4.4 Konstruksjoner

De eldgamle verktøyene

For over 2000 år siden stilte greske matematikere seg et spørsmål: hva kan vi tegne med bare en passer (for å lage sirkler) og en linjal uten mål (for å trekke rette linjer)? Svaret viste seg å være overraskende mye -- vi kan halvere vinkler, lage vinkelrette linjer, konstruere regulære mangekanter, og mye mer.

Disse teknikkene er ikke bare historisk interessante. De lærer oss å tenke presist om geometri, og de brukes fortsatt i dag -- blant annet i GeoGebra og andre digitale verktøy. La oss starte med de grunnleggende konstruksjonene.

Midtnormalen til et linjestykke

Den første og kanskje viktigste konstruksjonen er midtnormalen til et linjestykke. Midtnormalen er en linje som:
1. Går gjennom midtpunktet av linjestykket
2. Står vinkelrett ($90°$) på linjestykket

Slik konstruerer du midtnormalen til linjestykket $AB$:

1. Sett passerspissen i $A$. Slå en bue med radius større enn halvparten av $AB$ (buen skal gå over og under linjestykket).
2. Uten å endre radius: sett passerspissen i $B$ og slå en bue som krysser den forrige buen i to punkter, $P$ og $Q$.
3. Trekk en rett linje gjennom $P$ og $Q$. Dette er midtnormalen!

Hvorfor fungerer dette? Begge buene har samme radius. Punkt $P$ og $Q$ ligger like langt fra $A$ som fra $B$. En linje gjennom to slike punkter må gå gjennom midtpunktet og stå vinkelrett på $AB$.

Nyttig egenskap: Alle punkter på midtnormalen ligger like langt fra $A$ og $B$. Midtnormalen er altså «grenselinjen» mellom alt som er nærmere $A$ og alt som er nærmere $B$.

Halveringslinje for en vinkel

Den neste viktige konstruksjonen er halveringslinjen (eller bisektøren) til en vinkel. Den deler vinkelen i to like store deler.

Slik konstruerer du halveringslinjen til vinkel $\angle BAC$:

1. Sett passerspissen i vinkelpunktet $A$. Slå en bue som skjærer begge vinkelbeina i punktene $D$ (på $AB$) og $E$ (på $AC$).
2. Sett passerspissen i $D$ og slå en bue inni vinkelen.
3. Med samme radius: sett passerspissen i $E$ og slå en bue som krysser buen fra steg 2 i et punkt $F$.
4. Trekk en rett linje fra $A$ gjennom $F$. Dette er halveringslinjen!

Linjen $AF$ deler $\angle BAC$ i to like store vinkler: $\angle BAF = \angle FAC$.

Nyttig egenskap: Alle punkter på halveringslinjen ligger like langt fra de to vinkelbeina. Denne egenskapen brukes blant annet til å finne det innskrevne sirkelsenteret i en trekant -- det er skjæringspunktet mellom halveringslinjene til trekantens vinkler.

Konstruere spesielle vinkler

Med passer og linjal kan vi konstruere en rekke spesielle vinkler nøyaktig, uten gradskive:

$60°$ vinkel: Tegn en stråle fra $A$. Slå en sirkel med sentrum i $A$. Merk skjæringspunktet $B$ på strålen. Med samme radius og sentrum i $B$, merk skjæringspunktet $C$ på sirkelen. Da er $\angle BAC = 60°$. (Dette fungerer fordi trekant $ABC$ er likesidet -- alle sider er like lange.)

$90°$ vinkel: Konstruer midtnormalen til et linjestykke -- den danner $90°$ med linjestykket.

$30°$ vinkel: Konstruer $60°$ og halver den.

$45°$ vinkel: Konstruer $90°$ og halver den.

$120°$ vinkel: Konstruer $60°$ og legg til $60°$ til (eller konstruer en likesidet trekant og bruk den ytre vinkelen).

Ved å kombinere disse grunnkonstruksjonene kan vi faktisk lage svært mange vinkler: $\displaystyle 15° = \frac{30°}{2}$, $75° = 45° + 30°$, $150° = 180° - 30°$, og så videre. Noen vinkler, som nøyaktig $20°$, kan derimot ikke konstrueres med bare passer og linjal -- det ble bevist for rundt 200 år siden.

Konstruere trekanter

Trekanter kan konstrueres fra ulike opplysninger. De tre vanligste tilfellene er:

SSS (side-side-side): Alle tre sider er kjent.
1. Tegn den ene siden (f.eks. $AB$).
2. Slå en sirkel med sentrum $A$ og radius lik den andre siden.
3. Slå en sirkel med sentrum $B$ og radius lik den tredje siden.
4. Skjæringspunktet er det tredje hjørnet $C$.

SVS (side-vinkel-side): To sider og vinkelen mellom dem er kjent.
1. Tegn den ene siden.
2. Konstruer vinkelen (med gradskive eller passer-teknikk).
3. Avsett den andre sidens lengde langs vinkelbeinet.
4. Trekk den siste siden.

VSV (vinkel-side-vinkel): To vinkler og siden mellom dem er kjent.
1. Tegn den kjente siden.
2. Konstruer den ene vinkelen i det ene endepunktet.
3. Konstruer den andre vinkelen i det andre endepunktet.
4. Linjene møtes i det tredje hjørnet.

Husk trekantsetningen: tre sidelengder danner bare en trekant hvis summen av de to korteste sidene er større enn den lengste. Ellers «når ikke sidene rundt».

Innskrevne og omskrevne sirkler

Til slutt to elegante konstruksjoner som kombinerer det vi har lært:

Omskrevet sirkel: En sirkel som går gjennom alle tre hjørnene i en trekant. Sentrum finner vi i skjæringspunktet mellom midtnormalene til to av sidene. Radius er avstanden fra sentrum til et av hjørnene.

Innskrevet sirkel: En sirkel som tangerer (berører) alle tre sidene i en trekant. Sentrum finner vi i skjæringspunktet mellom halveringslinjene til to av vinklene. Radius er den vinkelrette avstanden fra sentrum til en av sidene.

Legg merke til den vakre symmetrien: midtnormaler gir den omskrevne sirkelen, og halveringslinjer gir den innskrevne sirkelen. Begge bygger på de grunnleggende konstruksjonene vi allerede kan.

Disse konstruksjonene viser at geometri ikke bare handler om å beregne tall -- det handler om å se sammenhenger og bygge presise figurer med enkle verktøy.

Oppsummering

De grunnleggende konstruksjonene med passer og linjal:

- Omskrevet sirkel: gjennom hjørnene, sentrum i midtnormal-skjæring
- Innskrevet sirkel: tangerer sidene, sentrum i halveringslinje-skjæring
Husk trekantsetningen: summen av de to korteste sidene må være større enn den lengste.