3.3 Praktiske funksjoner

Funksjoner i virkeligheten

Hittil har vi lært om lineære funksjoner og andregradsfunksjoner som matematiske objekter. Men den virkelige kraften i funksjoner ligger i evnen til å modellere virkeligheten. Når du leser en graf, kan du hente ut en overraskende mengde informasjon: startverdien der $x = 0$, nullpunkter der grafen krysser $x$-aksen, om verdien stiger eller synker, og topp- og bunnpunkter.

For å sette opp en funksjon fra en praktisk situasjon følger vi fire steg. Først identifiserer vi variablene -- hva er $x$ og hva er $f(x)$? Deretter finner vi sammenhengen: er det en fast verdi pluss noe som varierer? Så skriver vi funksjonsuttrykket, og til slutt sjekker vi ved å sette inn kjente verdier. Med denne fremgangsmåten kan du beskrive alt fra bilkjøring til kaffetemperatur med matematikk.

Fra tekst til funksjon

La oss se på noen eksempler. En strømregning består av et fastbeløp på 200 kr per måned pluss 1,20 kr per kWh. Kostnaden som funksjon av forbruket $x$ i kWh blir $K(x) = 1{,}20x + 200$. Ved 350 kWh forbruk: $K(350) = 1{,}20 \cdot 350 + 200 = 620$ kr. Og med budsjett på 500 kr: $500 = 1{,}20x + 200$ gir $x = 250$ kWh.

En bil kjører fra Oslo med hastighet 80 km/t. Distansen etter $t$ timer er $s(t) = 80t$. Her er stigningstallet 80 -- det er farten. Etter 2,5 timer: $s(2{,}5) = 200$ km. Og det tar $\displaystyle t = \frac{360}{80} = 4{,}5$ timer å kjøre 360 km.

Noen situasjoner følger eksponentiell vekst. En spareplan med 3 prosent rente gir saldo $S(t) = 10\,000 \cdot 1{,}03^t$ etter $t$ år. Ved start: 10 000 kr. Etter 5 år: $10\,000 \cdot 1{,}03^5 \approx 11\,593$ kr. Legg merke til at dette ikke er en rett linje -- pengene vokser raskere og raskere.

Sammenligne alternativer og bedriftsøkonomi

Funksjoner er spesielt nyttige når du skal sammenligne alternativer. To treningssentre tilbyr: Senter A koster 300 kr per måned pluss 30 kr per trening, mens Senter B koster 600 kr med ubegrenset trening. Vi setter $K_A(x) = 30x + 300$ og $K_B(x) = 600$. Skjæringspunktet: $30x + 300 = 600$ gir $x = 10$. Trener du mer enn 10 ganger i måneden, lønner B seg.

I bedriftsøkonomi er funksjoner helt essensielle. En bedrift har kostnad $K(x) = 20x + 500$ og inntekt $I(x) = 50x$. Fortjenesten blir $F(x) = I(x) - K(x) = 30x - 500$. Break-even (der fortjenesten er null) oppstår ved $30x - 500 = 0$, altså $x \approx 17$ enheter. Ved 50 solgte enheter er fortjenesten $F(50) = 30 \cdot 50 - 500 = 1000$ kr. Slike beregninger hjelper bedrifter å ta gode beslutninger.

En rakett skytes opp med $h(t) = -5t^2 + 100t$. Maksimalhøyden nås ved $t = 10$ sekunder: $h(10) = 500$ meter. Den lander etter 20 sekunder. Her ser vi hvordan andregradsfunksjoner modellerer bevegelse der akselerasjon er involvert.

Oppsummering

Funksjoner er et kraftig verktøy for å modellere virkeligheten. For å sette opp en funksjon fra en situasjon: identifiser variablene, finn sammenhengen, skriv uttrykket og sjekk med kjente verdier. Lineære funksjoner beskriver jevn vekst, andregradsfunksjoner beskriver situasjoner med akselerasjon eller optimering, og eksponentielle funksjoner beskriver prosentvis vekst. Ved å sammenligne funksjoner kan du finne når alternativer er like dyre, og i bedriftsøkonomi finner du break-even ved å sette inntekt lik kostnad.