4.1 Pytagoras' setning | Matematikk 10. klasse

Pytagoras' setning og dens anvendelser i praktiske situasjoner.

45 min

12 oppgaver

PytagorasRettvinklet trekantHypotenusPraktiske oppgaver

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

4.2Trigonometri

Innleiing

Pytagoras' setning er eit av dei viktigaste verktøya i geometri. Ho vart oppdaga av den greske matematikaren Pytagoras for over 2500 år sidan, men blir framleis brukt dagleg av ingeniører, arkitektar, snekkjarar og mange andre.

I dette kapitlet skal vi sjå på korleis vi kan bruke setningen til å løyse praktiske problem - frå å finne diagonalar i figurar til å berekne avstandar i koordinatsystemet og i rommet.

Pytagoras' setning

a^2 + b^2 = c^2

Huskeregel: Hypotenusen er alltid den lengste sida i ein rettvinkla trekant. Ho ligg alltid motstatt den rette vinkelen (90 graders vinkelen).

✏️Døme 1: Finne hypotenusen

Ein rettvinkla trekant har katetan på 6 cm og 8 cm. Finn hypotenusen.

Løysing:

Vi bruker Pytagoras' setning med $a = 6$ og $b = 8$ :

$c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c = \sqrt{100} = 10$ cm

Svar: Hypotenusen er 10 cm.

📝Oppgave 1

Finn hypotenusen i dei rettvinkla trekantane.

Katetane er 3 cm og 4 cm.

Katetane er 5 cm og 12 cm.

Katetane er 8 cm og 15 cm.

Katetane er 9 cm og 12 cm.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Jonas har rekna slik:

«Ein rettvinkla trekant har katetan 5 cm og 12 cm. Finn hypotenusen.

$c = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ cm»

Finn feilen og skriv riktig utrekning.

✏️Døme 2: Finne ein katet

Ein rettvinkla trekant har hypotenusen 25 cm og den eine kateten er 7 cm. Finn den andre kateten.

Løysing:

Vi kjenner $c = 25$ og $a = 7$ , og skal finne $b$ .

$a^2 + b^2 = c^2$
$7^2 + b^2 = 25^2$
$49 + b^2 = 625$
$b^2 = 625 - 49 = 576$
$b = \sqrt{576} = 24$ cm

Svar: Den andre kateten er 24 cm.

📝Oppgave 2

Finn den ukjende kateten i dei rettvinkla trekantane.

Hypotenusen 13 cm, ein katet 5 cm.

Hypotenusen 17 cm, ein katet 8 cm.

Hypotenusen 20 cm, ein katet 16 cm.

Hypotenusen 26 cm, ein katet 10 cm.

Løs oppgaven Tren

Pytagoreiske trippel

(a, b, c)

📝Oppgave 3

Avgjør om trekanten med dei gjeve sidelengdene er rettvinkla.

Sider: 6, 8 og 10 cm

Sider: 5, 7 og 9 cm

Sider: 9, 40 og 41 cm

Sider: 11, 60 og 61 cm

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 3: Diagonal i rektangel

Eit rektangel har sidelengder 12 m og 5 m. Finn diagonalen.

Løysing:

Diagonalen deler rektangelet i to rettvinklede trekanter. Sidene i rektangelet blir katetane, og diagonalen blir hypotenusen.

$d^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$d = \sqrt{169} = 13$ m

Svar: Diagonalen er 13 m.

📝Oppgave 4

Finn diagonalen i rektangla.

Sider 9 cm og 40 cm.

Sider 20 m og 21 m.

Sider 7 cm og 24 cm.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Eit kvadrat har diagonal 14 cm. Finn sidelengda.

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 4: Avstand i koordinatsystemet

Finn avstanden mellom punkta $A(1, 2)$ og $B(5, 5)$ .

Løysing:

Avstanden mellom to punkt i koordinatsystemet kan finnast med Pytagoras.

Horisontal avstand: $\Delta x = 5 - 1 = 4$
Loddrett avstand: $\Delta y = 5 - 2 = 3$

$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Svar: Avstanden er 5 lengdeeiningarar.

Avstandsformelen

A(x_1, y_1)

📝Oppgave 6

Finn avstanden mellom punkta.

A(0, 0)

B(6, 8)

P(2, 3)

Q(7, 15)

R(-1, 4)

S(5, -4)

M(-3, -2)

N(5, 4)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Ein likesidet trekant har sidelengd 10 cm. Finn høgda.

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 5: Romdiagonal

Ein eske har dimensjonar 3 cm x 4 cm x 12 cm. Finn romdiagonalen.

Løysing:

Metode 1: To steg
1. Finn først diagonalen i botnen: $d_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ cm
2. Bruk denne som katet med høgda: $D = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$ cm

Metode 2: Direkte formel
$D = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm

Svar: Romdiagonalen er 13 cm.

Romdiagonal

a

📝Oppgave 8

Finn romdiagonalen.

Ein kube med side 6 cm.

Ein eske med dimensjonar 2 cm x 3 cm x 6 cm.

Ein eske med dimensjonar 1 m x 2 m x 2 m.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Ein stige er 5 meter lang. Ho lener mot ein vegg og botnen av stiga står 3 meter frå veggen. Kor høgt opp på veggen når stiga?

📝Oppgave 10

Ein 55-tommers TV har sideforhold 16:9. Finn breidda og høgda til skjermen.

📝Oppgave 11

To skip forlèt same hamn. Det eine seiler 30 km mot nord, det andre seiler 40 km mot aust. Kor langt frå kvarandre er skipane?

📝Oppgave 12

Ein rektangulær fotballbane er 100 m lang og 64 m brei. Kor langt er det å gå på skrå frå det eine hjørnet til det motsette?

Finn diagonalen i banen.

Kor mykje kortare er det å gå diagonalt samanlikna med å gå langs to sider?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Ein snekkar skal byggje ein rektangulær vegg som er 3 m brei og 4 m høg. For å kontrollere at veggen er heilt rettvinkla, måler han diagonalen. Kor lang bør diagonalen vere? Dersom han måler diagonalen til 5,1 m, er veggen rettvinkla? Kor mange gradar avvik vinkelen omtrent frå 90 gradar, og har dette noko praktisk å seie?

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Pytagoras' setning: I ein rettvinkla trekant gjeld $a^2 + b^2 = c^2$ , der $c$ er hypotenusen
- Finne ukjende sider: Rekne ut hypotenusen ( $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ) eller ein katet ( $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ )
- Omvendt Pytagoras: Kontrollere om ein trekant er rettvinkla ved å teste om $a^2 + b^2 = c^2$
- Avstandsformelen: Finne avstanden mellom to punkt i koordinatsystemet
- Romdiagonal: Utvide Pytagoras til tre dimensjonar med $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Hypotenus	Den lengste siden i ein rettvinkla trekant
Katet	Ein av dei to kortare sidene i ein rettvinkla trekant
Pytagoreisk trippel	Tre heile tal som oppfyller $a^2 + b^2 = c^2$
Avstandsformelen	$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
Romdiagonal	Diagonal gjennom ein tredimensjonal boks

Viktige formlar

a^2 + b^2 = c^2

(Pytagoras' setning)
-

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

(avstandsformelen)
-

D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

(romdiagonal)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.