1.4 Brøkregning

Hva er en brøk?

En brøk beskriver en del av noe. Når vi deler en pizza i 8 like store stykker og spiser 3 av dem, har vi spist $\displaystyle \frac{3}{8}$ av pizzaen.

En brøk skrives slik:

$$\frac{\text{teller}}{\text{nevner}}$$

- Telleren (tallet over brøkstreken) forteller hvor mange deler vi har.
- Nevneren (tallet under brøkstreken) forteller hvor mange like store deler helheten er delt i.
- Brøkstreken betyr det samme som deling: $\displaystyle \frac{3}{8} = 3 \div 8$.

Uekte brøker og blanda tall

Når telleren er like stor som eller større enn nevneren, kaller vi brøken uekte. For eksempel er $\displaystyle \frac{7}{4}$ en uekte brøk fordi $7 > 4$.

Et blanda tall (blandet tall) består av et helt tall og en ekte brøk. For eksempel:

$$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$$

fordi $7 \div 4 = 1$ med rest $3$.

Fra blanda tall til uekte brøk:
$$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$

Forkorting og utviding av brøker

To brøker som representerer samme verdi, kaller vi likeverdige brøker. For eksempel er $\displaystyle \frac{2}{4}$ og $\displaystyle \frac{1}{2}$ likeverdige.

Å forkorte en brøk betyr å dele teller og nevner med det samme tallet:

$$\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$$

Å utvide en brøk betyr å gange teller og nevner med det samme tallet:

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$$

Verdien av brøken endres ikke, fordi vi egentlig ganger eller deler med 1.

Addisjon og subtraksjon av brøker

For å legge sammen eller trekke fra brøker, må brøkene ha lik nevner (fellesnevner).

Med lik nevner legger vi sammen tellerne og beholder nevneren:

$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$$

Med ulik nevner utvider vi brøkene slik at de får fellesnevner:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

Vi fant fellesnevner 12 (minste felles multiplum av 3 og 4) og utvidet begge brøkene.

Multiplikasjon og divisjon av brøker

Multiplikasjon: Vi ganger teller med teller og nevner med nevner.

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Divisjon: Vi ganger med den omvendte brøken (vi snur den brøken vi deler med).

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Å «snu brøken» betyr å bytte teller og nevner. Den omvendte brøken av $\displaystyle \frac{3}{4}$ er $\displaystyle \frac{4}{3}$.

Brøk og desimaltall — omregning

Brøker og desimaltall er to måter å skrive det samme tallet på.

Fra brøk til desimaltall: Del telleren på nevneren.

$$\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$$

Fra desimaltall til brøk: Skriv desimaltallet som en brøk med nevner 10, 100 osv.

$$0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

$$0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$$

Noen brøker gir uendelige desimaltall: $\displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}$

Brøkdelen av et tall

Å finne en brøkdel av et tall bruker vi ofte i hverdagen. «$\displaystyle \frac{2}{3}$ av 900» betyr $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot 900$.

Fremgangsmåte:
1. Del tallet på nevneren (for å finne én del).
2. Gang med telleren (for å finne riktig antall deler).

Eksempler fra hverdagen:
- En oppskrift som lages i $\displaystyle \frac{3}{4}$ porsjon
- $\displaystyle \frac{1}{5}$ av budsjettet brukes på transport
- Et salg gir $\displaystyle \frac{2}{3}$ rabatt

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Brøk: $\displaystyle \frac{a}{b}$ der $a$ er teller og $b$ er nevner ($b \neq 0$).
- Forkorte/utvide: Del eller gang teller og nevner med samme tall — verdien endres ikke.
- Addisjon/subtraksjon: Finn fellesnevner først, og legg sammen tellerne.
- Multiplikasjon: Teller · teller og nevner · nevner.
- Divisjon: Gang med den omvendte brøken.
- Brøkdelen av et tall: Gang brøken med tallet.

Nøkkelbegreper

Viktige formler