle \frac{4}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ etter forkorting. Gir det mening? Ja: divisjonen spør «hvor mange ganger får plass $\displaystyle \frac{2}{3}$ i $\displaystyle \frac{4}{9}$?» -- og svaret er to tredels gang.

En advarsel til slutt: man kan bare forkorte faktorer, ikke ledd i en sum. $\displaystyle \frac{3+6}{6}$ er ikke det samme som $\displaystyle \frac{3}{6} + 1$ -- regn ut telleren først: $\displaystyle \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Brøk møter desimaltall -- og hverdagen

Kassaapparatet viser aldri «$\displaystyle \frac{3}{4}$ av en liter» -- det viser 0,75 l. Brøker og desimaltall er to måter å skrive nøyaktig samme tall på, og du bør kunne veksle uanstrengt mellom dem.

Fra brøk til desimaltall bruker vi at brøkstreken betyr deling: $\displaystyle \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$. Fra desimaltall til brøk skriver vi desimaltallet med nevner 10, 100 eller 1000 og forkorter: $\displaystyle 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$, og $\displaystyle 0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Noen brøker gir uendelige desimaltall, som $\displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}$, der streken betyr at treerne fortsetter evig.

Noen par er så vanlige at de er verdt å kunne utenat: $\displaystyle \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$, $\displaystyle \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%$, $\displaystyle \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\%$, $\displaystyle \frac{1}{5} = 0{,}2 = 20\%$, $\displaystyle \frac{1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5\%$ og $\displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}\overline{3} = 33{,}\overline{3}\%$. Ser du en av disse i en oppgave eller på salg, vet du umiddelbart hva det betyr.

Det siste verktøyet er å finne brøkdelen av et tall. «$\displaystyle \frac{2}{3}$ av 900» betyr rett og slett $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot 900$. Framgangsmåten er å dele tallet på nevneren for å finne én del, og så gange med telleren. For eksempel er $\displaystyle \frac{3}{5}$ av 400 kr lik $\displaystyle \frac{3 \cdot 400}{5} = \frac{1200}{5} = 240$ kr. Og maleren som har 12 liter maling og bruker $\displaystyle \frac{5}{6}$ av den på et gjerde? Han brukte $\displaystyle \frac{5}{6} \cdot 12 = \frac{60}{6} = 10$ liter. Slik dukker brøkdeler opp overalt: en oppskrift i $\displaystyle \frac{3}{4}$ porsjon, $\displaystyle \frac{1}{5}$ av budsjettet til transport, eller et salg med $\displaystyle \frac{2}{3}$ rabatt.

Fortellingen om brøkene -- kort fortalt

Pizzakvelden ga oss hele verktøykassa. En brøk $\displaystyle \frac{a}{b}$ består av telleren $a$ over streken og nevneren $b$ under -- og nevneren kan aldri være null. Er telleren størst, har vi en uekte brøk som $\displaystyle \frac{11}{3}$, som også kan skrives som det blanda tallet $\displaystyle 3\frac{2}{3}$.

Vi kan forkorte og utvide en brøk ved å dele eller gange teller og nevner med samme tall -- verdien endres ikke, bare navnet. Det trikset er nøkkelen til addisjon og subtraksjon: brøker må ha fellesnevner før tellerne kan legges sammen, slik $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ ble $\displaystyle \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.

Multiplikasjon er enklest: teller ganger teller, nevner ganger nevner. Divisjon gjør vi ved å gange med den omvendte brøken -- vi snur den vi deler med. Og veien mellom brøk og desimaltall går gjennom brøkstreken som deling ($\displaystyle \frac{3}{4} = 0{,}75$) eller tierbrøker ($\displaystyle 0{,}6 = \frac{3}{5}$), med parene $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{1}{4}$, $\displaystyle \frac{3}{4}$, $\displaystyle \frac{1}{5}$, $\displaystyle \frac{1}{8}$ og $\displaystyle \frac{1}{3}$ som gode venner å kunne utenat.

Til slutt brøkdelen av et tall: $\displaystyle \frac{3}{5}$ av 400 kr er 240 kr -- del på nevneren, gang med telleren. Fra pizzastykker til malingsspann: brøker er språket for deler av en helhet.