2.4 Ulikheter

Mer enn bare «lik»

I matematikk handler ikke alt om at to ting er like. Ofte vil vi uttrykke at noe er større enn, mindre enn, eller at det finnes en hel rekke med mulige verdier. Det er her ulikheter kommer inn.

Tenk på en berg-og-dal-bane som krever at du er minst $120$ cm høy. Da er kravet: $h \geq 120$. Eller en butikk som har tilbud bare hvis du handler for mer enn $500$ kr: $\text{beløp} > 500$.

I en likning er svaret vanligvis ett bestemt tall. I en ulikhet er svaret et helt intervall av tall -- mange verdier som alle oppfyller kravet.

Symbolene og hva de betyr

Det finnes fire ulikhetssymboler:

- $x \leq 5$: skrives $(-\infty, 5]$ -- hakeparentes betyr at $5$ er inkludert

- $2 < x \leq 7$: skrives $(2, 7]$

Løsning av lineære ulikheter

Å løse en ulikhet er nesten det samme som å løse en likning. Du kan:
- Legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sider
- Gange eller dele begge sider med et positivt tall

MEN -- og dette er den store forskjellen -- når du ganger eller deler med et negativt tall, må du snu ulikhetstegnet!

Hvorfor? Tenk på tallinja. Vi vet at $2 < 5$. Ganger vi begge sider med $-1$, får vi $-2$ og $-5$. Men $-2 > -5$! Multiplikasjon med negativt tall speiler tallene, og rekkefølgen snur.

Eksempel 1: $3x + 7 < 22$

$$3x < 22 - 7$$
$$3x < 15$$
$$x < 5$$

Vi deler med positivt tall ($3$), så tegnet beholdes. Løsningen er alle tall mindre enn $5$.

Eksempel 2: $-2x + 4 \geq 10$

$$-2x \geq 10 - 4$$
$$-2x \geq 6$$

Nå deler vi med $-2$ (negativt!), og snur tegnet:
$$x \leq -3$$

Løsningen er alle tall som er $-3$ eller mindre.

Eksempel 3: $5 - 3x > 2x + 20$

Samle $x$-leddene:
$$5 - 3x - 2x > 20$$
$$5 - 5x > 20$$
$$-5x > 15$$

Del med $-5$ og snu tegnet:
$$x < -3$$

Doble ulikheter og sammensatte ulikheter

Noen ganger har vi en dobbel ulikhet som $-3 < 2x + 1 \leq 9$. Den sier at $2x + 1$ er mellom $-3$ og $9$. Vi løser den ved å gjøre det samme med alle tre delene:

$$-3 < 2x + 1 \leq 9$$

Trekk fra $1$ overalt:

$$-4 < 2x \leq 8$$

Del på $2$ overalt (positivt tall, så tegnet beholdes):

$$-2 < x \leq 4$$

Løsningen er at $x$ er strengt større enn $-2$ og mindre enn eller lik $4$. I intervallnotasjon: $(-2, 4]$.

Praktiske eksempler på ulikheter:

Budsjett: Du har $500$ kr og kjøper en bok til $150$ kr. Resten skal brukes på matpakker til $35$ kr stykket. Hvor mange matpakker har du råd til?
$$150 + 35n \leq 500$$
$$35n \leq 350$$
$$n \leq 10$$
Du har råd til høyst $10$ matpakker.

Karakterkrav: For å få karakter $5$ trenger du minst $72$ poeng på prøven. Du har fått $18$, $16$ og $20$ poeng på de tre første delene. Hvor mange poeng trenger du på siste del?
$$18 + 16 + 20 + x \geq 72$$
$$54 + x \geq 72$$
$$x \geq 18$$
Du trenger minst $18$ poeng på siste del.

Vanlige feil å unngå

Her er de vanligste feilene elever gjør med ulikheter:

Feil 1: Glemmer å snu tegnet ved negativt tall

$-4x > 12$ betyr ikke $x > -3$!

Riktig: $x < -3$ (vi deler med $-4$ og snur).

Feil 2: Snur tegnet ved addisjon/subtraksjon

$x - 5 > 3$ betyr $x > 8$, ikke $x < 8$. Du snur bare tegnet ved multiplikasjon/divisjon med negativt tall.

Feil 3: Behandler $\leq$ og $<$ likt

Forskjellen er viktig! $x \leq 5$ inkluderer $5$, mens $x < 5$ gjør det ikke.

Feil 4: Glemmer å sjekke ved praktiske oppgaver

Hvis svaret er $n \leq 5{,}3$ og $n$ må være et helt tall, er svaret $n \leq 5$ (ikke $n \leq 6$!).

Huskeregel for tegnsnu:
Tenk på det som et speil. Når du ganger med et negativt tall, speiler du tallinja. Alt som var til høyre havner til venstre, og omvendt. Derfor snur ulikhetstegnet.

Oppsummering

Ulikheter uttrykker at noe er større eller mindre enn noe annet, og har gjerne mange løsninger.

Løsningsregler:

Praktiske oppgaver: Sett opp ulikheten, løs den, og sjekk om svaret gir mening i konteksten (f.eks. hele tall, positive verdier).