3.1 Lineære funksjoner

Den rette linjen i hverdagen

Tenk deg at du har et mobilabonnement som koster 99 kr i måneden pluss 1 krone per minutt du ringer. Hvor mye betaler du i alt? Det kommer an på hvor mange minutter du ringer, selvfølgelig. Men det fine er at sammenhengen er enkel og forutsigbar: for hvert minutt du ringer, øker prisen med nøyaktig 1 krone. Ingen overraskelser, ingen brå hopp -- bare en jevn, rett linje oppover.

Denne typen sammenheng kalles en lineær funksjon, og den er kanskje den viktigste funksjonstypen i hele matematikken. Lineær betyr «som en linje», og det er akkurat det vi ser når vi tegner grafen: en perfekt rett linje.

I dette kapittelet skal vi utforske hva en lineær funksjon egentlig er, hvordan vi kjenner den igjen, og hvorfor den dukker opp overalt -- fra lomma di til naturfag og økonomi.

Hva er en funksjon?

Før vi dykker inn i lineære funksjoner, må vi forstå hva en funksjon er. En funksjon er en regel som tar inn et tall og gir ut nøyaktig ett tall tilbake. Vi kaller gjerne innverdien for $x$ og utverdien for $y$ (eller $f(x)$).

Tenk på en brusautomat: du putter inn en mynt (innverdi), og ut kommer en bestemt brus (utverdi). For hver mynt du putter inn, får du alltid den samme brusen. Det er slik en funksjon fungerer -- for hver $x$-verdi finnes det nøyaktig én $y$-verdi.

Vi skriver en funksjon slik:

$$f(x) = \text{en formel med } x$$

For eksempel betyr $f(x) = 2x + 3$ at vi tar $x$, dobler den, og legger til $3$. Putter vi inn $x = 4$, får vi:

$$f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$$

En funksjon kan fremstilles på fire måter:
- Formel: $f(x) = 2x + 3$
- Tabell: en verditabell med $x$- og $y$-verdier
- Graf: en kurve i et koordinatsystem
- Tekst: «funksjonen dobler tallet og legger til 3»

Alle fire måtene beskriver den samme sammenhengen -- bare fra ulike vinkler.

Lineære funksjoner -- den rette linjen

En lineær funksjon er en funksjon der grafen alltid er en rett linje. Den har formen:

$$f(x) = ax + b$$

Her er $a$ og $b$ konstanter (faste tall). Bokstaven $a$ kalles stigningstallet og bestemmer hvor bratt linjen er. Bokstaven $b$ kalles konstantleddet og forteller hvor linjen krysser $y$-aksen.

La oss gå tilbake til mobilabonnementet vårt. Hvis du betaler 99 kr fast pluss 1 kr per minutt, kan vi skrive kostnaden som:

$$K(x) = 1 \cdot x + 99 = x + 99$$

Her er $x$ antall minutter, $a = 1$ (prisen øker med 1 kr per minutt), og $b = 99$ (fastprisen). Ringer du 0 minutter, betaler du $K(0) = 99$ kr. Ringer du 60 minutter, betaler du $K(60) = 60 + 99 = 159$ kr.

Kjennetegn på en lineær funksjon:
- Grafen er en rett linje
- $y$-verdien endrer seg like mye for hver gang $x$ øker med 1
- Formelen inneholder $x$ bare i første potens (ikke $x^2$, $x^3$ osv.)

Funksjoner som $g(x) = x^2$ eller $\displaystyle h(x) = \frac{1}{x}$ er IKKE lineære -- grafene deres er buede kurver.

Verditabeller og grafer

For å tegne grafen til en lineær funksjon, lager vi gjerne en verditabell først. La oss ta funksjonen $f(x) = 2x - 1$ og velge noen $x$-verdier:

Et praktisk tips: for å tegne en rett linje trenger du egentlig bare to punkter. Men det er lurt å velge tre -- det tredje punktet fungerer som en kontroll. Hvis det tredje punktet ikke ligger på linjen, har du gjort en regnefeil et sted.

Husk at vi bruker $x$-aksen (vannrett) for innverdien og $y$-aksen (loddrett) for utverdien. Punktet der linjen krysser $y$-aksen, kalles skjæringspunktet med $y$-aksen -- og det har koordinatene $(0, b)$.

Proporsjonale funksjoner -- et spesialtilfelle

Det finnes en spesiell type lineære funksjoner der $b = 0$. Da blir formelen bare:

$$f(x) = ax$$

Disse kalles proporsjonale funksjoner (eller rette proporsjonaliteter). Grafen er en rett linje som går gjennom origo $(0, 0)$, altså der $x$-aksen og $y$-aksen krysser hverandre.

Tenk på en butikk der epler koster 30 kr per kilo. Prisen $P$ avhenger av antall kilo $x$:

$$P(x) = 30x$$

Kjøper du 0 kg, betaler du 0 kr. Kjøper du 2 kg, betaler du 60 kr. Kjøper du 5 kg, betaler du 150 kr. Sammenhengen er proporsjonal: dobler du antall kilo, dobles prisen. Grafen går rett gjennom origo fordi det ikke er noen fastpris.

Sammenlign dette med mobilabonnementet ($K(x) = x + 99$): der krysser linjen $y$-aksen i $99$, ikke i $0$. Det er forskjellen mellom en lineær funksjon med og uten konstantledd.

Oppsummert:
- $f(x) = ax$ er proporsjonal (linje gjennom origo)
- $f(x) = ax + b$ er lineær (linje som krysser $y$-aksen i $b$)
- Alle proporsjonale funksjoner er lineære, men ikke alle lineære funksjoner er proporsjonale.

Oppsummering

En funksjon er en regel som gir nøyaktig én utverdi ($y$) for hver innverdi ($x$). En lineær funksjon har formen $f(x) = ax + b$ og gir en rett linje som graf.

- $a$ er stigningstallet -- hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1
- $b$ er konstantleddet -- der linjen krysser $y$-aksen
- Hvis $b = 0$, er funksjonen proporsjonal og linjen går gjennom origo

Lineære funksjoner kan beskrives med formel, tabell, graf eller tekst. For å tegne en rett linje trenger du minst to punkter, men bruk gjerne tre som kontroll.