4.2 Magnetisk kraft på ladede partikler

Kraften som får partikler til å danse

Vi har sett at strøm skaper magnetfelt. Men det finnes en omvendt effekt som er minst like viktig: magnetfelt utøver krefter på ladninger i bevegelse. Denne kraften kalles Lorentzkraften, og den ligger bak elektromotorer, partikkelakseleratorer ved CERN, massespektrometre, plasmaskjermer — og selve nordlyset, der ladde partikler fra sola danser i jordas magnetfelt. Det avgjørende er at magnetfeltet bare virker på ladninger som beveger seg. En ladning i ro merker ingenting av magnetfeltet — i skarp kontrast til den elektriske kraften, som virker på alle ladninger uansett. I dette kapittelet skal vi forstå Lorentzkraften, sirkelbevegelse i felt, syklotronfrekvens, massespektrometeret og hvordan nordlyset blir til.

Lorentzkraften

Lorentzkraften på en bevegelig ladning er gitt ved kryssproduktet

$$\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$$

Størrelsen er $F = qvB\sin\theta$, der $\theta$ er vinkelen mellom hastigheten $\vec{v}$ og feltet $\vec{B}$. Kraften er maksimal når de står vinkelrett ($\theta = 90°$ gir $F = qvB$) og null når de er parallelle. Kryssproduktet gir en vektor som står vinkelrett på både $\vec{v}$ og $\vec{B}$, og det har en dyptgripende konsekvens: Lorentzkraften står alltid vinkelrett på bevegelsesretningen.

Dermed endrer kraften bare retningen til ladningen, aldri farten. Magnetfeltet gjør ingen arbeid, og den kinetiske energien er bevart. Dette skiller magnetisk fra elektrisk kraft: den elektriske $\vec{F} = q\vec{E}$ kan virke langs bevegelsen og endre farten, mens den magnetiske $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$ bare svinger ladningen rundt. Retningen finner vi med en høyrehåndsregel — fingrene i fartsretningen, bøy mot feltet, tommelen viser kraften — men husk at for negative ladninger blir kraften motsatt.

Sirkelbevegelse, syklotron og heliks

Når en ladet partikkel beveger seg vinkelrett på et uniformt magnetfelt, blir Lorentzkraften en sentripetalkraft med konstant størrelse som alltid peker mot sentrum — definisjonen på sirkelbevegelse. Setter vi $mv^2/r = qvB$ og løser, får vi radien

$$r = \frac{mv}{qB}$$

Tunge og raske partikler bøyes mindre (større radius), mens sterkere felt og større ladning bøyer mer. Et fascinerende resultat dukker opp når vi regner ut omløpstiden: $T = 2\pi r/v = 2\pi m/(qB)$. Hastigheten kansellerer! Frekvensen blir

$$f = \frac{qB}{2\pi m}$$

Denne syklotronfrekvensen avhenger bare av ladning, felt og masse — ikke av farten eller radien. Raskere partikler har større bane, men også lengre vei, og effektene opphever hverandre nøyaktig. Dette er prinsippet bak partikkelakseleratoren syklotronen.

Kommer partikkelen inn skrått, deler vi hastigheten i en komponent vinkelrett på feltet ($v_\perp = v\sin\theta$) og en parallell ($v_\parallel = v\cos\theta$). Den vinkelrette gir sirkelbevegelse, den parallelle er upåvirket, og resultatet blir en heliks (spiral) langs feltlinjene. Dette er nøkkelen til nordlyset: solvindens ladde partikler fanges i jordas felt og spiraler langs feltlinjene ned mot polene, der de kolliderer med atmosfærens gasser i $100$–$300$ km høyde. Oksygen gir grønt og rødt lys, nitrogen blått og lilla.

Massespektrometeret og Hall-effekten

Lorentzkraften gjør det mulig å «veie» atomer. Et massespektrometer skiller ioner etter masse-til-ladning-forholdet. Først ioniseres atomene, så akselereres de gjennom en spenning $V$ til farten $v = \sqrt{2qV/m}$, og deretter sendes de inn i et magnetfelt der de følger sirkelbaner med radius $r = mv/(qB)$. Setter vi inn farten, får vi den sentrale relasjonen

$$\frac{m}{q} = \frac{r^2 B^2}{2V}$$

Ved å måle hvor ionet treffer detektoren (altså $r$) og kjenne $B$ og $V$, kan vi regne ut $m/q$. Slik identifiseres ukjente stoffer, isotopforhold (som i karbondatering), dopingstoffer og proteiner.

Et annet elegant fenomen er Hall-effekten, oppdaget av Edwin Hall i 1879. Sender vi strøm $I$ gjennom en flat plate og legger et magnetfelt vinkelrett på, skyver Lorentzkraften ladningsbærerne mot den ene siden, slik at det bygges opp en tverrgående Hall-spenning $V_H$. I likevekt balanserer det elektriske feltet Lorentzkraften, og man kan vise at

$$V_H = \frac{IB}{net}$$

der $n$ er ladningstettheten og $t$ platens tykkelse. Hall-effekten beviste direkte at det er elektroner som bærer strømmen i metaller, og brukes i dag i utallige Hall-sensorer for å måle magnetfelt og strøm.

Oppsummering

Lorentzkraften $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$ (størrelse $F = qvB\sin\theta$) virker bare på ladninger i bevegelse og står alltid vinkelrett på farten — derfor gjør magnetfeltet ingen arbeid og endrer bare retningen. En partikkel vinkelrett på feltet går i sirkel med radius $r = mv/(qB)$, og syklotronfrekvensen $f = qB/(2\pi m)$ er uavhengig av farten. Skrå innfart gir en heliks, slik som ved nordlys. Massespektrometeret bruker $m/q = r^2B^2/(2V)$ til å skille ioner etter masse, og Hall-effekten ($V_H = IB/(net)$) viser at elektroner bærer strømmen i metaller.