4.2 Formlikhet

Samme form, ulik størrelse

Ta en liten lekebil og en ekte bil. De ser like ut -- samme form, samme proporsjoner -- men den ene er mye større enn den andre. I matematikken sier vi at de er formlike (eller lignende). Alle lengdemål er ganget med det samme tallet, kalt forstørrelsesfaktoren eller skaleringsfaktoren.

Formlikhet finnes overalt: kart er formlike miniatyrer av landskapet, passfoto er formlike utgaver av ansiktet ditt, og arkitekttegninger er formlike versjoner av bygninger. Å forstå formlikhet gir oss et kraftig verktøy for å beregne størrelser vi ikke kan måle direkte.

Hva betyr formlikhet?

To figurer er formlike hvis:
1. Alle tilsvarende vinkler er like store
2. Alle tilsvarende sider har samme forhold (er proporsjonale)

Vi sier at den ene figuren er en forstørring eller forminsking av den andre. Forstørrelsesfaktoren $k$ er forholdet mellom tilsvarende sider:

$$k = \frac{\text{ny lengde}}{\text{opprinnelig lengde}}$$

Hvis $k > 1$, er figuren forstørret. Hvis $0 < k < 1$, er figuren forminsket. Og $k = 1$ betyr at figurene er like store (kongruente).

Eksempel: En trekant har sider $3$, $4$ og $5$ cm. En formlik trekant har lengste side $15$ cm. Da er forstørrelsesfaktoren $\displaystyle k = \frac{15}{5} = 3$, og de to andre sidene er $3 \times 3 = 9$ cm og $4 \times 3 = 12$ cm.

Det viktige poenget er at alle sider ganges med samme faktor $k$. Hvis den ene siden dobles og en annen tredobles, er figurene IKKE formlike.

Formlike trekanter

Trekanter har en spesiell egenskap: det er nok at to vinkler er like for at trekantene skal være formlike. (Fordi vinkelsummen i en trekant alltid er $180°$, følger den tredje vinkelen automatisk.)

Dette gjør det enkelt å gjenkjenne formlike trekanter i praksis. Noen vanlige situasjoner:

Parallelle linjer: Når en linje er parallell med en side i en trekant og skjærer de to andre sidene, dannes en mindre trekant som er formlik med den opprinnelige. Alle vinklene er de samme -- de to linjene «klipper» bare av en miniatyrversjon av trekanten.

Høyden i en rettvinklet trekant: Tegner du høyden fra den rette vinkelen ned til hypotenusen, deles den rettvinklede trekanten i to mindre trekanter som begge er formlike med den opprinnelige. Dette er et klassisk resultat som har mange nyttige konsekvenser.

For å finne ukjente sider i formlike trekanter bruker vi forholdsligning. Hvis trekant $ABC$ er formlik med trekant $DEF$ med forstørrelsesfaktor $k$, gjelder:

$$\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = k$$

Vi kan sette opp kryssprodukter for å finne ukjente sider.

Formlikhet i praksis

Eksempel 1 -- Høyden til et tre: Du vil finne høyden til et tre, men kan ikke klatre opp. I stedet stikker du en pinne ($1{,}5$ m lang) loddrett ned i bakken. Pinnen kaster en skygge på $2$ m. Treets skygge er $12$ m. Fordi solstrålene er parallelle, er trekantene formlike:

$$\frac{\text{treets høyde}}{1{,}5} = \frac{12}{2}$$

$$\text{treets høyde} = 1{,}5 \times \frac{12}{2} = 1{,}5 \times 6 = 9 \text{ m}$$

Eksempel 2 -- Kart og målestokk: En tegning av et hus har målestokk $1 : 50$. På tegningen er en vegg $8$ cm. Den virkelige veggen er $8 \times 50 = 400$ cm $= 4$ m. Målestokk er egentlig bare et annet ord for forstørrelsesfaktoren ved formlikhet.

Eksempel 3 -- Ukjent side: To formlike trekanter har sider som vist nedenfor. Finn $x$.

Trekant 1: $6$, $9$, $12$
Trekant 2: $4$, $x$, $8$

Forstørrelsesfaktoren fra trekant 1 til trekant 2: $\displaystyle k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ (eller sjekk: $\displaystyle \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$).

$$x = 9 \times \frac{2}{3} = 6$$

Areal og volum ved formlikhet

Når vi skalerer en figur med faktor $k$, endres ikke bare lengdene -- arealet og volumet endres også, men på en annen måte:

- Lengder ganges med $k$
- Arealer ganges med $k^2$
- Volumer ganges med $k^3$

Hvis du dobler alle lengdene ($k = 2$):
- Arealene firedobles ($2^2 = 4$)
- Volumene åttedobles ($2^3 = 8$)

Eksempel: Et bilde er $10 \times 15$ cm (areal $= 150$ cm$^2$). Du forstørrer det med faktor $k = 3$ til $30 \times 45$ cm. Det nye arealet er $150 \times 3^2 = 150 \times 9 = 1350$ cm$^2$. Sjekk: $30 \times 45 = 1350$ cm$^2$. Stemmer!

Dette er viktig i praktiske situasjoner. Hvis du lager en modellflyver i målestokk $1 : 20$, bruker du $20^3 = 8000$ ganger mindre materiale (volum) enn det virkelige flyet.

Oppsummering

Formlike figurer har lik form men ulik størrelse. Alle tilsvarende vinkler er like, og alle tilsvarende sider har samme forhold (forstørrelsesfaktor $k$).

For trekanter er det nok at to par tilsvarende vinkler er like.

Ved forstørrelsesfaktor $k$:
- Lengder ganges med $k$
- Arealer ganges med $k^2$
- Volumer ganges med $k^3$

Formlikhet brukes til å beregne ukjente størrelser via forholdsligning, for eksempel høyden til et tre ved hjelp av skygger.