Tilbake
7.2
Figurtall og geometriske mønstre

7.2 Figurtall og geometriske mønstre

Alle fag for 9. klasse

Finn sammenhenger mellom figurtall og algebraiske uttrykk.

50 min
8 oppgaver
FigurtallGeometriske mønstreVisuell algebra
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver

Figurtall og geometriske mønstre

Noen tallfølger kan vi se for oss som figurer bygget opp av prikker, ruter eller andre former. Slike tall kaller vi figurtall. Ved å studere hvordan figurene vokser, kan vi oppdage mønstre og finne formler som beskriver dem.

Figurtall har blitt studert helt tilbake til antikkens Hellas. Pythagoras og hans tilhengere var spesielt opptatt av tall som kunne ordnes i geometriske figurer.

I dette kapittelet skal du lære om:
- Trekanttall, kvadrattall og femkanttall
- Hvordan du bygger opp figurtall steg for steg
- Sammenhengen mellom figurens form og formelen
- Hvordan du bruker figurer til å finne generelle formler

Trekanttall
Trekanttallene er tall som kan ordnes som prikker i en likesidet trekant:

T1=1,T2=3,T3=6,T4=10,T5=15,…T_1 = 1, \quad T_2 = 3, \quad T_3 = 6, \quad T_4 = 10, \quad T_5 = 15, \quad \ldots

Figur 1: ∙\bullet (1 prikk)
Figur 2: 3 prikker i en trekant
Figur 3: 6 prikker i en trekant
Figur 4: 10 prikker i en trekant

Mønsteret: For hvert steg legger vi til en ny rad nederst. Rad nn har nn prikker.

Tn=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

Eksempler:
- T5=5⋅62=15\displaystyle T_5 = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15
- T10=10⋅112=55\displaystyle T_{10} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55
- T100=100⋅1012=5050\displaystyle T_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050

Kvadrattall
Kvadrattallene er tall som kan ordnes som prikker i et kvadrat:

K1=1,K2=4,K3=9,K4=16,K5=25,…K_1 = 1, \quad K_2 = 4, \quad K_3 = 9, \quad K_4 = 16, \quad K_5 = 25, \quad \ldots

Mønsteret: Figur nn er et n×nn \times n kvadrat.

Kn=n2K_n = n^2

En fin sammenheng: Vi kan bygge opp et kvadrattall ved å legge til oddetall:

K1=1K_1 = 1
K2=1+3=4K_2 = 1 + 3 = 4
K3=1+3+5=9K_3 = 1 + 3 + 5 = 9
K4=1+3+5+7=16K_4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Altså: summen av de nn første oddetallene er n2n^2.

Femkanttall (pentagonale tall)
Femkanttallene er tall som kan ordnes som prikker i en femkant (pentagon):

P1=1,P2=5,P3=12,P4=22,P5=35,…P_1 = 1, \quad P_2 = 5, \quad P_3 = 12, \quad P_4 = 22, \quad P_5 = 35, \quad \ldots

Forskjellene mellom leddene er: 4,7,10,13,…4, 7, 10, 13, \ldots (øker med 33 hver gang).

Formelen for det nn-te femkanttallet er:

Pn=n(3n−1)2P_n = \frac{n(3n - 1)}{2}

Eksempler:
- P3=3(3⋅3−1)2=3⋅82=12\displaystyle P_3 = \frac{3(3 \cdot 3 - 1)}{2} = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12
- P5=5(3⋅5−1)2=5⋅142=35\displaystyle P_5 = \frac{5(3 \cdot 5 - 1)}{2} = \frac{5 \cdot 14}{2} = 35

✏️Eksempel 1: Trekanttall i praksis

Emilie stabler bokser i en pyramideform. Nederste rad har 8 bokser, neste har 7, så 6, og så videre helt opp til 1 boks på toppen.

a) Hvor mange bokser bruker hun totalt?
b) Hvilket trekanttall er dette?

a) Totalt antall bokser:

Vi legger sammen alle radene:

1+2+3+4+5+6+7+8=8⋅92=36\displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = \frac{8 \cdot 9}{2} = 36

Emilie bruker 36 bokser totalt.

b) Hvilket trekanttall:

T8=8⋅92=36\displaystyle T_8 = \frac{8 \cdot 9}{2} = 36

Dette er det 8. trekanttallet.

📝Oppgave F1
Finn feilen! Nora har skrevet:

«Det 6. trekanttallet er T6=6⋅62=18\displaystyle T_6 = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18.»

Finn feilen og skriv riktig utregning.

✏️Eksempel 2: Fra figur til formel

Se på følgende figurer bygget av fyrstikker:

- Figur 1: En enkelt firkant (4 fyrstikker)
- Figur 2: To firkanter ved siden av hverandre (7 fyrstikker)
- Figur 3: Tre firkanter ved siden av hverandre (10 fyrstikker)

a) Tegn figur 4 og tell antall fyrstikker.
b) Finn en formel for antall fyrstikker i figur nn.
c) Hvor mange fyrstikker trengs for figur 20?

a) Figur 4:

Figur 4 har fire firkanter ved siden av hverandre. De deler sider, så vi trenger:

4+3+3+3=134 + 3 + 3 + 3 = 13 fyrstikker

b) Finn formelen:

La oss se på mønsteret:

Figur nnFyrstikker FnF_n
1144
2277
331010
441313

Differansen er 33 for hvert steg. Dette er en aritmetisk følge med a1=4a_1 = 4 og d=3d = 3:
Fn=4+(n−1)⋅3=4+3n−3=3n+1F_n = 4 + (n - 1) \cdot 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1
Forklaring med figuren: Den første firkanten trenger 4 fyrstikker. Hver ny firkant trenger bare 3 nye fyrstikker (fordi den deler en side med den forrige). Altså: 4+3(n−1)=3n+14 + 3(n-1) = 3n + 1.
c) Figur 20:
F20=3⋅20+1=61F_{20} = 3 \cdot 20 + 1 = 61

Vi trenger 61 fyrstikker for figur 20.

✏️Eksempel 3: Sammenheng mellom figurtall

Vis at summen av to påfølgende trekanttall alltid gir et kvadrattall.

Vi bruker formelen for trekanttall: Tn=n(n+1)2\displaystyle T_n = \frac{n(n+1)}{2}

La oss legge sammen TnT_n og Tn−1T_{n-1}:

Tn−1+Tn=(n−1)n2+n(n+1)2T_{n-1} + T_n = \frac{(n-1)n}{2} + \frac{n(n+1)}{2}

Vi setter på felles brøkstrek:

=(n−1)n+n(n+1)2=n[(n−1)+(n+1)]2=n⋅2n2=n2= \frac{(n-1)n + n(n+1)}{2} = \frac{n[(n-1) + (n+1)]}{2} = \frac{n \cdot 2n}{2} = n^2

Altså: Tn−1+Tn=n2=KnT_{n-1} + T_n = n^2 = K_n

Sjekk med tall:
- T1+T2=1+3=4=22T_1 + T_2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \checkmark
- T2+T3=3+6=9=32T_2 + T_3 = 3 + 6 = 9 = 3^2 \checkmark
- T3+T4=6+10=16=42T_3 + T_4 = 6 + 10 = 16 = 4^2 \checkmark

📝Oppgave 1

Regn ut disse trekanttallene:

a) T6T_6
b) T9T_9
c) T15T_{15}

a
T6T_6
b
T9T_9
c
T15T_{15}
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 2

Vis at summen av de 7 første oddetallene er 72=497^2 = 49.

📝Oppgave 3

En figur er bygget opp av prikker slik:

- Figur 1: 1 prikk
- Figur 2: 5 prikker (en i midten + 4 rundt)
- Figur 3: 13 prikker
- Figur 4: 25 prikker

a) Finn mønsteret i differansene.
b) Hvor mange prikker har figur 5?
c) Hvor mange prikker har figur 10?

a

Finn mønsteret i differansene.

b

Hvor mange prikker har figur 5?

c

Hvor mange prikker har figur 10?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 4

Sara bygger trapper med klosser. Trapp 1 har 1 kloss, trapp 2 har 3 klosser (2+1), trapp 3 har 6 klosser (3+2+1), og så videre.

a) Hvor mange klosser har trapp 7?
b) Sara har 55 klosser. Hvor høy trapp kan hun bygge?

a

Hvor mange klosser har trapp 7?

b

Sara har 55 klosser. Hvor høy trapp kan hun bygge?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 5

En figur er bygget med fyrstikker i trekantform:

- Figur 1: 3 fyrstikker (en trekant)
- Figur 2: 9 fyrstikker (fire trekanter)
- Figur 3: 18 fyrstikker

Hvor mange fyrstikker trengs til figur 6?

📝Oppgave 6

Regn ut de fem første femkanttallene ved å bruke formelen Pn=n(3n−1)2\displaystyle P_n = \frac{n(3n-1)}{2}, og kontroller at differansene mellom påfølgende ledd øker med 33 for hvert steg.

📝Oppgave 7

Vis at det 8. kvadrattallet er lik summen av det 7. og 8. trekanttallet. Generaliser dette til en regel.

📝Oppgave D1
Drøftingsoppgave: Summen av de nn første oddetallene er alltid et kvadrattall. Forklar hvorfor dette er sant, gjerne ved å bruke en figur eller et mønster. Ville det samme gjelde for summen av de nn første partallene?

Oppsummering

Figurtall


Figurtall er tall som kan representeres som prikker i en geometrisk figur.

Trekanttall


Tn=n(n+1)2T_n = \frac{n(n+1)}{2}
De første: 1,3,6,10,15,21,…1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots

Kvadrattall


Kn=n2K_n = n^2
De første: 1,4,9,16,25,36,…1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots
Også lik summen av de nn første oddetallene.

Femkanttall


Pn=n(3n−1)2P_n = \frac{n(3n-1)}{2}
De første: 1,5,12,22,35,…1, 5, 12, 22, 35, \ldots

Nyttig sammenheng


To påfølgende trekanttall gir alltid et kvadrattall: Tn−1+Tn=n2T_{n-1} + T_n = n^2.

Tips for å finne formler


1. Skriv opp tallene i en tabell
2. Se på differansene (og differansene av differansene)
3. Konstant differanse betyr lineær formel
4. Lineært økende differanser betyr kvadratisk formel
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.