7.P Prøver til del 7: Differensiallikninger og svingninger

Forkunnskaper — sist du var her

Prøvene dekker kap. 7.1 til kap. 7.4. Det du bør ha klart før du setter deg:

Bevegelseslikningen fra Newtons 2. lov:

$$m\frac{d^2y}{dt^2} = \sum F\left(y, \frac{dy}{dt}, t\right)$$

Klassifiseringen: orden (høyeste deriverte), lineær eller ikke (opptrer den ukjente i første potens, uten å stå inne i en funksjon?), homogen eller inhomogen (finnes det et ledd uten den ukjente?), separabel eller ikke.

Substitusjonen til likevekt: med $y_L = -mg/k$ og $u = y - y_L$ blir den hengende fjæras likning homogen:

$$\frac{d^2u}{dt^2} = -\omega_0^2 u, \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T_p = \frac{2\pi}{\omega_0}$$

Generell løsning og initialbetingelser:

$$u(t) = A\cos\omega_0t + B\sin\omega_0t, \qquad A = u_0, \quad B = \frac{v_0}{\omega_0}, \quad C = \sqrt{A^2+B^2}, \quad v_{\max} = C\omega_0$$

Demping: $\ \gamma = b/(2m)$, $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$, kritisk demping ved $b_{\text{kr}} = 2\sqrt{km}$, halveringstid $\ln 2/\gamma$.

Linearisering: $\ k_{\text{ef}} = -F'(x_0) = U''(x_0)$ og $\omega = \sqrt{k_{\text{ef}}/m}$. Pendel: $\sin\theta \approx \theta$ i radianer gir $T_p = 2\pi\sqrt{\ell/g}$.

Luftmotstand: $\ F_D = -k_v v$ eller $F_D = -D\lvert v\rvert v$, med $v_T = mg/k_v$ eller $v_T = \sqrt{mg/D}$, og $v(t) = v_T(1-e^{-t/\tau})$ der $\tau = m/k_v$.

De to fellene som koster mest: å «integrere» en likning som om den ukjente var konstant (null poeng), og å skrive kvadratisk motstand som $-Dv^2$ når farten kan skifte fortegn.