5.4 Generatorer og motorer

Én maskin, to retninger

Faradays induksjon ga oss to av sivilisasjonens viktigste maskiner: generatoren, som gjør mekanisk energi til elektrisk, og motoren, som gjør elektrisk energi til mekanisk. Det forbløffende er at dette i prinsippet er nøyaktig samme maskin, bare brukt i hver sin retning. Begge utnytter samspillet mellom magnetfelt og strømførende ledere. I dette kapittelet ser vi nærmere på hvordan generatoren lager sinusformet spenning, hvorfor vi bruker effektivverdier, hvordan likestrømsmotoren fungerer — og det subtile fenomenet tilbake-EMF, som forklarer hvorfor en motor trekker enormt mye strøm i det øyeblikket den starter.

Generatoren og effektivverdier

En AC-generator har en spole med $N$ vindinger og areal $A$ som roterer med vinkelfrekvens $\omega$ i et felt $B$. Vinkelen mellom spolens normalvektor og feltet er $\theta = \omega t$, så fluksen er $\Phi(t) = NBA\cos(\omega t)$. Faradays lov gir spenningen ved derivasjon:

$$\varepsilon(t) = NBA\omega\sin(\omega t) = \varepsilon_0\sin(\omega t)$$

med toppverdi $\varepsilon_0 = NBA\omega$. Frekvensen henger sammen med rotasjonen gjennom $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$. I Norge er $f = 50$ Hz, perioden $T = 0{,}020$ s og $\omega = 314$ rad/s. La oss regne: en generator med $N = 500$ vindinger, $A = 0{,}040$ m², $B = 0{,}30$ T og $f = 50$ Hz gir $\omega = 314$ rad/s og toppverdi $\varepsilon_0 = 500\cdot 0{,}30\cdot 0{,}040\cdot 314 = 1884$ V.

Fordi spenningen veksler fortegn, beskriver vi den med effektivverdier (RMS), definert slik at de gir riktig gjennomsnittlig effekt $P_{\text{gj}} = I_{\text{rms}}^2 R$. Siden gjennomsnittet av $\sin^2$ er $\displaystyle \frac{1}{2}$, er

$$V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}, \qquad I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$$

Norsk nettspenning på $230$ V er en effektivverdi; toppverdien er $V_0 = 230\cdot\sqrt{2} = 325$ V. En vanlig felle er å forveksle de to.

Motoren og dreiemomentet

En motor er en generator i revers: den omdanner elektrisk energi til mekanisk. En likestrømsmotor har samme oppbygging som en DC-generator — en strømførende spole i et magnetfelt — men nå sender vi strøm gjennom spolen, og den magnetiske kraften på strømmen skaper et dreiemoment som får spolen til å rotere. For en rektangulær spole med $N$ vindinger, strøm $I$ og areal $A$ i et felt $B$ er dreiemomentet

$$\tau = NIAB\sin\theta$$

der $\theta$ er vinkelen mellom spolens normalvektor og feltet. Det er maksimalt når $\theta = 90°$, altså $\tau_{\text{maks}} = NIAB$. En kommutator snur strømretningen idet spolen passerer likevektsstillingen, slik at dreiemomentet alltid peker samme vei og rotasjonen blir kontinuerlig.

Sammenhengen mellom de to maskinene er total: generatoren tar inn mekanisk energi og gir ut elektrisk via induksjon (Faradays lov), mens motoren tar inn elektrisk energi og gir ut mekanisk via kraft på strøm i felt. Samme prinsipper, motsatt retning. Denne dualiteten er nettopp det som gjør regenerativ bremsing mulig: en elbils motor kan, under bremsing, kjøres baklengs som generator og lade kinetisk energi tilbake i batteriet, typisk med $60$–$70\%$ virkningsgrad.

Tilbake-EMF

Her kommer en subtil og viktig effekt. Når en motor spinner, fungerer den samtidig som generator! Den roterende spolen induserer en EMF som etter Lenz' lov motvirker den pålagte spenningen. Denne kalles tilbake-EMF (back-EMF), og den er proporsjonal med rotasjonshastigheten: $\varepsilon_{\text{tilbake}} = NBA\omega$. Kretsligningen for motoren blir

$$V = \varepsilon_{\text{tilbake}} + IR$$

så strømmen er $I = (V - \varepsilon_{\text{tilbake}})/R$. Dette forklarer et fenomen du kanskje har merket: ved oppstart står motoren stille, $\omega = 0$, så tilbake-EMF-en er null og strømmen blir maksimal, $I = V/R$. Det er derfor lyset kan blinke når en stor motor starter — den trekker et kraftig strømrykk. Når motoren kommer opp i fart, vokser tilbake-EMF-en, og strømmen synker til et normalt nivå.

La oss regne: en DC-motor med $R = 2{,}0\,\Omega$ drives med $V = 24$ V. Ved oppstart er $I = 24/2{,}0 = 12$ A — et kraftig rykk. Ved full hastighet, der tilbake-EMF-en er $20$ V, blir $I = (24 - 20)/2{,}0 = 2{,}0$ A. Den mekaniske effekten motoren leverer er $P_{\text{mek}} = \varepsilon_{\text{tilbake}}\cdot I = 20\cdot 2{,}0 = 40$ W, og virkningsgraden er $\eta = \varepsilon_{\text{tilbake}}/V = 20/24 = 0{,}83$. Tilbake-EMF er altså ikke et problem, men selve mekanismen som gjør motoren effektiv.

Oppsummering

Generator og motor er samme maskin brukt i hver sin retning. Generatoren lager $\varepsilon(t) = NBA\omega\sin(\omega t)$, og vi beskriver AC med effektivverdier $V_{\text{rms}} = V_0/\sqrt{2}$ (norsk nett: 230 V rms, 325 V topp). Motoren skaper et dreiemoment $\tau = NIAB\sin\theta$, og kommutatoren gir kontinuerlig rotasjon. Når motoren spinner, induserer den en tilbake-EMF $\varepsilon_{\text{tilbake}} = NBA\omega$, så $V = \varepsilon_{\text{tilbake}} + IR$. Ved oppstart er tilbake-EMF null og strømmen maksimal ($I = V/R$); ved full fart synker strømmen. Mekanisk effekt er $P_{\text{mek}} = \varepsilon_{\text{tilbake}}I$, og dualiteten gjør regenerativ bremsing mulig.