2.3 Likninger med brøk

Når brøker invaderer likningene

Du vet allerede hvordan du løser en likning som $2x + 3 = 11$. Men hva skjer når det dukker opp brøker?

$$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$$

Mange elever gruer seg til slike oppgaver. Men det finnes et elegant triks: gang hele likningen med fellesnevneren. Da forsvinner alle brøkene, og du står igjen med en vanlig likning som du allerede kan løse!

Tenk på det som å «rydde vekk» brøkene -- som å tørke bort støv fra et speil, slik at du ser det klare bildet under.

Grunnprinsippet: gang med fellesnevner

Steg 1: Finn fellesnevneren til alle brøkene i likningen.
Steg 2: Gang alle ledd på begge sider med fellesnevneren.
Steg 3: Forenkle -- brøkene forsvinner!
Steg 4: Løs den vanlige likningen.

Eksempel 1: $\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$

Fellesnevner av $3$ og $4$ er $12$. Gang alle ledd med $12$:

$$12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{x}{4} = 12 \cdot 7$$

$$4x + 3x = 84$$

$$7x = 84$$

$$x = 12$$

Sjekk: $\displaystyle \frac{12}{3} + \frac{12}{4} = 4 + 3 = 7$ ✓

Eksempel 2: $\displaystyle \frac{2x - 1}{5} = \frac{x + 3}{2}$

Fellesnevner av $5$ og $2$ er $10$. Gang med $10$:

$$10 \cdot \frac{2x - 1}{5} = 10 \cdot \frac{x + 3}{2}$$

$$2(2x - 1) = 5(x + 3)$$

$$4x - 2 = 5x + 15$$

$$4x - 5x = 15 + 2$$

$$-x = 17$$

$$x = -17$$

Sjekk: $\displaystyle \frac{2(-17) - 1}{5} = \frac{-35}{5} = -7$ og $\displaystyle \frac{-17 + 3}{2} = \frac{-14}{2} = -7$ ✓

Likninger med $x$ i nevneren

Noen likninger har den ukjente $x$ i nevneren:

$$\frac{6}{x} = 2$$

Her ganger vi begge sider med $x$ (og krysser fingrene for at $x \neq 0$):

$$6 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Men det kan bli mer komplisert:

Eksempel: $\displaystyle \frac{3}{x} + \frac{1}{2} = \frac{5}{x}$

Fellesnevner av $x$ og $2$ er $2x$. Gang alle ledd med $2x$:

$$2x \cdot \frac{3}{x} + 2x \cdot \frac{1}{2} = 2x \cdot \frac{5}{x}$$

$$6 + x = 10$$

$$x = 4$$

Sjekk: $\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$ og $\displaystyle \frac{5}{4}$ ✓

Viktig regel: Når $x$ står i nevneren, må vi sjekke at svaret ikke gir null i nevneren. Hvis vi får $x = 0$ som svar (eller en annen verdi som gir null i en av nevnerne), er dette en falsk løsning som vi må forkaste.

Eksempel på falsk løsning: $\displaystyle \frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} + 1$

Fellesnevner $x - 2$. Gang med $(x - 2)$:

$$x = 2 + (x - 2) = x$$

Vi ender med $x = x$, som er sant for alle $x$. Men vent -- $x = 2$ gir null i nevneren! Altså har likningen ingen løsning.

Mer avanserte brøklikninger

La oss se på noen litt mer utfordrende eksempler.

Eksempel 1: Flere brøkledd

$$\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} = 2$$

Fellesnevner er $12$. Gang alle ledd:

$$4(x + 1) - 3(x - 2) = 24$$

$$4x + 4 - 3x + 6 = 24$$

$$x + 10 = 24$$

$$x = 14$$

Eksempel 2: Brøk på begge sider

$$\frac{2x + 1}{6} = \frac{3x - 5}{4}$$

Fellesnevner er $12$:

$$2(2x + 1) = 3(3x - 5)$$

$$4x + 2 = 9x - 15$$

$$-5x = -17$$

$$x = \frac{17}{5} = 3{,}4$$

Eksempel 3: Brøk med algebraisk nevner

$$\frac{5}{x - 1} + 3 = \frac{2x}{x - 1}$$

Fellesnevner er $(x - 1)$. Gang med $(x - 1)$:

$$5 + 3(x - 1) = 2x$$

$$5 + 3x - 3 = 2x$$

$$3x + 2 = 2x$$

$$x = -2$$

Sjekk: $x - 1 = -3 \neq 0$ ✓. Og: $\displaystyle \frac{5}{-3} + 3 = -\frac{5}{3} + \frac{9}{3} = \frac{4}{3}$ og $\displaystyle \frac{2(-2)}{-3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$ ✓

Oppsummering

Likninger med brøk løses ved å gange med fellesnevneren: