7.3 Primtall og primtallsfaktorisering

Primtall, sammensatte tall, SFF og MFF.

50 min

6 oppgaver

PrimtallPrimtallsfaktoriseringSFFMFFEratosthenes sil

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Primtal: Talenes byggesteinar

Tenk på LEGO. Med berre nokre grunnleggjande klossar kan du byggje nesten kva som helst. Primtala er matematikken sine LEGO-klossar — dei er dei grunnleggjande byggesteinane som alle andre tal er sette saman av.

Talet $12$ til dømes kan delast opp i $2 \times 2 \times 3$ . Du kan ikkje dela $2$ eller $3$ vidare — dei er «udelelige». Dei er primtal.

I dette kapitlet skal du lære:
- Kva eit primtal er og korleis du gjenkjenner dei
- Eratosthenes' sil — ein metode for å finna primtal
- Primtalsfaktorisering — å dela opp tal i primtalsfaktorar
- Korleis du finn største felles faktor (SFF) og minste felles multiplum (MFF)

Primtal og samansette tal

1

✏️Døme 1: Er talet eit primtal?

Avgjerd om $29$ , $51$ og $67$ er primtal.

Sjekk $29$ :
Vi treng berre å sjekka deling med primtal opp til

\sqrt{29} \approx 5{,}4

.
-

29 \div 2 = 14{,}5

— nei
-

29 \div 3 = 9{,}67\ldots

— nei
-

29 \div 5 = 5{,}8

— nei

$29$ er eit primtal.

Sjekk $51$ :
$\sqrt{51} \approx 7{,}1$ , så vi sjekkar primtal opp til $7$ :
- $51 \div 2 = 25{,}5$ — nei
- $51 \div 3 = 17$ — ja!

$51 = 3 \times 17$ , så $51$ er eit samansett tal.

Sjekk $67$ :
$\sqrt{67} \approx 8{,}2$ , så vi sjekkar opp til $7$ :
- $67 \div 2 = 33{,}5$ — nei
- $67 \div 3 = 22{,}33\ldots$ — nei
- $67 \div 5 = 13{,}4$ — nei
- $67 \div 7 = 9{,}57\ldots$ — nei

$67$ er eit primtal.

Huskeregel: Du treng berre å sjekka deling med primtal opp til kvadratrota av talet.

📝Oppgave 7.13

Avgjer om tala er primtal eller samansette tal.

37

49

83

91

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Mia har primtalsfaktorisert

84

slik:

$84 = 2 \times 6 \times 7$

Finn feilen og skriv riktig primtalsfaktorisering.

Eratosthenes' sil

Den greske matematikaren Eratosthenes (276–194 f.Kr.) fann ein elegant metode for å finna alle primtal opp til eit gitt tal. Metoden kallast Eratosthenes' sil.

Slik fungerar det (for å finna alle primtal opp til 50):

1. Skriv opp alle tal frå 2 til 50
2. $2$ er primtal. Stryk alle multiplum av $2$ : $4, 6, 8, 10, \ldots$
3. Neste tal som ikkje er strøken er $3$ . Stryk alle multiplum av $3$ : $6, 9, 12, 15, \ldots$
4. Neste er $5$ . Stryk alle multiplum av $5$ : $10, 15, 20, 25, \ldots$
5. Neste er $7$ . Stryk alle multiplum av $7$ : $14, 21, 28, 35, \ldots$
6. Sidan $\sqrt{50} \approx 7{,}1$ , er vi ferdige!

Primtala opp til 50:
$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$

Det er 15 primtal mellom 1 og 50.

📝Oppgave 7.14

Bruk Eratosthenes' sil.

Finn alle primtal mellom 50 og 100 ved å bruka Eratosthenes' sil. Kor mange er det?

Ser du nokre mønster? Er det like mange primtal mellom 1–50 som mellom 50–100?

Primtalsfaktorisering

1

✏️Døme 2: Primtalsfaktorisering

Finn primtalsfaktoriseringa av $180$ og $252$ .

$180$ :

180 \div 2 = 90

90 \div 2 = 45

45 \div 3 = 15

15 \div 3 = 5

5 \div 5 = 1

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

$252$ :
$252 \div 2 = 126$
$126 \div 2 = 63$
$63 \div 3 = 21$
$21 \div 3 = 7$
$7 \div 7 = 1$

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

📝Oppgave 7.15

Finn primtalsfaktoriseringa.

72

150

360

1001

Løs oppgaven Tren

SFF og MFF

12

✏️Døme 3: Finne SFF og MFF

Finn SFF og MFF av $60$ og $84$ .

Steg 1: Primtallsfaktorisering

60 = 2^2 \times 3 \times 5

84 = 2^2 \times 3 \times 7

Steg 2: SFF (vel lågaste potens av felles primtal)
Felles primtal: $2$ og $3$
$\text{SFF} = 2^2 \times 3 = 12$

Steg 3: MFF (vel høgaste potens av alle primtal)
Alle primtal: $2, 3, 5, 7$
$\text{MFF} = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$

Kontroll: $\text{SFF} \times \text{MFF} = 12 \times 420 = 5040 = 60 \times 84$ ✓

📝Oppgave 7.16

Bruk primtallsfaktorisering til å finne SFF og MFF.

Finn SFF og MFF av $24$ og $36$ .

Finn SFF og MFF av $45$ og $75$ .

Finn SFF og MFF av $48$ , $60$ og $72$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Ein ven seier: «Det finst ikkje to primtal rett etter kvarandre (med differanse 1).» Er dette rett? Finst det unntak? Drøft også om det finst uendeleg mange «tvillingprimtal» (primtal med differanse 2, t.d.

11

13

Oppsummering

Primtal

- Eit primtal er berre deleleg med

1

og seg sjølv
-

2

er det minste (og einaste partal-) primtalet
-

1

er verken primtal eller samansett tal

Primtallsfaktorisering

- Kvart tal

> 1

kan skrivast som eit unikt produkt av primtal
- Bruk faktortre: del gjentatt på det minste primtalet som går opp

SFF og MFF

- SFF: Vel lågaste potens av felles primtal
- MFF: Vel høgaste potens av alle primtal
- Sjekk:

\text{SFF}(a,b) \times \text{MFF}(a,b) = a \times b

📝Oppgave 7.17

Bruk primtal til å løyse praktiske problem.

Du har 24 røde rosor og 36 kvite rosor. Du vil lage buketter som har like mange røde og like mange kvite rosor i kvar bukett, utan at nokon rosor blir til overs. Kva er det største antalet buketter du kan lage?

Buss A går kvar 12. minutt, og buss B går kvar 18. minutt. Begge bussane er ved holdeplassen klokka 08:00. Når er neste gong begge bussane er ved holdeplassen samtidig?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7.18

Utforsk primtal med programmering (valfritt).

Skriv ein algoritme (pseudokode eller Python) som sjekkar om eit tal $n$ er eit primtal. Hint: Du treng berre å sjekke deling opp til $\sqrt{n}$ .

Bruk algoritmen til å finne alle primtal mellom 100 og 150.

Primtallstuillingar er primtalpar med avstand 2 (t.d. $11$ og $13$ ). Finn alle primtallstuillingar mellom 1 og 100.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.