1.2 Algebra og bokstavregning

Bokstaver som later som de er tall

Tenk deg at du driver en liten kiosk og selger to varer: $x$ croissanter og $y$ kaffekopper. Du vet ikke ennå hvor mange du selger i dag -- derfor lar du bokstavene stå for tallene. Det er nettopp dette algebra handler om: vi regner med bokstaver som representerer ukjente eller variable tall, og da kan vi sette opp generelle regnestykker som gjelder uansett hvor mange croissanter du faktisk selger.

Den aller første regelen er enkel, men avgjørende: vi kan bare legge sammen eller trekke fra like ledd -- ledd som inneholder de samme bokstavene med de samme eksponentene. $3a + 5a + a$ blir $9a$, fordi alle tre er $a$-ledd. Men $3a + 7a - 5b$ stopper på $10a - 5b$: vi kan ikke slå sammen $a$-er og $b$-er, like lite som vi kan legge sammen croissanter og kaffekopper til ett tall.

Når flere bokstaver står sammen, lønner det seg å sortere dem alfabetisk, for $yx$ er det samme som $xy$. Da ser vi at $2xy + 3yx = 2xy + 3xy = 5xy$. På samme måte må vi være nøye med eksponentene: i $2x^2 - 5x + 3x + 4x^2 + 2$ er $x^2$-leddene og $x$-leddene to forskjellige typer, så vi samler hver for seg og ender på $6x^2 - 2x + 2$.

Å åpne en parentes

Når et tall står utenfor en parentes, må det ganges inn på alt som står inni. Dette er den distributive loven: $a(b+c) = ab + ac$. Slik blir $2(x+4) = 2x + 8$. Det fungerer like godt med flere ledd og med bokstaver utenfor: $x(x^2 - 3y + 2) = x^3 - 3xy + 2x$, der vi brukte potensregelen $x\cdot x^2 = x^3$ underveis.

Fortegnene er den vanligste fellen. Et minustegn foran en parentes oppfører seg som om det stod $-1$ utenfor, og da snur alle fortegnene inni. Se på $3a - (5b - 4a)$: vi tenker $3a - 1\cdot(5b - 4a) = 3a - 5b + 4a = 7a - 5b$. Legg merke til at $-4a$ ble til $+4a$. Og $-3(2x - 2) = -6x + 6$ -- minus ganget med minus gir pluss.

Når bokstavuttrykk står utenfor parentesen, gjelder akkurat samme prinsipp. $a^2 b(a^2 - 2b) = a^4 b - 2a^2 b^2$: vi ganger $a^2 b$ inn på hvert ledd og legger sammen eksponentene for hver bokstav.

Når to parenteser møtes

Nå skrur vi opp vanskelighetsgraden ett hakk: hva gjør vi når to parenteser skal ganges sammen? Da må hvert ledd i den første parentesen ganges med hvert ledd i den andre. Generelt: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ -- fire produkter.

La oss gjøre $(x+2)(x+3)$. Vi tar $x$ ganger begge i den andre parentesen, så $2$ ganger begge: $x\cdot x + x\cdot 3 + 2\cdot x + 2\cdot 3 = x^2 + 3x + 2x + 6$. Til slutt samler vi de like leddene: $x^2 + 5x + 6$. Mønsteret er det samme uansett hva som står inni. $(2x+y)(3x-2y) = 6x^2 - 4xy + 3xy - 2y^2 = 6x^2 - xy - 2y^2$, der vi måtte holde tunga rett i munnen på fortegnene.

Noen ganger står det en faktor foran begge parentesene, som i $-2(x+3)(x-5)$. Da ganger vi gjerne de to parentesene først -- $(x+3)(x-5) = x^2 - 2x - 15$ -- og deretter ganger vi $-2$ inn på alt: $-2x^2 + 4x + 30$. Rekkefølgen kan variere, men resultatet blir det samme så lenge hvert ledd får møte hvert ledd.

Oppsummering

Algebra lar oss regne med bokstaver som står for tall. Den røde tråden er at vi bare kan slå sammen like ledd -- ledd med samme bokstaver og samme eksponenter -- og at det lønner seg å sortere faktorene alfabetisk så like ledd blir lette å kjenne igjen.

Når vi åpner en parentes, ganger vi faktoren utenfor inn på hvert ledd inni, etter den distributive loven $a(b+c)=ab+ac$. Et minustegn foran en parentes snur alle fortegnene, og det er her de fleste feilene oppstår -- vær nøye. Når to parenteser ganges sammen, må hvert ledd møte hvert ledd: $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$, og til slutt samler vi like ledd. Med disse grepene kan du skrive om nesten ethvert algebrauttrykk, noe du får bruk for når vi snart skal faktorisere og løse likninger.