2.1 Logiske porter — identifikasjon og identiteter
De sju portene (AND/OR/XOR/NAND/NOR/XNOR/NOT), å identifisere dem fra symbol og sannhetstabell, og de faste identitetene.
Høyeste prioritet — dette må sitte. Dette er første kapittel i seksjon 2, maskinvare og arkitektur, som er én av de fire seksjonene som hver må bestås for seg. Porter er den billigste poengkilden i seksjonen: svarene er entydige, og de kan pugges.
Slik kommer den: oftest som svarform F3 (dra-og-slipp: koble hvert element til riktig kategori — i boka skrevet som en koblingsoppgave), som F2 (sant/usant-matrise: én rad per påstand, du krysser sant eller usant for hver), og som F1 (velg ett eller flere alternativer — flere kan være riktige samtidig).
Den ene tingen som skiller bestått fra bom her: de fire portene med boble på utgangen. NAND, NOR, XNOR og NOT er nøyaktig de vanlige portene med svaret snudd, og forveksling av NAND og NOR er den vanligste enkeltbommen i sjangeren. Under negativ poenggiving, der gale avkrysninger trekker poeng, koster en slik forveksling dobbelt.
Tidsbruk: 45 minutter, fordelt på fire løkker med tidsanslag.
Forkunnskaper — sist du var her
Dette kapitlet kan leses uten forkunnskaper fra resten av boka. Det eneste du trenger, er begrepet bit, og det er ferdig oppfrisket her:
1. Et bit har nøyaktig to lovlige verdier: 0 og 1. Du møtte dem som sifre i kap. 1.1. I dette kapitlet leser vi de samme to verdiene som logiske verdier: 0 betyr «usant», 1 betyr «sant».
2. Fysisk er verdiene spenninger. Lav spenning i ledningen er 0, høy spenning er 1. Du trenger ikke tallene på voltnivået — bare at det er to nivåer, og at alt i maskinen bygger på skillet mellom dem.
3. Notasjonen fra kap. 1.3 om invertering. Å invertere er å bytte hvert 0 med 1 og hvert 1 med 0. Det er nøyaktig det NOT-porten gjør, bare på ett bit av gangen.
Trenger du en roligere inngang med flere tegninger før du går løs på dette, ligger den i Digitalteknikk - logiske porter og sannhetstabeller.
Løkke 1 — Tre porter er nok til å begynne (~12 min)
Ta en bil. Varsellyden for «bilbelte ikke festet» skal ulme når to ting er sanne samtidig: motoren går, og beltet er ulåst. Er bare den ene sann, skal det være stille.
Den regelen er en logisk port. Den har to innganger som hver er 0 eller 1, og én utgang som er 0 eller 1 — og den er avgjort på forhånd hva utgangen blir for hver av de fire mulige kombinasjonene.
Hele datamaskinen er bygd av slike. Addisjonen du gjorde for hånd i kap. 1.3 skjer i maskinen som noen titalls porter koblet etter hverandre. Derfor begynner seksjon 2 her: kan du portene, kan du lese maskinvaren.
En krets som tar inn ett eller flere bit og gir ut nøyaktig ett bit, etter en fast regel.
Regelen er uttømmende: for hver mulige kombinasjon av inngangsverdier er utgangen bestemt på forhånd. Det er ingen tilfeldighet og ingen tilstand fra forrige gang — samme innganger gir alltid samme utgang.
Den faste feilslutningen: å tro at en port kan ha flere utganger. Den har alltid én. Derimot kan den ene utgangen kobles videre til flere andre porter samtidig, og det er noe helt annet — se «Forgrening» i begrepsbanken.
En tabell som lister alle inngangskombinasjoner, én per rad, med utgangen i siste kolonne.
Med innganger har tabellen rader: to innganger gir fire rader, tre innganger gir åtte.
Radene settes opp i binær tellerekkefølge — 00, 01, 10, 11 — slik at ingen kombinasjon glemmes. Det er selve poenget med tabellen: den er en fullstendig beskrivelse av porten, og to porter med samme sannhetstabell gjør nøyaktig det samme, uansett hvordan de er bygd.
Den faste feilslutningen: å sjekke en påstand om porter i ett tilfelle og tro at det holder. Det gjør det ikke — en påstand om logikk skal sjekkes i alle radene.
Gir 1 bare når alle inngangene er 1. Skrives A·B, AB eller A AND B.
| A | B | A·B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Symbolet: en boks med flat bakside og halvsirkelformet framside, som en stor D. Ingen boble.
Hverdagsregelen: «begge deler». Varsellyden i bilen er en AND: motor på og belte ulåst.
Den faste feilslutningen: å blande symbolet med OR-symbolet. AND er flat bak og rund foran; OR er buet bak og spiss foran. Det er formen på baksiden som skiller dem.
Gir 1 når minst én inngang er 1. Skrives A+B eller A OR B.
| A | B | A+B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Symbolet: buet bakside og spiss framside, som et skjold. Ingen boble.
Hverdagsregelen: «minst én av delene». Innbruddsalarmen går når vinduet eller døra åpnes — eller begge.
Den faste feilslutningen: å lese OR som «enten eller, men ikke begge». Den utelukkende varianten er XOR. OR gir 1 også når begge er 1, og pluss-tegnet i
A+B er derfor ikke helt som pluss i vanlig regning: 1+1 er 1 her, ikke 2.Snur verdien. Har én inngang og én utgang. Skrives A′ eller Ā.
| A | A′ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Symbolet: en trekant med spissen mot høyre, med en boble i spissen. Det er boblen som gjør jobben — trekanten alene er bare en forsterker.
Bruker du NOT to ganger på rad, er du tilbake der du startet:
(A′)′ = A. Det kalles involusjon, og det er den letteste forenklingen som finnes.Den faste feilslutningen: å tro at NOT trenger to innganger som de andre. Den tar ett bit inn og gir ett bit ut.
En kaffemaskin skal varsle når vanntanken er tom eller bønnebeholderen er tom. La A være 1 når vanntanken er tom, og B være 1 når bønnebeholderen er tom. Hvilken port skal brukes, og hvordan ser sannhetstabellen ut?
Steg 2 — skriv uttrykket. F = A + B.
Steg 3 — sett opp tabellen med alle fire radene:
| A (vann tomt) | B (bønner tomt) | F (varsel) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Kontroll mot virkeligheten: en maskin som sluttet å varsle når begge beholderne var tomme, ville vært ubrukelig. Det bekrefter at OR er riktig og at XOR — som gir 0 i den nederste raden — ville vært feil.
Svar: OR-porten,
F = A + B.Hadde ordlyden vært «varsle når vanntanken er tom og maskinen står på», ville svaret vært AND, og bare den nederste raden ville gitt 1.
(Innsteg — sannhetstabeller.) Skriv sannhetstabellen til AND og til OR ved siden av hverandre, og svar: i hvor mange av de fire radene gir de to portene ulik utgang?
En port har denne sannhetstabellen. Hvilken port er det?
| A | B | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Løkke 2 — De fire portene med boble (~13 min)
Nå kommer de fire som gir flest bom. De er ikke nye regler — de er de tre du allerede kan, med svaret snudd, pluss én til.
Boblen på utgangen betyr «inverter». Ser du en boble der ledningen forlater porten, skal du regne ut den vanlige porten først og deretter snu svaret. Det er hele hemmeligheten bak NAND, NOR og XNOR.
AND med svaret snudd: gir 0 bare når alle inngangene er 1, og 1 ellers. Skrives (A·B)′.
| A | B | (A·B)′ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Symbolet: AND-symbolet — flat bak, rundt foran — med en boble på utgangen.
Navnet er kortformen av «NOT AND», og det er akkurat det den er:
A·B regnet ut, deretter invertert.Den faste feilslutningen: å blande NAND og NOR. Tell ettallene i utgangskolonnen — NAND har tre ettall og ett null nederst; NOR har ett ettall øverst og tre null. De er ikke nære hverandre i det hele tatt når du ser på tabellen; det er bare symbolene som ligner.
OR med svaret snudd: gir 1 bare når alle inngangene er 0. Skrives (A+B)′.
| A | B | (A+B)′ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Symbolet: OR-symbolet — buet bak, spisst foran — med en boble på utgangen.
Hverdagsregelen: «ingen av delene». Lampen «alt i orden» lyser bare når ingen av de to feilsignalene er aktive.
Den faste feilslutningen: å tro at NOR er «NOT etterfulgt av OR». Rekkefølgen er motsatt — OR først, invertering til slutt. Inverterer du inngangene først og OR-er etterpå, får du
A′ + B′, som er NAND. Se De Morgans lover i begrepsbanken.Gir 1 når inngangene er ulike, altså når nøyaktig én av dem er 1. Skrives A⊕B.
| A | B | A⊕B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Symbolet: OR-symbolet med en ekstra bue langs baksiden. Ingen boble.
Navnet: «exclusive or», det utelukkende eller — «enten den ene eller den andre, men ikke begge».
Skrevet med de tre grunnportene:
A⊕B = A′·B + A·B′. Det leses direkte av tabellen: de to radene som gir 1, er «A er 0 og B er 1» og «A er 1 og B er 0».Den faste feilslutningen: å bruke XOR der oppgaven sier «eller» i dagligtale. Dagligtalens «eller» er som regel OR — XOR krever at det ene utelukker det andre.
XOR med svaret snudd: gir 1 når inngangene er like. Skrives (A⊕B)′.
| A | B | (A⊕B)′ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Symbolet: XOR-symbolet med en boble på utgangen.
XNOR er likhetstesten i maskinvare: den svarer 1 nøyaktig når de to bitene er like. Skal en maskin sammenligne to byte, brukes åtte XNOR-porter, én per bitpar.
Skrevet med grunnportene:
(A⊕B)′ = A·B + A′·B′ — begge er 1, eller begge er 0.Den faste feilslutningen: å forveksle XNOR og XOR. De er hverandres motsatte i hver eneste rad, så en forveksling gir null riktige, ikke halvparten.
Svarform F3, altså en koblingsoppgave: koble hver beskrivelse (1–4) til riktig port (A–F). Hver port kan brukes én gang eller ikke i det hele tatt.
1. Utgangen er 1 bare når begge inngangene er 0.
2. Utgangen er 1 når inngangene er like.
3. Symbolet er flat bak og rundt foran, med boble på utgangen.
4. Utgangen er 1 når minst én inngang er 1.
A. AND · B. OR · C. XOR · D. NAND · E. NOR · F. XNOR
2 → F (XNOR). «Like innganger» dekker både 00 og 11. XOR ville vært det motsatte (ulike), AND ville bare dekket 11.
3 → D (NAND). Flat bakside og rund framside er AND-formen; boblen på utgangen snur svaret. Uten boble ville det vært A, og med OR-formen ville det vært E.
4 → B (OR). Standard OR. Ikke XOR, som mister den nederste raden der begge er 1.
Fasit: 1→E, 2→F, 3→D, 4→B.
Legg merke til at koblingen ikke er 1→A, 2→B, 3→C: rekkefølgen i en slik oppgave er alltid stokket, og en «pen» diagonal er et varsel om at du har gjettet.
Under negativ poenggiving: to av portene (AND og XOR) er ikke i bruk. En dra-og-slipp-oppgave krever ikke at alle kategorier brukes, og det å tvinge inn de ubrukte er en klassisk måte å miste poeng på.
For hver av de fire beskrivelsene: hvilken port er det?
a) Utgangen er 0 bare når begge inngangene er 1.
b) Utgangen er 1 når nøyaktig én inngang er 1.
c) Porten har én inngang.
d) Utgangen er 1 i tre av fire rader, og den ene nullen står øverst.
Vurder hver påstand som sann eller usann, og begrunn hver rad.
| # | Påstand | Sant/usant |
|---|---|---|
| a | XNOR gir 1 når inngangene er like | |
| b | NOR gir 1 i tre av fire rader | |
| c | XOR og OR er enige i tre av fire rader | |
| d | NOT-porten har én inngang og én utgang |
Løkke 3 — Identitetene eksamen spør om (~12 min)
Sjanger D har en fast andre halvdel: påstander om hva som går an å bygge med porter. De kommer som sant/usant-rader, og de er de samme påstandene år etter år.
De tre du må kunne begrunne, er: at XNOR er invertert XOR, at én porttype kan være nok til å bygge alt, og at en port har én utgang mens den utgangen kan mate mange.
Når flere porter kobles sammen, beskriver vi kretsen som en nummerert liste der hver port får sine innganger oppgitt og gir et navngitt mellomsignal ut:
Port 1: NAND med inngangene A og B -> mellomsignal P
Port 2: NAND med inngangene P og P -> utgangen FLesemåten er alltid ovenfra og ned: du regner ut P først, fordi port 2 trenger den.
Det gir en entydig beskrivelse — det finnes bare én krets som passer listen — og du kan regne ut utgangen ved å fylle inn én kolonne per mellomsignal i sannhetstabellen.
Denne formen brukes gjennom hele boka. Du får full trening i å regne ut F fra en portliste i neste kapittel; her trenger du den bare for å lese de to små konstruksjonene under.
(A⊕B)′ gir 1 nøyaktig der A⊕B gir 0. Kontrollen er hele tabellen, ikke ett tilfelle:| A | B | A⊕B | (A⊕B)′ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
2. Funksjonell kompletthet. Enhver logisk funksjon, uansett hvor mange innganger og hvor komplisert, kan bygges med kun NAND-porter. Det samme gjelder kun NOR-porter, og det gjelder settet {NOT, OR}.
Beviset er kort, og du bør kunne skissere det: klarer du å lage NOT, AND og OR av bare NAND, kan du lage alt, fordi alle uttrykk kan skrives med de tre.
NOT: Port 1: NAND med inngangene A og A -> F = A′
AND: Port 1: NAND med inngangene A og B -> P
Port 2: NAND med inngangene P og P -> F = A·B
OR: Port 1: NAND med inngangene A og A -> P = A′
Port 2: NAND med inngangene B og B -> Q = B′
Port 3: NAND med inngangene P og Q -> F = A+B(A′·B′)′ er ifølge De Morgan lik A + B. Stemmer.3. Én utgang, mange mottakere. En port har nøyaktig én utgang. Men den ene ledningen kan grene seg og gå inn som inngang på flere porter samtidig — alle mottakerne ser da den samme verdien.
Dette er den påstanden som oftest kommer som en felle: «en port kan ha to utganger» er usant, mens «en portutgang kan være inngang på flere porter» er sant. Les rada nøye.
Vis at porten under gjør nøyaktig det samme som en NOT-port.
Port 1: NAND med begge inngangene koblet til A -> utgangen FA, finnes det bare to rader å sjekke, ikke fire.| A | NAND-inngang 1 | NAND-inngang 2 | F = (A·A)′ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Steg 2 — regn ut hver rad.
Rad 1:
0 AND 0 = 0, invertert gir 1.Rad 2:
1 AND 1 = 1, invertert gir 0.Steg 3 — sammenlign med NOT. NOT gir 1 for inngang 0 og 0 for inngang 1. Kolonnene er identiske i begge radene.
Svar: ja, en NAND med sammenkoblede innganger er en inverter.
Algebraisk kontroll: A·A = A (idempotens), så (A·A)′ = A′. Samme svar.
Hvorfor dette er verdt plass: det er første halvdel av begrunnelsen for at NAND alene er nok. Har du NOT, får du AND ved å invertere NAND-en, og OR ved De Morgan — og da har du alt.
Regn ut utgangen F for denne kretsen i alle fire radene, og si hvilken av de sju portene den tilsvarer.
Port 1: NOR med inngangene A og A -> mellomsignal P
Port 2: NOR med inngangene B og B -> mellomsignal Q
Port 3: NOR med inngangene P og Q -> utgangen FKryss av alle alternativene som er lik A′ + B′, og begrunn hvert av de fire.
a) (A+B)′
b) (A·B)′
c) Utgangen fra en NAND-port med inngangene A og B
d) A′ · B′
Løkke 4 — Eksamensformen (~8 min)
Sjanger D kommer i tre innpakninger, og alle tre er trent nå: koble symbol eller beskrivelse til portnavn (F3), vurdere påstander om porter og identiteter (F2), og krysse av alle uttrykk som er ekvivalente (F1).
Det som gjør sjangeren billig, er at svarene er entydige og kan kontrolleres på stedet: en sannhetstabell med fire rader tar under et minutt å skrive ut, og den avgjør saken. Det som gjør den farlig, er at feil svar trekker poeng — så bruk minuttet.
Svarform F2. Vurder hver påstand som sann eller usann.
a) Enhver logisk funksjon kan realiseres med kun NAND-porter.
b) En AND-port kan ha to utganger hvis den mater to andre porter.
c) NAND og NOR gir samme utgang i raden der begge inngangene er 0.
d) XOR gir 1 i nøyaktig like mange rader som XNOR gir 1.
b) Usann. En port har nøyaktig én utgang. Det som er sant, er at den ene utgangen kan grene seg og gå inn på flere porter. Påstanden bytter om på de to, og det er den faste fella i denne raden.
c) Sann. I raden 00 gir NAND (0·0)′ = 1 og NOR (0+0)′ = 1. Begge gir 1. De skiller lag i de tre andre radene, men spørsmålet gjelder bare denne ene — les hva rada faktisk spør om.
d) Sann. XOR gir 1 i to rader (01 og 10), XNOR gir 1 i to rader (00 og 11). To mot to. Merk at de aldri gir 1 i samme rad — men antallet er likt, og det var det påstanden gjaldt.
Fasit: a sann, b usann, c sann, d sann.
Om formen: rad c og d er skrevet for å teste om du leser presist. Begge er sanne, men begge har en «nesten»-lesning som er usann («NAND og NOR gir samme utgang» uten radbegrensning ville vært usant; «XOR og XNOR gir 1 i samme rader» ville vært usant). Under negativ poenggiving er det å lese rada bokstavelig en egen ferdighet.
Vurder hver påstand som sann eller usann, og begrunn hver rad med en sannhetstabell eller en identitet.
| # | Påstand | Sant/usant |
|---|---|---|
| a | Enhver logisk funksjon kan realiseres med kun NOR-porter | |
| b | (A′)′ · B er lik A · B | |
| c | En NOR-port med begge inngangene koblet til A gir A | |
| d | XNOR er lik A·B + A′·B′ |
En krets er gitt som portliste:
Port 1: NOT med inngangen A -> mellomsignal P
Port 2: NOT med inngangen B -> mellomsignal Q
Port 3: AND med inngangene P og B -> mellomsignal R
Port 4: AND med inngangene A og Q -> mellomsignal S
Port 5: OR med inngangene R og S -> utgangen FKryss av alle alternativene som stemmer.
a) Kretsen tilsvarer en XOR-port.
b) F = 1 når A = 1 og B = 1.
c) F kan skrives som A′·B + A·B′.
d) Kretsen bruker fem porter, men bare to ulike porttyper.
1. Å forveksle NAND og NOR. Den vanligste enkeltbommen i sjangeren. Symbolene ligner fordi begge har boble, men tabellene er ikke i nærheten av hverandre: NAND har tre ettall og nullen nederst, NOR har ett ettall øverst. Test deg selv med raden 01 — der gir NAND 1 og NOR 0.
2. Å forveksle XOR og XNOR. De er hverandres motsatte i hver eneste rad. En forveksling gir null riktige svar, ikke halvparten. Huskeregelen: XOR spør «er de ulike?», XNOR spør «er de like?».
3. Å tro at en port kan ha flere utganger. Én port, én utgang — alltid. Det som er lov, er at den ene utgangen grener seg til flere mottakere. Påstandsraden er skrevet nøyaktig for å teste om du kjenner forskjellen.
4. Å bruke De Morgan uten å bytte operator. (A·B)′ er A′ + B′, ikke A′·B′. Selve innholdet i loven er at AND blir OR og OR blir AND når du drar inverteringen inn.
5. Å sjekke en identitet i ett tilfelle. «Det stemmer når A er 1» er ikke et argument. Alle rader skal sjekkes — det er hele poenget med sannhetstabellen, og under negativ poenggiving er en halvsjekket identitet en dyr vane.
6. *Å svare på hva rada nesten spør om.* Påstandene i sjangeren er skrevet presist: «gir samme utgang i raden der begge er 0» er noe helt annet enn «gir samme utgang». Les hver rad bokstavelig, og avgrens deg til akkurat det som står — det er halve ferdigheten i en sant/usant-matrise.
Begrepsbank til eksamen
Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.
Den vesle sirkelen der ledningen forlater porten. Den betyr inverter utgangen.
Fire av de sju portene har boble: NOT, NAND, NOR og XNOR. Fjerner du boblen fra NAND, står du igjen med AND; fjerner du den fra NOR, står du igjen med OR.
Den faste feilen er å overse boblen når man leser et symbol raskt. Da forveksler man en port med dens motsetning — og får null riktige i alle rader, ikke halvparten.
En formel som beskriver utgangen av en krets ved hjelp av inngangsvariablene og operatorene ′ (NOT), · (AND) og + (OR).
F = A·B + C′ leses: «F er 1 når både A og B er 1, eller når C er 0».
To uttrykk som gir samme kolonne i sannhetstabellen, er ekvivalente, uansett hvor ulike de ser ut. Det er derfor en eksamensoppgave kan ha flere riktige alternativer samtidig.
I et boolsk uttrykk binder · (AND) sterkere enn + (OR), på samme måte som gange binder sterkere enn pluss i vanlig regning.
A·B + C betyr (A·B) + C. Vil du ha A·(B + C), må du sette parentesen.
Den faste feilen er å lese uttrykket fra venstre mot høyre uten å ta hensyn til prioriteten. A + B·C er ikke (A + B)·C — de to gir ulik utgang i to av de åtte radene.
At et sett porttyper er nok til å bygge enhver logisk funksjon.
Settene du skal kunne: {NAND} alene, {NOR} alene og {NOT, OR}. Også {NOT, AND} er komplett.
Begrunnelsen går alltid samme vei: klarer du å lage NOT, AND og OR av byggeklossen din, kan du lage alt, fordi ethvert boolsk uttrykk er bygd av de tre.
Den faste feilslutningen: å tro at {AND, OR} alene er nok. Det er det ikke — uten en form for invertering kan du aldri lage en utgang som er 0 når alle inngangene er 1.
NAND alene er funksjonelt komplett. De tre konstruksjonene:
NOT A = NAND(A, A)
A·B = NAND( NAND(A,B), NAND(A,B) )
A+B = NAND( NAND(A,A), NAND(B,B) )Den siste er De Morgan i praksis: (A′·B′)′ = A + B.
At én porttype holder, er også grunnen til at NAND er så vanlig i faktiske brikker — én type å produsere, én type å teste.
NOR alene er funksjonelt komplett, på samme måte som NAND.
NOT A = NOR(A, A)
A+B = NOR( NOR(A,B), NOR(A,B) )
A·B = NOR( NOR(A,A), NOR(B,B) )Den siste er De Morgan speilvendt: (A′ + B′)′ = A·B.
Merk symmetrien mot NAND-konstruksjonene: der NAND lager AND direkte og OR via inverterte innganger, gjør NOR det motsatte.
At den ene utgangen fra en port kobles videre som inngang til flere porter samtidig.
Alle mottakerne ser da nøyaktig samme verdi — ledningen er én, den er bare delt i flere retninger.
Dette er den sanne halvdelen av en fast eksamensfelle. Den usanne halvdelen er «en port kan ha flere utganger». Porten har én utgang; det er ledningen som greiner seg.
I ord: «ikke begge» er det samme som «ikke den ene eller ikke den andre», og «ingen av dem» er det samme som «ikke den ene og ikke den andre».
Den faste feilen er å invertere hver variabel og la operatoren stå. Da får du NOR der du skulle hatt NAND, og de to er ulike i tre av fire rader.
Det er derfor en NAND med sammenkoblede innganger blir en inverter: (A·A)′ = A′.
Regelen har ingen motstykke i vanlig regning — der er A + A lik 2A. I boolsk algebra finnes ikke tallet 2; det finnes bare 0 og 1.
Begrunnelsen er at nøyaktig én av A og A′ er 1, uansett hva A er. Da er OR-en alltid 1, og AND-en alltid 0.
Disse to er de mest brukte forenklingene i kretsanalyse: finner du dem i et uttrykk, faller et helt ledd bort.
De to første lar konstanten forsvinne; de to siste lar konstanten overta hele uttrykket.
Huskeregelen: en OR-port med en fast 1 på den ene inngangen gir alltid 1 uansett hva den andre er, og en AND-port med en fast 0 gir alltid 0. Slike innganger kalles «lukket» eller «låst» i praksis.
To NOT-porter i serie er altså elektrisk nyttige (de forsterker signalet) men logisk usynlige.
Regelen brukes hele tiden i forenkling: ser du en dobbel strek eller to bobler etter hverandre, kan du stryke begge.
Dette er grunnen til at A + C og C + A er samme uttrykk, og at begge kan stå som alternativer i en «kryss av alle ekvivalente»-oppgave samtidig.
Den faste feilen er å tro at bare den ene skrivemåten er «riktig». Begge er riktige, og under svarform F1 skal begge krysses av.
AND, OR, NAND, NOR og XOR finnes også med tre eller flere innganger. Regelen utvides på den naturlige måten: en AND med tre innganger gir 1 bare når alle tre er 1, og en OR med tre innganger gir 1 når minst én er 1.
Sannhetstabellen vokser raskt: tre innganger gir rader, fire gir 16.
NOT er unntaket — den har alltid nøyaktig én inngang.
XOR svarer 1 nøyaktig når de to bitene er ulike. Den er derfor maskinvarens «er disse forskjellige?»-spørsmål.
To praktiske følger: A ⊕ 0 = A (XOR med null lar bitet stå), og A ⊕ 1 = A′ (XOR med ett inverterer bitet). Det er slik en maskin kan velge å invertere et bit uten å bruke en egen inverter.
XOR er også kjernen i den binære addisjonen du gjorde for hånd i kap. 1.3: summbitet av to bit uten mente er nettopp A ⊕ B.
XNOR svarer 1 nøyaktig når de to bitene er like, altså både ved 00 og ved 11.
Skal en maskin sammenligne to byte, brukes åtte XNOR-porter — én per bitpar — og resultatene AND-es sammen. Er alle åtte parene like, er svaret 1.
Skrivemåtene du skal kjenne igjen: (A⊕B)′ og A·B + A′·B′. Begge er XNOR, og i en «kryss av alle ekvivalente»-oppgave er begge riktige.
En nummerert, entydig tekstbeskrivelse av en krets: én linje per port, med portens type, dens innganger og navnet på signalet den gir ut.
Port 1: AND med inngangene A og B -> mellomsignal P
Port 2: NOT med inngangen C -> mellomsignal Q
Port 3: OR med inngangene P og Q -> utgangen FDenne listen svarer til F = A·B + C′. Rekkefølgen er alltid slik at et mellomsignal er beregnet før det brukes.
Portlisten er formen kretsoppgavene har i denne boka, og den kan leses like presist som en tegning.
Utgangen fra en port som ikke er kretsens sluttutgang, men går videre som inngang til en annen port.
Mellomsignaler navngis med egne bokstaver (P, Q, R) og får hver sin kolonne i sannhetstabellen når du analyserer kretsen.
Å hoppe over mellomsignalkolonnene og prøve å regne rett fram til F i hodet er den vanligste kilden til regnefeil i kretsanalyse.
De to nivåene i en krets er fysisk spenninger — lav og høy — og logisk verdiene 0 og 1.
Den logiske verdien er en tolkning av spenningen, på samme måte som en byte er en tolkning av åtte bit (kap. 1.3).
Skillet blir eksplisitt igjen senere i del 2, der «logiske verdier» og «volt» er to ulike trinn på abstraksjonsstigen — og der rekkefølgen mellom dem er eksamensstoff.
En krets der utgangen bare avhenger av inngangene akkurat nå — ikke av hva som skjedde tidligere.
Alle kretsene i dette kapitlet og i neste er kombinatoriske. Det er derfor sannhetstabellen er en fullstendig beskrivelse: det finnes ingen skjult tilstand som kan gi ulikt svar på samme innganger.
Kretser som husker noe, hører til lagringskretsene, og de detaljene er nedtonet i emnet — du trenger ikke kunne dem her.
Med innganger har tabellen rader — én per kombinasjon.
| Innganger | Rader |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
Radene settes opp i binær tellerekkefølge, slik at ingen kombinasjon kan glemmes. Det er samme telling som i kap. 1.1, bare med
n bit.En oppgave som ber deg sjekke en påstand «for alle inngangskombinasjoner», ber deg altså om nøyaktig kontroller.
To boolske uttrykk er ekvivalente når de gir samme utgang i hver eneste rad i sannhetstabellen.
(A·B)′ og A′ + B′ ser ulike ut, men er ekvivalente — det er De Morgan.
Dette er grunnen til at eksamen bruker svarform F1, «velg ett eller flere», i kretsoppgaver: flere av alternativene kan være riktige samtidig, og krysser du bare av det første, mister du poeng du hadde krav på.
Metoden for port-identifikasjon under tidspress: les utgangskolonnen ovenfra og ned som fire tegn, og bruk to spørsmål.
1. Hvor mange ettall? Ett ettall er AND eller NOR; tre er OR eller NAND; to er XOR eller XNOR.
2. Hvor står avviket? Er det ene ettallet nederst, er det AND; øverst, er det NOR. Er den ene nullen nederst, er det NAND; øverst, er det OR.
Metoden tar under et halvt minutt og er sikrere enn å kjenne igjen symbolet på formen.
De seks totakts-portene, med utgangen lest ovenfra og ned for radene 00, 01, 10, 11:
| Port | Utgang | Kjennetegn |
|---|---|---|
| AND | 0 0 0 1 | ett ettall, nederst |
| OR | 0 1 1 1 | én null, øverst |
| XOR | 0 1 1 0 | 1 når ulike |
| NAND | 1 1 1 0 | én null, nederst |
| NOR | 1 0 0 0 | ett ettall, øverst |
| XNOR | 1 0 0 1 | 1 når like |
Legger du merke til at hver port i venstre halvdel er den motsatte av porten i høyre — AND mot NAND, OR mot NOR, XOR mot XNOR — er hele tabellen egentlig tre linjer å huske.
Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.
Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.