1.4 Prosentregning

Tallet som styrer pengene

Åpne en hvilken som helst nettavis, og du blir bombardert med prosenter: «renten settes opp», «strømprisen falt 12 prosent», «aksjen steg 4 prosent». Prosent er kanskje det vanligste regneverktøyet i hele økonomien, og hvis du blir trygg på det, har du allerede et solid fortrinn.

Ordet prosent betyr rett og slett «per hundre», og tegnet $\%$ er en kortform for å dele på $100$. Derfor er $\displaystyle 1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. For å finne $p$ prosent av et tall $G$, ganger vi: $\displaystyle p\%\cdot G = \frac{p}{100}\cdot G$. Vil du vite hva $25\%$ av $200$ er, regner du $0{,}25\cdot 200 = 50$.

Det samme grepet løser tre slags oppgaver. Du finner $15\%$ av $800$ kr som $0{,}15\cdot 800 = 120$ kr. Du finner $7{,}5\%$ av $12\,000$ kr som $0{,}075\cdot 12\,000 = 900$ kr. Og du finner hvor mange prosent $45$ er av $180$ ved å dele: $\displaystyle \frac{45}{180} = 0{,}25 = 25\%$. Nøkkelen er alltid å gjøre prosenten om til et desimaltall først.

Prosentvis endring og vekstfaktor

Når en størrelse endrer seg, vil vi ofte vite hvor stor endringen er i forhold til der vi startet. Den prosentvise endringen finner vi slik: $\displaystyle \frac{\text{ny verdi} - \text{gammel verdi}}{\text{gammel verdi}}\cdot 100\%$. Et positivt svar betyr vekst, et negativt betyr nedgang. Steg en aksje fra $80$ kr til $92$ kr, var endringen $\displaystyle \frac{92-80}{80}\cdot 100\% = \frac{12}{80}\cdot 100\% = 15\%$.

Men det finnes en enda smartere måte å regne på, og den heter vekstfaktor. Vekstfaktoren er tallet vi ganger den gamle verdien med for å få den nye. Ved en økning på $p$ prosent er vekstfaktoren $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$, og ved en nedgang er den $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$. En økning på $20\%$ gir vekstfaktor $1{,}20$, en nedgang på $15\%$ gir $0{,}85$.

Hvorfor er dette så praktisk? Fordi vi slipper omveien om å regne ut selve endringen og legge den til. I stedet for $500 + 0{,}20\cdot 500$ skriver vi bare $500\cdot 1{,}20 = 600$. Skal en vare på $800$ kr få $25\%$ rabatt, ganger vi med $0{,}75$ og får $600$ kr. Skal den i stedet opp $8\%$, ganger vi med $1{,}08$ og får $864$ kr.

Gjentatt vekst -- og fellen med prosentpoeng

Nå kommer det virkelig kraftige: hva skjer når noe vokser med samme prosent flere ganger etter hverandre? Da ganger vi rett og slett med vekstfaktoren én gang per periode, og det gir oss en potens: $K_n = K_0\cdot v^n$, der $K_0$ er startverdien, $v$ vekstfaktoren, $n$ antall perioder og $K_n$ sluttverdien. Dette er selve grunnlaget for all renteberegning.

Setter du $10\,000$ kr i banken med $5\%$ årlig rente, er vekstfaktoren $1{,}05$. Etter $3$ år har du $K_3 = 10\,000\cdot 1{,}05^3 = 10\,000\cdot 1{,}157625 = 11\,576{,}25$ kr. Legg merke til at de tre årene ikke bare gir tre ganger $5\%$, men litt mer -- du får rente også på renten. Det er rentes rente i et nøtteskall.

Til slutt en felle det er lett å gå i: forskjellen på prosent og prosentpoeng. Når renten stiger fra $3\%$ til $5\%$, har den steget med $2$ prosentpoeng -- det er bare differansen mellom de to prosenttallene. Men i prosent har den steget med $\displaystyle \frac{5-3}{3}\cdot 100\% \approx 66{,}7\%$, fordi vi måler endringen i forhold til utgangspunktet. Sier noen «renten økte med $2\%$», betyr det at den gikk fra $3\%$ til $3\%\cdot 1{,}02 = 3{,}06\%$ -- noe helt annet enn $2$ prosentpoeng. Å holde disse to fra hverandre kan utgjøre store summer i praksis.

Oppsummering

Prosent betyr «per hundre», så $1\% = 0{,}01$, og $p$ prosent av et tall finner vi som $\displaystyle \frac{p}{100}\cdot G$. En prosentvis endring måler endringen i forhold til den gamle verdien: $\displaystyle \frac{\text{ny}-\text{gammel}}{\text{gammel}}\cdot 100\%$.

Det kraftigste verktøyet er vekstfaktoren $v$: ved økning er den $\displaystyle 1+\frac{p}{100}$, ved nedgang $\displaystyle 1-\frac{p}{100}$, og ny verdi er alltid gammel verdi ganget med $v$. Når noe endres like mye flere ganger, blir det en potens: $K_n = K_0\cdot v^n$ -- selve fundamentet for renteregning, der du tjener rente også på rentene. Pass til slutt på skillet mellom prosentpoeng (differansen mellom to prosenttall) og prosentvis endring (forholdet mellom dem); de to gir vidt forskjellige svar.