3.3 Praktiske funksjoner | Matematikk 10. klasse

Bruke funksjoner til å modellere praktiske situasjoner.

50 min

12 oppgaver

ModelleringPraktiske problemerTolkningAnvendelser

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.2Andregradsfunksjoner

Innleiing

I dette kapittelet skal vi bruke funksjonar til å modellere situasjonar frå verkeligheten. Vi skal:
- Lese og tolke grafar
- Setje opp funksjonar frå tekstoppgåver
- Løyse praktiske problem med funksjonar

Funksjonar er eit kraftig verktøy for å forstå samanhengjar og gjere berekninga i mange ulike situasjonar.

Tolke grafar

Når vi les ein graf, kan vi hente ut mykje informasjon:
- Startverdi: Verdien når $x = 0$ (der grafen kryssar $y$ -aksen)
- Nullpunkt: Der grafen kryssar $x$ -aksen
- Stigning/fall: Når grafen går oppover eller nedover
- Ekstremalpunkt: Topp- og bunnpunkt
- Vekstrate: Kor bratt grafen stig eller synk

✏️Døme 1: Tolke temperaturkurve

Temperaturen i eit rom blir målt over 12 timar. Ved start er temperaturen 15°C. Ho stig jamnt til 24°C etter 6 timar, og synk så til 18°C etter 12 timar.

a) Tegn ei skisse av temperaturkurven.
b) Når var temperaturen høgast?
c) Med kor mange gradar steg temperaturen per time dei første 6 timane?

Løysing:

a) Kurven startar ved $(0, 15)$ , går opp til $(6, 24)$ , og ned til $(12, 18)$ .

b) Temperaturen var høgast etter 6 timar (24°C).

c) Stigning per time: $\displaystyle \frac{24 - 15}{6 - 0} = \frac{9}{6} = 1{,}5$ °C per time

📝Oppgave 1

Ein tank blir fylld med vatn. Ved start er det 100 liter i tanken. Etter 5 minutt er det 250 liter.

Kor mange liter blir fylld per minutt?

Setj opp ein funksjon $V(t)$ for vatnnmengda etter $t$ minutt.

Kor lang tid tek det å fylle tanken til 400 liter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Hvis ein graf stig frå venstre mot høgre, betyr det alltid at stigningstalet er positivt.

📝Oppgave 2

Ein bil køyrer frå Oslo. Avstanden frå Oslo (i km) er gitt ved $s(t) = 80t$ , der $t$ er antal timar.

Kva er farten til bilen?

Kor langt har bilen køyrt etter 2,5 timar?

Kor lang tid tek det å køyre 360 km?

Løs oppgaven Tren

Setje opp funksjonar frå tekst

For å setje opp ein funksjon frå ein praktisk situasjon:

1. Identifiser variablane: Kva er $x$ (uavhengig variabel) og kva er $f(x)$ (avhengig variabel)?
2. Finn samanhangen: Er det ein fast verdi pluss noko som varierer? (lineær)
3. Skriv funksjonsuttrykket: Bruk informasjonen til å finne koeffisientane.
4. Sjekk: Setj inn kjende verdiar for å verifisere at funksjonen stemmer.

✏️Døme 2: Billettepris

Eit museum tek 50 kr i inngang. Barn betalar halv pris. Ein gruppe består av $v$ vaksne og $b$ barn.

a) Setj opp ein funksjon for totalpris $P(v, b)$ .
b) Kva kostar det for 3 vaksne og 4 barn?

Løysing:

a) Vaksne: 50 kr, Barn: 25 kr
$P(v, b) = 50v + 25b$

b) $P(3, 4) = 50 \cdot 3 + 25 \cdot 4 = 150 + 100 = 250$ kr

📝Oppgave 3

Ein straumrekning består av eit fastbeløp på 200 kr/mnd pluss 1,20 kr per kWh.

Setj opp ein funksjon $K(x)$ for månadskosnaden der $x$ er forbruket i kWh.

Kva blir regningen ved forbruk på 350 kWh?

Kor mange kWh kan du bruke viss budsjettet er 500 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Ein bedrift leier ut syklar. Prisen er 50 kr + 20 kr per time.

Set opp ein funksjon $P(t)$ for leiprisen der $t$ er antal timar.

Lag ein tabell med prisar for 1, 2, 3, 4 og 5 timar.

Teikn grafen.

Kor mange timar kan du leie for 170 kr?

Løs oppgaven Tren

Samanlikne alternativ

Funksjoner er nyttige for å samanlikne ulike alternativ, til dømes:
- Kva for eit mobilabonnement er billigast?
- Når lønnar det seg å velje dagskort framfor enkeltbiljettar?
- Kva for ein straumleverandør er best for meg?

For å samanlikne finn vi ofte skjeringspunktet mellom funksjonane.

✏️Døme 3: Samanlikne treningssentre

To treningssentre tilbyr:
- Senter A: 300 kr/mnd + 30 kr per trening
- Senter B: 600 kr/mnd med ubegrensa trening

Ved kor mange treningsøkter per månad er dei like dyre?

Løysing:

La $x$ vere antal treningsøkter per månad.

Senter A: $K_A(x) = 30x + 300$
Senter B: $K_B(x) = 600$

Finn skjeringspunktet:
$30x + 300 = 600$
$30x = 300$
$x = 10$

Svar: Ved 10 treningsøkter er dei like dyre.
- Færre enn 10 økter: Senter A er billigast
- Fleire enn 10 økter: Senter B er billigast

📝Oppgave 5

To parkeringsplassar tilbyr:

Parkering A kostar 30 kr første time + 20 kr per ekstra time. Parkering B kostar 15 kr per time. Set opp funksjoner.

Ved kor mange timar er dei like dyre?

Kva for ein parkering lønnar seg for 4 timars parkering?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Ein kjøpmann vurderer to leverandørar for epler:

Leverandør A: 5 kr per kg. Leverandør B: 100 kr fast + 3 kr per kg. Set opp funksjoner for kostnad.

Ved kva mengd er leverandørane like dyre?

Kva for ein leverandør lønnar seg ved innkjøp av 80 kg?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Ein spareplan gir rente. Etter $t$ år er saldoen $S(t) = 10000 \cdot 1{,}03^t$ kr.

Kor mykje er det på kontoen ved start?

Kor mykje er det etter 5 år?

Kva er renta per år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Modellar og visualiser i GeoGebra.

Ein bil startar 100 km frå byen og kjører mot byen med 60 km/t. Set opp $d(t)$ for avstanden og teikn grafen.

Ein annan bil startar i byen og kjører ut med 80 km/t. Set opp $s(t)$ og teikn grafen.

Når møtest bilane? Kor langt frå byen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Ein rakett blir skoten opp. Høgda (i meter) etter $t$ sekund er $h(t) = -5t^2 + 100t$ .

Kor høgt er raketten etter 5 sekund?

Når er raketten på det høgaste?

Kva er maksimalhøgda?

Når landar raketten?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Ein bonde har 60 meter gjerde og vil lage ein rektangulær innhegning langs ein vegg (veggen er den eine sida).

Viss breidda er $x$ meter, kva blir lengda?

Set opp ein funksjon $A(x)$ for arealet.

Finn dimensjonane som gir størst areal.

Kva er det største arealet?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Ein kaffebolle med temperatur 90°C blir avkjølt. Temperaturen etter $t$ minutt er omtrent $T(t) = 20 + 70 \cdot 0{,}95^t$ .

Kva er temperaturen ved start?

Kva er temperaturen etter 10 minutter?

Kva blir temperaturen til slutt (når $t \to \infty$ )?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Samla oppgåve: Ein bedrift produserer og seljer eit produkt. Kostnad: $K(x) = 20x + 500$ kr. Inntekt: $I(x) = 50x$ kr.

Set opp ein funksjon $F(x)$ for fortjenesten.

Ved kor mange selde einingar går bedrifta i null?

Kva er fortjenesten ved sal av 50 einingar?

Teikn grafane for $K(x)$ , $I(x)$ og $F(x)$ i same koordinatsystem.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Eit selskap tilbyr to straumeavtalar: Avtale A kostar 99 kr/mnd med gratis innhald, og Avtale B kostar 49 kr/mnd + 2 kr per film du ser. Ein elev seier: «Avtale B er best fordi ho er billigast.» Drøft denne påstanden. Når er kva avtale best? Kan du gi råd til nokon som ser 30 filmar i månaden versus nokon som ser 5 filmar?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Tolka grafer: Lesa av startverdi, nullpunkt, stigning, fall og ekstremalpunkt frå ein graf
- Setja opp funksjonar: Identifisera variablar og samanheng frå praktiske situasjonar og formulera funksjonsuttrykk
- Løsa praktiske problem: Bruka funksjonar til å berekna ukjende verdiar i dagleglivet
- Samanlikna alternativ: Finna skjæringspunktet mellom to funksjonar for å avgje når eitt alternativ lønner seg framfor eit anna

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Uavhengig variabel ( $x$ )	Variabelen vi styrer (t.d. tal på timar)
Avhengig variabel ( $f(x)$ )	Variabelen som endrar seg som følgje av $x$ (t.d. pris)
Startverdi	Verdien av $f(x)$ når $x = 0$ (konstantleddet)
Vekstrate	Kor mykje $f(x)$ endrar seg per eining av $x$ (stigningstalet)
Skjæringspunkt	Der to funksjonar har same verdi

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.