7.2 Figurtall og geometriske mønstre

Tall du kan tegne

For over 2500 år siden satt en gruppe greske matematikere -- tilhengere av Pythagoras -- og ordnet småstein i ulike figurer. De la merke til noe fascinerende: visse tall kunne arrangeres i perfekte trekanter, kvadrater eller femkanter. Disse tallene kalte de figurtall.

Det høres kanskje enkelt ut, men figurtall skjuler overraskende sammenhenger. For eksempel: visste du at summen av de $n$ første oddetallene alltid gir et perfekt kvadrattall? Eller at to påfølgende trekanttall alltid gir et kvadrattall? Denne typen oppdagelser er kjernen i det vi skal utforske.

Trekanttall -- når prikker danner trekanter

Tenk deg at du stabler kuler i en trekantform. Øverst har du 1 kule, neste rad har 2, så 3, og så videre. De totale antallene blir: $1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$

Disse kalles trekanttall, og vi skriver dem som $T_n$. Det $n$-te trekanttallet er summen av tallene fra $1$ til $n$:

$$T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Denne formelen har en fin historie. Den unge Carl Friedrich Gauss fikk en gang i oppdrag å legge sammen tallene fra $1$ til $100$. I stedet for å regne $1 + 2 + 3 + \cdots$, la han merke til at $1 + 100 = 101$, $2 + 99 = 101$, $3 + 98 = 101$, og så videre -- 50 slike par. Svaret var $50 \cdot 101 = 5050$. Og akkurat dette er $\displaystyle T_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$.

Trekanttall dukker opp i hverdagen. Når du stabler bokser i en pyramide, bygger bowlingpinner ($T_4 = 10$ pinner), eller teller antall håndtrykk i en gruppe ($n$ personer gir $T_{n-1}$ håndtrykk), er det trekanttall som ligger bak.

Kvadrattall og en magisk sammenheng

Kvadrattallene er tall som kan ordnes som prikker i et kvadrat: $1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots$ Formelen er enkel: $K_n = n^2$.

Men her kommer noe vakkert. Du kan bygge opp et kvadrattall ved å legge til oddetall:

$$K_1 = 1$$
$$K_2 = 1 + 3 = 4$$
$$K_3 = 1 + 3 + 5 = 9$$
$$K_4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16$$

Altså: summen av de $n$ første oddetallene er alltid $n^2$! Tenk deg det -- legg sammen de 100 første oddetallene ($1 + 3 + 5 + \cdots + 199$), og du får $100^2 = 10\,000$.

Det finnes enda en overraskende sammenheng. Legg sammen to påfølgende trekanttall:

$$T_1 + T_2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$$
$$T_2 + T_3 = 3 + 6 = 9 = 3^2$$
$$T_3 + T_4 = 6 + 10 = 16 = 4^2$$

Mønsteret holder alltid: $T_{n-1} + T_n = n^2$. Du kan bevise dette algebraisk:

$$T_{n-1} + T_n = \frac{(n-1)n}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1+n+1)}{2} = \frac{n \cdot 2n}{2} = n^2$$

Femkanttall og fyrstikkmønstre

Femkanttallene er tall som kan ordnes som prikker i en femkant: $1, 5, 12, 22, 35, \ldots$ Formelen er:

$$P_n = \frac{n(3n - 1)}{2}$$

Differansene mellom leddene er $4, 7, 10, 13, \ldots$ -- de øker med $3$ hver gang. Merk at dette er en «andre-ordens» struktur: differansene av differansene er konstante.

Figurtall handler ikke bare om prikker. Tenk deg at du bygger firkanter av fyrstikker i en rekke. Den første firkanten trenger 4 fyrstikker. Den andre firkanten deler en side med den første og trenger bare 3 nye. Den tredje trenger også 3 nye. Antall fyrstikker for $n$ firkanter er:

$$F_n = 4 + 3(n-1) = 3n + 1$$

Slike fyrstikkmønstre er en fin bro mellom det visuelle (figuren du tegner) og det algebraiske (formelen du finner). Nøkkelen er alltid å se: hva legges til fra en figur til den neste?

Oppsummering

Figurtall er tall som kan representeres som prikker i geometriske figurer.