5.4 Funksjonsdrøfting

Når funksjonen forteller en historie

Du har en kostnadsfunksjon for bedriften din, og du vet hvordan du deriverer den. Men hva betyr egentlig kurvens form for beslutningene dine? Hvis overskuddet vokser, men veksten avtar -- er du på vei mot toppen, eller har du allerede passert den? Dette kapittelet handler om å lese en funksjon som om den var en fortelling: hvor den stiger, hvor den faller, hvor den vender, og hvor den når sine topper og bunner.

Verktøyene har vi bygd opp gjennom de forrige kapitlene. Den deriverte $f'(x)$ forteller om stigning, den andrederiverte $f''(x)$ forteller om krumning, og et fortegnsskjema gir oss en ryddig oversikt. La oss begynne med stigningen.

En deriverbar funksjon $f$ er voksende på et intervall der $f'(x) \geq 0$, og avtakende der $f'(x) \leq 0$. Er $f'(x) = 0$ overalt, er funksjonen konstant. Tegnet til den deriverte forteller altså om grafen klatrer oppover eller raser nedover. Økonomisk lest: der grensekostnaden $K'(x)$ er positiv, vokser totalkostnaden, og der den marginale profitten $\pi'(x)$ er positiv, lønner det seg å produsere mer.

Stasjonære punkter og fortegnsskjema

De mest interessante stedene på en kurve er der den snur -- topper og bunner. Et punkt $x_0$ der $f'(x_0) = 0$ kaller vi et stasjonært punkt: her er tangenten vannrett. Et lokalt maksimum er en topp i et lite intervall rundt punktet, et lokalt minimum er en bunn. Et globalt maksimum eller minimum er den aller høyeste eller laveste verdien i hele definisjonsområdet.

Men ikke alle stasjonære punkter er topper eller bunner. For å klassifisere dem lager vi et fortegnsskjema for $f'$: vi finner de stasjonære punktene, deler tallinjen i intervaller, og tester fortegnet til $f'$ i hver. Hvis $f'$ skifter fra $+$ til $-$ rundt $x_0$, er det et lokalt maksimum (grafen stiger og så faller). Skifter den fra $-$ til $+$, er det et lokalt minimum. Skifter den ikke fortegn i det hele tatt, er det et terrassepunkt -- en flat plass uten å være topp eller bunn, som $x^3$ i origo.

La oss drøfte $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Vi deriverer: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$. Stasjonære punkter er $x = 1$ og $x = 3$. Faktorene avgjør fortegnet. Ved $x = 1$ skifter $f'$ fra $+$ til $-$: lokalt maksimum, med $f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$. Ved $x = 3$ skifter den fra $-$ til $+$: lokalt minimum, med $f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$. Slik leser vi ut hele kurvens dramaturgi.

Andrederiverttesten, krumning og vendepunkter

Det finnes en raskere måte å avgjøre om et stasjonært punkt er topp eller bunn -- andrederiverttesten. Hvis $f''(x_0) > 0$ i et stasjonært punkt, er det et lokalt minimum; hvis $f''(x_0) < 0$, er det et lokalt maksimum. Intuisjonen er fin: $f'' > 0$ betyr at grafen krummer oppover som en skål ($\cup$), og et stasjonært punkt i bunnen av en skål må være et minimum. Tilsvarende gir $f'' < 0$ en kuppel ($\cap$) med topp.

For kurven vår $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ er $f''(x) = 6x - 12$. Ved $x = 1$ er $f''(1) = -6 < 0$ (maksimum, stemmer), og ved $x = 3$ er $f''(3) = 6 > 0$ (minimum, stemmer). Testen bekrefter det fortegnsskjemaet vårt allerede sa. Pass på: hvis $f''(x_0) = 0$, er testen ikke konklusiv, og da må vi tilbake til fortegnsskjemaet for $f'$.

Krumningen har et eget navn. Der $f''(x) > 0$ er funksjonen konveks ($\cup$), der $f''(x) < 0$ er den konkav ($\cap$). Et vendepunkt er der den skifter mellom de to -- da må $f''(x_0) = 0$ og $f''$ skifte fortegn. For kurven vår er $f''(x) = 0$ ved $x = 2$, der krumningen går fra konkav til konveks: et vendepunkt med $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$. Økonomisk betyr konveks kostnad ($K'' > 0$) at grensekostnaden øker -- stordriftsulemper -- mens konkav kostnad betyr stordriftsfordeler.

Noen funksjoner har også asymptoter -- rette linjer grafen nærmer seg uten å nå. En vertikal asymptote dukker opp der nevneren i en brøk blir null. En horisontal asymptote $y = c$ finnes når $f(x) \to c$ for store $|x|$. Og en skrå asymptote $y = ax + b$ finnes for rasjonale funksjoner der teller har grad nøyaktig én mer enn nevner -- den finner vi ved polynomdivisjon.

Full drøfting i økonomisk lys

La oss sette alt sammen i et eksempel som er hjertet av mikroøkonomien. En bedrift har kostnadsfunksjon $\displaystyle K(x) = \frac{1}{2}x^2 + 8x + 50$ for $x > 0$, og vi vil finne produksjonen som gir lavest gjennomsnittskostnad $\bar{K}(x) = K(x)/x$. Vi deler ledd for ledd: $\displaystyle \bar{K}(x) = \frac{1}{2}x + 8 + \frac{50}{x}$. Grensekostnaden er $K'(x) = x + 8$.

For å minimere $\bar{K}$ deriverer vi: $\displaystyle \bar{K}'(x) = \frac{1}{2} - \frac{50}{x^2}$. Setter vi den lik null, får vi $x^2 = 100$, altså $x = 10$ (den positive roten). Andrederiverttesten bekrefter: $\displaystyle \bar{K}''(x) = \frac{100}{x^3} > 0$ for $x > 0$, så $x = 10$ er et minimum. Verdiene er $\bar{K}(10) = 5 + 8 + 5 = 18$ og $K'(10) = 10 + 8 = 18$.

Legg merke til at de er like: $K'(10) = \bar{K}(10) = 18$. Det er ingen tilfeldighet. Fra $\bar{K}(x) = K(x)/x$ følger ved kvotientregelen at $\displaystyle \bar{K}'(x) = \frac{K'(x) - \bar{K}(x)}{x}$. Setter vi $\bar{K}'(x) = 0$, må $K'(x) = \bar{K}(x)$. Dette er en universell regel: minimum gjennomsnittskostnad inntreffer der grensekostnaden møter gjennomsnittskostnaden. En siste advarsel verdt å huske: et lokalt maksimum trenger ikke være globalt. På et lukket intervall $[a, b]$ må du alltid sjekke endepunktene i tillegg til de stasjonære punktene -- den største verdien vinner.

Oppsummering

Funksjonsdrøfting er kunsten å lese en kurves hele livshistorie. Tegnet til $f'(x)$ forteller om funksjonen stiger eller faller, og stasjonære punkter der $f'(x) = 0$ er kandidatene til topper og bunner. Vi klassifiserer dem enten med et fortegnsskjema for $f'$ -- skift fra $+$ til $-$ gir maksimum, fra $-$ til $+$ gir minimum -- eller raskere med andrederiverttesten: $f''(x_0) > 0$ gir minimum, $f''(x_0) < 0$ gir maksimum.

Tegnet til $f''$ avgjør også krumningen: konveks ($\cup$) der $f'' > 0$, konkav ($\cap$) der $f'' < 0$, med vendepunkt der $f''$ skifter fortegn. Asymptoter -- vertikale, horisontale og skrå -- forteller hvor grafen forsvinner mot. Til slutt så vi den vakre økonomiske regelen at minimum gjennomsnittskostnad inntreffer der $K'(x) = \bar{K}(x)$. Med disse verktøyene er vi klare til å løse ekte optimeringsproblemer i neste kapittel.