5.3 Varmestråling og Stefans-Boltzmanns lov

Når ting begynner å lyse

Varm opp en jernstang lenge nok, og noe magisk skjer: den begynner å gløde -- først dypt rødt, så oransje, så nesten hvitt. Den sender ut lys utelukkende på grunn av temperaturen sin. Faktisk gjør alle objekter dette: alt med temperatur over det absolutte nullpunkt sender ut elektromagnetisk stråling, eller varmestråling. Du gjør det selv akkurat nå.

Det vi ikke alltid ser, er at strålingen følger to enkle, vakre regler. Jo varmere et objekt er, jo mer stråling sender det ut -- og jo kortere bølgelengde får strålingen, slik at fargen skifter fra rød mot blå. Disse to mønstrene fanges av to lover: Stefan-Boltzmanns lov for hvor mye, og Wiens forskyvningslov for hvilken farge.

Og det utrolige er at dette gjør strålingen til et termometer på avstand. Fra fargen på en stjerne kan vi lese temperaturen, selv om den er milliarder av kilometer unna. I dette kapittelet skal vi forstå det idealiserte «sorte legemet», mestre de to lovene, og se hvordan emisjon og absorpsjon henger sammen. La oss begynne med å definere det perfekte strålelegemet.

Det sorte legemet og Stefan-Boltzmanns fjerdepotenslov

Fysikere elsker idealiseringer, og her er en viktig en: et sort legeme. Det er et tenkt objekt som absorberer all innkommende stråling (ingenting reflekteres) og som sender ut mest mulig stråling ved en gitt temperatur. «Sort» betyr ikke nødvendigvis svart for øyet -- sola er faktisk en god tilnærming til et sort legeme! Andre gode tilnærminger er glødende metaller og et lite hull inn i en hul kasse. Det avgjørende er Kirchhoffs lov: en god absorbent er også en god emitter. Mørke overflater absorberer og stråler mye; blanke reflekterer og stråler lite. Og det fine med et sort legeme er at strålingen bare avhenger av temperaturen, ikke av hva det er laget av.

Hvor mye stråler det? Det svarer Stefan-Boltzmanns lov: $P = \sigma A T^4$, der $\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}$ W/(m²·K⁴) er Stefan-Boltzmanns konstant, $A$ er overflatearealet og $T$ er den absolutte temperaturen. To ting er kritiske her. For det første må temperaturen være i kelvin, aldri celsius. For det andre står $T$ i fjerde potens -- en voldsom avhengighet. Dobler du temperaturen, blir strålingen $2^4 = 16$ ganger større. For virkelige objekter ganger vi med emissiviteten $\varepsilon$ (mellom 0 og 1): $P = \varepsilon\sigma A T^4$. Sort maling har $\varepsilon \approx 0{,}97$, mens polert sølv bare har 0,02.

La oss regne på sola, behandlet som et sort legeme med overflatetemperatur $T = 5778$ K og radius $r = 6{,}96 \times 10^8$ m. Overflatearealet er $A = 4\pi r^2 \approx 6{,}09 \times 10^{18}$ m². Da blir effekten $P = 5{,}67 \times 10^{-8} \cdot 6{,}09 \times 10^{18} \cdot (5778)^4 \approx 3{,}85 \times 10^{26}$ W -- en ufattelig effekt. Når et legeme både stråler ut og mottar stråling fra omgivelsene, gjelder nettoformelen $P_{netto} = \varepsilon\sigma A(T^4 - T_{omgivelser}^4)$: er objektet varmere enn omgivelsene, avkjøles det; er det kaldere, varmes det opp.

Wiens lov -- fargen forteller temperaturen

Stefan-Boltzmann sa hvor mye, men hva med fargen? Det svarer Wiens forskyvningslov: $\displaystyle \lambda_{max} = \frac{b}{T}$, der $\lambda_{max}$ er bølgelengden med sterkest stråling, $b = 2{,}898 \times 10^{-3}$ m·K er Wiens konstant, og $T$ er temperaturen i kelvin. Logikken: jo høyere temperatur, jo kortere bølgelengde ved toppen. Varme objekter glir oppover i spekteret -- fra usynlig infrarødt, via rødt og gult, mot blått.

Dette forklarer den glødende jernstangen fra starten. Ved 3000 K topper strålingen ved 966 nm og glør rødt. Ved 5000 K er den gul, ved 6000 K hvit, og en virkelig het blå stjerne ved 30 000 K topper helt nede i 97 nm (ultrafiolett, men med synlig blått).

La oss bruke loven på oss selv. En person med hudtemperatur 33 °C $= 306$ K stråler maksimalt ved $\displaystyle \lambda_{max} = \frac{2{,}898 \times 10^{-3}}{306} \approx 9{,}5 \times 10^{-6}$ m, altså rundt 9500 nm -- godt inn i det infrarøde, usynlige området. Det er nettopp denne infrarøde strålingen et termisk kamera fanger opp, slik at det kan «se» mennesker i mørke. Sola, ved 5778 K, stråler maksimalt rundt 502 nm -- midt i det synlige spekteret, grønngult, som er grunnen til at øynene våre er mest følsomme nettopp der.

Mest fascinerende: vi kan lese temperaturen til hele universet. Den kosmiske bakgrunnsstrålingen fra Big Bang topper ved $\lambda_{max} = 1{,}9$ mm $= 0{,}0019$ m. Snur vi Wiens lov, får vi $\displaystyle T = \frac{b}{\lambda_{max}} = \frac{2{,}898 \times 10^{-3}}{0{,}0019} \approx 1{,}5$ K (faktisk måling: 2,725 K). Dette er restvarmen fra universets fødsel, avkjølt fra milliarder av grader til nær det absolutte nullpunkt over 13,8 milliarder år.

Emisjon, absorpsjon og kunsten å kle seg riktig

Alle objekter både sender ut (emitterer) og tar opp (absorberer) stråling samtidig. Emisjonen avhenger av temperatur ($P \propto T^4$), areal og emissivitet $\varepsilon$, som er et mål på hvor god emitter materialet er sammenlignet med et sort legeme ($\varepsilon = 1$ er perfekt, $\varepsilon = 0$ stråler ingenting). Absorpsjonen beskrives av absorptiviteten $\alpha$ -- andelen stråling som tas opp ($\alpha = 1$ for et sort legeme).

Kirchhoffs lov binder dem sammen: for et legeme i termisk likevekt er emissiviteten lik absorptiviteten, $\varepsilon = \alpha$. Gode absorbenter er gode emittere. En sort overflate har høy $\alpha$ og høy $\varepsilon$; en blank overflate har lav for begge. Når et legeme mottar like mye stråling som det sender ut ($P_{inn} = P_{ut}$), er det i termisk likevekt og holder temperaturen.

Dette forklarer hvorfor klesvalg betyr noe. Om vinteren lønner det seg med mørke klær: de har høy absorptivitet ($\alpha \approx 0{,}9$) og fanger mye av solas stråling, som varmer deg. Om sommeren er lyse klær smartest: lav absorptivitet ($\alpha \approx 0{,}2$) reflekterer det meste av sola, så du holder deg kjøligere. Det er ingen tilfeldighet at folk i varme ørkenklima ofte går i hvitt -- de reflekterer den intense sola. (En finurlighet: hvit maling har lav absorptivitet for synlig lys, men fortsatt høy emissivitet for infrarødt. Derfor reflekterer hvite hus sollys og holder seg kjølige, samtidig som de stråler bort varme effektivt.)

Oppsummering

Den glødende jernstangen avslørte at alle varme objekter lyser. Vi idealiserte dette med det sorte legemet -- som absorberer all stråling og er den perfekte emitteren, der Kirchhoffs lov sier at gode absorbenter er gode emittere.

To lover styrer strålingen. Stefan-Boltzmanns lov $P = \sigma A T^4$ (med $\varepsilon$ for virkelige objekter) sier hvor mye -- og fjerdepotensen gjør temperaturen voldsomt viktig: dobbel temperatur gir 16 ganger mer stråling. Temperaturen må alltid være i kelvin. Wiens forskyvningslov $\displaystyle \lambda_{max} = \frac{b}{T}$ sier hvilken farge -- varmere objekter forskyves mot kortere bølgelengder, fra rødt mot blått -- og lar oss lese temperaturen til alt fra et menneske (infrarødt) til selve universets bakgrunnsstråling (rundt 2,7 K).

Til slutt så vi at emisjon og absorpsjon henger sammen gjennom $\varepsilon = \alpha$, og at dette har praktiske følger -- mørke klær varmer om vinteren, lyse holder kjølig om sommeren. Strålingen er altså ikke bare lys; den er et termometer på avstand, og fundamentet for å forstå hvordan sola varmer jorda -- temaet for neste kapittel.