2.3 Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon

Når farten endrer seg jevnt

Nå slår vi av cruise control og gir gass. Når en bil akselererer jevnt fra stillstand, eller bremser hardt foran et rødt lys, eller når en stein faller fra en klippe -- da har vi konstant akselerasjon. Hastigheten holder seg ikke lenger fast; den endrer seg, men med en jevn, fast rate.

Dette har noen konsekvenser du bør merke deg fra start. Når akselerasjonen er konstant, endrer hastigheten seg lineært med tiden (en rett linje i v-t-diagrammet), mens posisjonen endrer seg kvadratisk -- med $t^2$ -- og gir en parabel i s-t-diagrammet. En bil som akselererer fra stans, en rakett med jevn skyvekraft, et objekt i fritt fall: alle følger disse mønstrene.

For å regne på slik bevegelse trenger vi tre likninger. Det høres ut som mye, men de henger sammen som tre verktøy i samme kasse, og knepet er å vite hvilken du skal gripe etter. La oss møte dem.

De tre bevegelseslikningene

Den første likningen handler om hastighet: $v = v_0 + at$. Den sier rett og slett at hastigheten din nå er starthastigheten pluss det akselerasjonen har lagt til over tiden $t$. Akselererer du med 2 m/s² fra hvile i 10 sekunder, er farten $v = 0 + 2 \cdot 10 = 20$ m/s.

Den andre likningen gir posisjonen: $\displaystyle s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$. Her ser du tydelig at posisjonen vokser kvadratisk med tiden gjennom $t^2$-leddet. Samme bil tilbakelegger på de 10 sekundene $\displaystyle s = 0 + 0 \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10^2 = 100$ m.

Den tredje likningen er den smarte: $v^2 = v_0^2 + 2a(s - s_0)$, ofte forenklet til $v^2 = v_0^2 + 2as$. Det spesielle med den er at den ikke inneholder tid i det hele tatt. Den kobler fart, akselerasjon og strekning direkte, og er gull verdt når du verken har eller bryr deg om tiden.

Når griper du hvilken? Trenger du å koble fart og tid, bruk likning 1. Trenger du posisjon og tid, bruk likning 2. Og når tid ikke er med i bildet -- du kjenner fartene og akselerasjonen og vil ha strekningen, eller motsatt -- da er likning 3 snarveien.

En bil som bremser

La oss bruke verktøyene på noe livsnært -- en nødbrems. En bil kjører i 25 m/s og bremser med akselerasjon $a = -5$ m/s². Legg merke til minustegnet: akselerasjonen peker motsatt vei av bevegelsen, det er en retardasjon.

Først: hvor lang tid tar det før bilen står stille? Sluttfarten skal være $v = 0$, så vi bruker likning 1: $0 = 25 + (-5)t$. Det gir $5t = 25$, altså $t = 5$ sekunder. På fem sekunder er bilen stoppet.

Så det virkelig viktige spørsmålet: hvor langt kjører bilen mens den bremser -- bremselengden? Her har vi fartene og akselerasjonen, men vi vil ha strekningen, så likning 3 er det perfekte valget: $0^2 = 25^2 + 2 \cdot (-5) \cdot s$. Vi får $0 = 625 - 10s$, så $10s = 625$ og $s = 62{,}5$ m. Bilen ruller altså over 60 meter før den stopper, selv om føreren trodde han bremset hardt. Dette er grunnen til at fart dreper: bremselengden vokser med kvadratet av farten, så dobler du farten, firedobles bremselengden.

Fritt fall -- naturens egen akselerasjon

Det finnes ett tilfelle av konstant akselerasjon som naturen selv leverer gratis: fritt fall. Et objekt i fritt fall påvirkes bare av tyngdekraften, uten luftmotstand. Og det forbløffende er at alle objekter nær jordoverflaten faller med nøyaktig samme akselerasjon, kalt tyngdeakselerasjonen: $g = 9{,}81$ m/s². I oppgaver runder vi ofte av til $g = 10$ m/s² for å spare regning.

Fortegnet krever litt omtanke. Selve $g$ er alltid positiv, 9,81 m/s². Men retningen velger du ved å bestemme koordinatsystemet. Velger du opp som positiv, blir akselerasjonen $a = -g$; velger du ned som positiv, blir den $a = +g$. Bevegelseslikningene er de samme som før, bare med $g$ i akselerasjonens plass. Med opp som positiv: $v = v_0 - gt$, $\displaystyle y = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$, og $v^2 = v_0^2 - 2g(y - y_0)$.

La oss slippe en stein fra en 45 m høy klippe, med $g = 10$ m/s². Steinen starter i ro, $v_0 = 0$. Hvor lang tid tar fallet? Med opp som positiv setter vi $y = 0$ i posisjonslikningen: $0 = 45 - 5t^2$, altså $5t^2 = 45$, $t^2 = 9$, $t = 3$ sekunder. Og farten ved bakken? $v = 0 - 10 \cdot 3 = -30$ m/s -- altså 30 m/s nedover.

Fritt fall har tre vakre egenskaper du bør kunne. Det er symmetrisk: kaster du noe opp, er tiden opp lik tiden ned, og slutthastigheten er like stor som starthastigheten (bare motsatt rettet). Ved toppunktet er hastigheten null et øyeblikk -- men akselerasjonen er fortsatt $-g$, ikke null, for tyngdekraften slutter jo aldri å virke. Og det er uavhengig av masse: en fjær og en stein faller like fort i vakuum, akkurat som Galileo viste.

Oppsummering

Vi har temmet bevegelse med jevnt skiftende fart. Konstant akselerasjon gir hastighet som vokser lineært og posisjon som vokser kvadratisk. Tre likninger styrer alt: $v = v_0 + at$ (fart og tid), $\displaystyle s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ (posisjon og tid), og $v^2 = v_0^2 + 2a(s - s_0)$ (uten tid). Knepet er å velge likningen som passer det du vet og det du vil finne.

Vi brukte dem på en bremsende bil og fant at en fart på 25 m/s gir over 60 meters bremselengde -- en påminnelse om at bremselengden vokser med kvadratet av farten. Og vi møtte naturens egen konstante akselerasjon, fritt fall med $g = 9{,}81$ m/s² (ofte 10 i oppgaver). Her må fortegnet velges bevisst ut fra koordinatsystemet. Fritt fall er symmetrisk (tid opp lik tid ned), har null fart men full akselerasjon i toppunktet, og er uavhengig av masse -- fjær og stein faller like fort i vakuum. Med disse likningene i ryggmargen er du klar til å bevege deg i to dimensjoner.