4.1 Pytagoras' setning

En 2500 år gammel oppdagelse

For over 2500 år siden, på den greske øya Samos, levde matematikeren Pytagoras. Han og elevene hans oppdaget noe forbløffende: i enhver rettvinklet trekant er det en fast sammenheng mellom sidelengdene. Kvadratet på den lengste siden er alltid lik summen av kvadratene på de to korteste sidene.

Denne sammenhengen -- Pytagoras' setning -- er kanskje det mest kjente resultatet i hele matematikken. Den brukes av arkitekter, ingeniører, navigatører, spillutviklere og alle som trenger å beregne avstander. Og det fine er at den er overraskende enkel å forstå og bruke.

Rettvinklede trekanter

Før vi dykker inn i setningen, la oss repetere hva en rettvinklet trekant er. Det er en trekant der én av vinklene er nøyaktig $90°$ -- en rett vinkel. Du kjenner igjen en rett vinkel på det lille kvadratsymbolet i hjørnet.

De to sidene som danner den rette vinkelen kalles kateter (flertall av katet). Den lengste siden -- den som ligger overfor den rette vinkelen -- kalles hypotenusen. Hypotenusen er alltid den lengste siden i en rettvinklet trekant.

Her er et bilde du kan ha i hodet: tenk på en rett vinkel som et hjørne i et rom. De to veggene er katetene, og en linje tvers over rommet fra det ene hjørnet til det andre er hypotenusen.

Vi bruker ofte bokstavene $a$ og $b$ for katetene og $c$ for hypotenusen:

- $a$ = den ene kateten (den ene «veggen»)
- $b$ = den andre kateten (den andre «veggen»)
- $c$ = hypotenusen (den lengste siden, overfor den rette vinkelen)

Pytagoras' setning

Nå kommer selve setningen. I en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$ gjelder:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

I ord: summen av katetenes kvadrater er lik hypotenusens kvadrat.

Hvorfor heter det «kvadrater»? Tenk deg at du tegner et kvadrat på hver side av trekanten. Kvadratet på kateten $a$ har areal $a^2$, kvadratet på kateten $b$ har areal $b^2$, og kvadratet på hypotenusen $c$ har areal $c^2$. Pytagoras' setning sier at arealet av de to små kvadratene til sammen er lik arealet av det store kvadratet.

La oss teste med et kjent eksempel -- den berømte 3-4-5-trekanten:

$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \quad \checkmark$$

Det stemmer! Andre pytagoreiske tripler (heltallige sidelengder som oppfyller setningen) er:
- $5, 12, 13$ fordi $25 + 144 = 169$
- $8, 15, 17$ fordi $64 + 225 = 289$
- $7, 24, 25$ fordi $49 + 576 = 625$

Bruke setningen til å finne sider

Pytagoras' setning lar oss finne hvilken som helst side i en rettvinklet trekant når vi kjenner de to andre.

Finne hypotenusen $c$:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Eksempel: Katetene er $5$ og $12$. Da er $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Finne en katet $a$:

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Eksempel: Hypotenusen er $15$ og en katet er $9$. Da er den andre kateten $a = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$.

Pass på: når du finner en katet, trekker du fra ($c^2 - b^2$). Når du finner hypotenusen, legger du sammen ($a^2 + b^2$). Mange elever blander dette -- men husk at hypotenusen alltid er den lengste siden, så du kan ikke trekke fra og få noe større!

Ikke alle svar blir pene hele tall. $a = 3$, $b = 5$ gir $c = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$. Det er helt greit -- vi lar svaret stå som $\sqrt{34}$ (eksakt) eller runder av til én desimal.

Pytagoras i praksis

Pytagoras' setning er overraskende nyttig i hverdagen. Her er noen typiske bruksområder:

Stiger mot veggen: En stige på $5$ m lenes mot en vegg. Foten av stigen står $3$ m fra veggen. Hvor høyt når stigen? Her er stigen hypotenusen ($c = 5$) og avstanden til veggen er en katet ($b = 3$). Høyden er:

$$a = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ m}$$

Diagonalen i et rektangel: Et fotballbane er $100$ m lang og $70$ m bred. Hva er diagonalen? Diagonalen deler rektangelet i to rettvinklede trekanter der sidene er katetene:

$$d = \sqrt{100^2 + 70^2} = \sqrt{10000 + 4900} = \sqrt{14900} \approx 122{,}1 \text{ m}$$

Avstand mellom to punkter: Punktene $(1, 2)$ og $(4, 6)$ i et koordinatsystem. Avstanden bortover er $4 - 1 = 3$ og avstanden oppover er $6 - 2 = 4$. Disse danner katetene i en rettvinklet trekant, og den rette avstanden er:

$$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Denne avstandsformelen bygger direkte på Pytagoras' setning og er en av de mest brukte formlene i all matematikk.

Den omvendte setningen

Pytagoras' setning har en nyttig omvendt versjon: Hvis $a^2 + b^2 = c^2$ for sidelengdene i en trekant, da ER trekanten rettvinklet, med den rette vinkelen overfor den lengste siden $c$.

Dette er nyttig for å sjekke om en trekant er rettvinklet. En trekant har sider $7$, $24$ og $25$. Er den rettvinklet?

$$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 \quad \checkmark$$

Ja! Trekanten er rettvinklet.

Hva med en trekant med sider $4$, $5$ og $7$?

$$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \neq 49 = 7^2$$

Nei, den er ikke rettvinklet.

Vi kan også avgjøre om trekanten er spiss eller stump:
- Hvis $a^2 + b^2 > c^2$: trekanten er spissinklet (alle vinkler under $90°$)
- Hvis $a^2 + b^2 < c^2$: trekanten er stumpinklet (én vinkel over $90°$)
- Hvis $a^2 + b^2 = c^2$: trekanten er rettvinklet (én vinkel er nøyaktig $90°$)

For trekanten $4, 5, 7$: $41 < 49$, så den er stumpinklet.

Oppsummering

Pytagoras' setning: I en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$ gjelder:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

- Finne hypotenusen: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Finne en katet: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
- Avstand mellom punkter: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Omvendt setning: Hvis $a^2 + b^2 = c^2$, er trekanten rettvinklet. Hvis $a^2 + b^2 > c^2$, er den spissinklet. Hvis $a^2 + b^2 < c^2$, er den stumpinklet.