8.2 Gjennomføring og presentasjon

a) Temperaturene ligger jevnt med 5 grader mellom hver, så vi kan se på differansene i forbruk:

$$54 - 62 = -8, \quad 45 - 54 = -9, \quad 37 - 45 = -8, \quad 28 - 37 = -9, \quad 21 - 28 = -7$$

Differansene ligger mellom $-9$ og $-7$, altså nesten like. Forholdstallene er derimot $54 : 62 \approx 0{,}87$ og $21 : 28 = 0{,}75$ — de er ikke like.

Svar: En lineær modell passer.

b) Vi kjører lineær regresjon i regneark. Med temperaturen i kolonne A og forbruket i kolonne B:

=STIGNINGSTALL(B2:B7; A2:A7)
=SKJÆRINGSPUNKT(B2:B7; A2:A7)
=RKVADRAT(B2:B7; A2:A7)

Det gir stigningstall $-1{,}66286\ldots$, konstantledd $45{,}32381\ldots$ og $R^2 = 0{,}99909$. Vi runder av til to desimaler:

$$F(x) = -1{,}66x + 45{,}32$$

der $x$ er døgnmiddeltemperaturen i grader og $F(x)$ er forbruket i kWh per døgn.

Kontroll mot alle seks målingene:

$x$	Modell $F(x)$	Måling	Residual (måling − modell)
−10	61,92	62	+0,08
−5	53,62	54	+0,38
0	45,32	45	−0,32
5	37,02	37	−0,02
10	28,72	28	−0,72
15	20,42	21	+0,58

Den største residualen er $0{,}72$ kWh på et forbruk rundt 28 kWh, altså under 3 %. Fortegnene veksler ($+$, $+$, $-$, $-$, $-$, $+$) uten noe tydelig mønster, og det er slik det skal se ut når modellformen er riktig.

Målingene og regresjonslinjen $F(x) = -1{,}66x + 45{,}32$. De stiplede linjene markerer måleområdet fra $-10$ til $15$ grader. Linjen er tegnet et stykke utenfor i begge ender for å vise hva en framskrivning er — og hvorfor den må begrunnes særskilt.
Svar: $F(x) = -1{,}66x + 45{,}32$, og $R^2 = 0{,}999$.
c) Stigningstallet $-1{,}66$ betyr at forbruket synker med $1{,}66$ kWh per døgn for hver grad det blir varmere ute — eller motsatt: én grad kaldere koster husholdningen om lag $1{,}66$ kWh ekstra i døgnet.
Konstantleddet $45{,}32$ er forbruket ved $0$ °C, altså $45{,}32$ kWh per døgn.
Svar: Én grad kaldere gir om lag 1,7 kWh mer i døgnet, og ved null grader bruker husholdningen om lag 45 kWh i døgnet.

NB: Konstantleddet har en mening her fordi $x = 0$ ligger inne i måleområdet. Hadde alle målingene vært mellom 10 og 25 grader, ville $F(0)$ vært en ren framskrivning, og da skal konstantleddet ikke tolkes som noe annet enn et regnetall.

a) Vi setter inn $x = -15$:

$$F(-15) = -1{,}66 \cdot (-15) + 45{,}32 = 24{,}90 + 45{,}32 = 70{,}22$$

Svar: Modellen sier om lag 70 kWh per døgn. Verdien ligger 5 grader utenfor måleområdet, men den er i samme størrelsesorden som det målte ($62$ kWh ved $-10$ grader), og forbruket er fortsatt positivt. Det er en forsvarlig framskrivning hvis vi sier fra om at den er en framskrivning. Vi bør legge til et forbehold: ved svært lav temperatur går ofte en varmepumpe over til ren elektrisk varme, og da stiger forbruket raskere enn den rette linjen sier. Modellen kan derfor undervurdere.

b) Vi løser likningen $F(x) = 0$:

$$-1{,}66x + 45{,}32 = 0 \qquad | \; + 1{,}66x$$
$$45{,}32 = 1{,}66x \qquad | \; : 1{,}66$$
$$x = \frac{45{,}32}{1{,}66} \approx 27{,}3$$

Svar: Modellen sier at forbruket er null ved om lag $27{,}3$ grader, og negativt over det.

Det er umulig. En husholdning bruker strøm til varmtvann, matlaging, lys og apparater uansett hvor varmt det er ute. Det riktige er at forbruket flater ut mot et grunnforbruk, mens den rette linjen fortsetter nedover.

c)

Modellen forlenget: den sier at forbruket blir NULL ved 27,3 °C. I virkeligheten flater forbruket ut mot et grunnforbruk (kjøleskap, varmtvann) — den rette linja slutter å gjelde et godt stykke før den treffer aksen.

Svar: Gyldighetsområdet er måleområdet, altså $-10 \le x \le 15$, med en forsiktig utvidelse noen få grader nedover og et uttrykkelig forbehold. Oppover er modellen ubrukelig lenge før den når $27{,}3$ grader, for utflatingen mot grunnforbruket begynner allerede når oppvarmingen slås av.

NB: Legg merke til at vi fant grensen ved å regne på modellen selv, ikke ved å slå den opp. Å finne nullpunktet og spørre «er dette mulig?» er en rask og effektiv test på enhver lineær modell for en fysisk størrelse.

Regnearket. Vi lager én rad per måned. Med dagene i kolonne B, temperaturen i C og prisen i D:

      A       B       C       D        E                  F              G
1     måned   dager   temp    pris     kWh_per_døgn       kWh_mnd        kr
2     jan     31      -4      98       =45,32-1,66*C2     =E2*B2         =F2*D2/100

Formlene fylles nedover til rad 13, og til slutt summerer vi.

Måned	Døgn	Temp	kWh/døgn	kWh	Pris	Kostnad
jan	31	−4	51,96	1610,8	98	1579 kr
feb	28	−3	50,30	1408,4	91	1282 kr
mar	31	1	43,66	1353,5	76	1029 kr
apr	30	6	35,36	1060,8	55	583 kr
mai	31	11	27,06	838,9	42	352 kr
jun	30	15	20,42	612,6	31	190 kr
jul	31	17	17,10	530,1	28	148 kr
aug	31	16	18,76	581,6	39	227 kr
sep	30	12	25,40	762,0	52	396 kr
okt	31	7	33,70	1044,7	68	710 kr
nov	30	2	42,00	1260,0	84	1058 kr
des	31	−2	48,64	1507,8	103	1553 kr
Sum	12 571	9108 kr

Nettleien:
$$12\,571 \cdot 0{,}45 \approx 5657$$
Sum med merverdiavgift. Vi ganger med vekstfaktoren $1{,}25$:
$$(9108 + 5657) \cdot 1{,}25 = 14\,765 \cdot 1{,}25 \approx 18\,456$$
Svar: Husholdningen brukte om lag 12 600 kWh og betalte om lag 18 500 kr for strøm gjennom året.
Andre del av problemstillingen. Den forbruksvektede snittprisen er
$$\frac{9108 \text{ kr}}{12\,571 \text{ kWh}} = 0{,}7245 \text{ kr/kWh} = 72{,}45 \text{ øre/kWh}$$
mens det uveide gjennomsnittet av de tolv månedsprisene er $63{,}92$ øre/kWh.
$$\frac{72{,}45 - 63{,}92}{63{,}92} \approx 0{,}133$$

Dette er selve funnet: pris og forbruk svinger i takt. Derfor blir den forbruksvektede snittprisen 72,45 øre/kWh, mens det uveide gjennomsnittet av de tolv månedsprisene bare er 63,92 øre/kWh.
Svar: Husholdningen betalte i praksis om lag 13 % mer per kilowattime enn den uveide gjennomsnittsprisen skulle tilsi. Grunnen er at forbruket er størst nettopp i de månedene strømmen er dyrest — pris og forbruk svinger i takt, og det forsterker regningen.
NB: Dette er selve funnet i arbeidet, og det er et funn som ikke står i noen tabell. Legg merke til at det kom fra å sammenligne to måter å regne et gjennomsnitt på — ikke fra en komplisert modell.

a) Nettleien er fast, så bare spotdelen på 9108 kr endrer seg.

20 % lavere pris:

$$(9108 \cdot 0{,}8 + 5657) \cdot 1{,}25 = (7286 + 5657) \cdot 1{,}25 \approx 16\,179$$

20 % høyere pris:

$$(9108 \cdot 1{,}2 + 5657) \cdot 1{,}25 = (10\,929 + 5657) \cdot 1{,}25 \approx 20\,733$$

Svar: Årskostnaden ligger mellom om lag 16 200 kr og 20 700 kr. En prisendring på 20 % gir altså en endring i regningen på om lag 12 % — mindre enn 20 %, fordi nettleien og avgiften ikke følger spotprisen.

b) Vi regner årsforbruket på nytt med stigningstall $-1{,}46$ og $-1{,}86$:

Stigningstall	Årsforbruk	Endring
$-1{,}46$	13 049 kWh	$+3{,}8$ %
$-1{,}66$	12 571 kWh	0
$-1{,}86$	12 093 kWh	$-3{,}8$ %

Svar: En usikkerhet på $0{,}2$ kWh per grad i stigningstallet gir under 4 % utslag på årsforbruket. Modellusikkerheten er altså mindre enn prisusikkerheten.
c) Resultatavsnittet:

Husholdningen brukte om lag 12 600 kWh strøm gjennom året og betalte om lag 18 500 kr inkludert nettleie og merverdiavgift. Forbruket følger utetemperaturen tett: en lineær modell forklarer 99,9 % av variasjonen i døgnforbruket, og hver grad kaldere gir om lag 1,7 kWh ekstra i døgnet.
Hovedfunnet er at pris og forbruk svinger i takt. Den forbruksvektede snittprisen var 72,5 øre/kWh, mens det uveide gjennomsnittet av de tolv månedsprisene var 63,9 øre/kWh — en forskjell på om lag 13 %. En husholdning som anslår årsregningen ved å gange forbruket med den uveide gjennomsnittsprisen, vil altså systematisk regne for lavt.

Svaret er mest følsomt for prisnivået: 20 % høyere eller lavere spotpris endrer årskostnaden med om lag 12 %, til mellom 16 200 kr og 20 700 kr. Usikkerheten i selve forbruksmodellen er mindre, under 4 %.

Tallene gjelder én husholdning i ett prisområde i ett år. De kan ikke overføres til andre boliger uten nye målinger, og modellen er bare kontrollert mellom $-10$ og $15$ grader. Ved strengere kulde vil forbruket trolig stige raskere enn den rette linjen viser, fordi varmepumper yter dårligere når det blir kaldt.

NB: Se hvor mye av avsnittet som er forbehold — omtrent en tredel. Det er ikke svakhet, det er presisjon. Et resultat uten grenser er et resultat ingen kan bruke.