1.3 Prosent og prosentvis endring

Hundredeler overalt

«Alt på 30 % salg!» «Renta er 3,5 %.» «Andelen som sykler til skolen økte med 15 prosentpoeng.» Prosent er overalt i hverdagen -- i aviser, butikker, bankrenter og statistikk. Men hva betyr det egentlig?

Ordet prosent kommer fra latin «per centum», som betyr «per hundre». Når vi sier $25\,\%$, mener vi $25$ av $100$, altså $\displaystyle \frac{25}{100} = 0{,}25$. Prosent er en praktisk måte å sammenligne deler av ulike helheter på, fordi alt regnes ut av $100$.

I dette kapittelet skal vi se på hvordan vi regner med prosent, hva vekstfaktor er, og hvordan vi håndterer prosentvis endring i den virkelige verden.

Prosent, brøk og desimaltall

Det er nyttig å kunne veksle mellom prosent, brøk og desimaltall:

$$25\,\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Fra prosent til desimaltall: Del på $100$ (flytt kommaet to plasser til venstre).
- $75\,\% = 0{,}75$
- $8\,\% = 0{,}08$
- $150\,\% = 1{,}5$

Fra desimaltall til prosent: Gang med $100$ (flytt kommaet to plasser til høyre).
- $0{,}3 = 30\,\%$
- $1{,}25 = 125\,\%$

Noen vanlige prosenter bør du kunne utenat:

Vekstfaktor -- den smarte metoden

Tenk deg at en jakke koster $800$ kr og har $25\,\%$ rabatt. Du kan regne det slik:
1. Finn rabatten: $0{,}25 \times 800 = 200$ kr
2. Trekk fra: $800 - 200 = 600$ kr

Men det finnes en smartere metode med vekstfaktor. Hvis du får $25\,\%$ rabatt, betaler du $100\,\% - 25\,\% = 75\,\%$ av prisen. Vekstfaktoren er $0{,}75$:

$$800 \times 0{,}75 = 600 \text{ kr}$$

En vekstfaktor er desimaltallet som tilsvarer den nye prosenten:
- Økning med $20\,\%$: Vekstfaktor $= 1 + 0{,}20 = 1{,}20$
- Reduksjon med $15\,\%$: Vekstfaktor $= 1 - 0{,}15 = 0{,}85$
- Økning med $5\,\%$: Vekstfaktor $= 1{,}05$
- Uendret ($0\,\%$): Vekstfaktor $= 1{,}00$

Generelt:
$$\text{Vekstfaktor} = 1 + \frac{\text{prosentendring}}{100}$$

Fordelen med vekstfaktor viser seg spesielt ved gjentatte endringer. Hvis en investering øker med $10\,\%$ hvert år i $3$ år:

$$\text{Ny verdi} = \text{startverdi} \times 1{,}10^3$$

La oss si du setter inn $10\,000$ kr i banken med $10\,\%$ rente per år:
- Etter $1$ år: $10\,000 \times 1{,}10 = 11\,000$ kr
- Etter $2$ år: $11\,000 \times 1{,}10 = 12\,100$ kr
- Etter $3$ år: $12\,100 \times 1{,}10 = 13\,310$ kr

Eller direkte: $10\,000 \times 1{,}10^3 = 13\,310$ kr. Merk at du tjener $3\,310$ kr, ikke bare $3\,000$ -- fordi du også tjener rente på rentene! Dette kalles rentes rente.

Prosentvis endring

Ofte vil vi beregne hvor mange prosent noe har endret seg. Formelen er:

$$\text{Prosentvis endring} = \frac{\text{ny verdi} - \text{gammel verdi}}{\text{gammel verdi}} \times 100\,\%$$

Eller med vekstfaktor: finn vekstfaktoren $\displaystyle \frac{\text{ny verdi}}{\text{gammel verdi}}$ og regn om til prosentendring.

Eksempel: En sykkel gikk opp fra $4\,500$ kr til $5\,400$ kr. Prosentvis økning:
$$\frac{5\,400 - 4\,500}{4\,500} \times 100\,\% = \frac{900}{4\,500} \times 100\,\% = 20\,\%$$

Alternativt: vekstfaktor $\displaystyle = \frac{5\,400}{4\,500} = 1{,}20$, som betyr $20\,\%$ økning.

Viktig felle -- prosentpoeng vs. prosent: Hvis arbeidsledigheten øker fra $4\,\%$ til $6\,\%$, har den økt med $2$ prosentpoeng. Men den prosentvise økningen er:
$$\frac{6 - 4}{4} \times 100\,\% = 50\,\%$$

Ledigheten har altså økt med $50\,\%$ (prosentvis) eller $2$ prosentpoeng. Det er stor forskjell!

Å finne opprinnelig verdi: Hvis du vet at noe kostet $720$ kr etter $20\,\%$ rabatt, finner du den opprinnelige prisen ved å dele på vekstfaktoren:
$$\text{Opprinnelig pris} = \frac{720}{0{,}80} = 900 \text{ kr}$$

Oppsummering

Prosent betyr «per hundre»: $\displaystyle p\,\% = \frac{p}{100}$.

Vekstfaktor: $\displaystyle 1 + \frac{\text{prosentendring}}{100}$. Økning gir faktor $> 1$, reduksjon gir faktor $< 1$.

Prosentvis endring: $\displaystyle \frac{\text{ny} - \text{gammel}}{\text{gammel}} \times 100\,\%$.

Rentes rente: Gjentatt vekst med faktor $v$ over $n$ perioder: $\text{sluttverdi} = \text{startverdi} \times v^n$.

Finne opprinnelig verdi: Del på vekstfaktoren: $\displaystyle \text{opprinnelig} = \frac{\text{ny verdi}}{\text{vekstfaktor}}$.

Husk forskjellen mellom prosentpoeng (absolutt endring i prosent) og prosentvis endring (relativ endring).