1.2 Brøkregning

Å dele rettferdig

Tenk deg at du og to venner skal dele en pizza. Dere kutter den i tre like store stykker, og hver person får $\displaystyle \frac{1}{3}$. Gratulerer -- du har nettopp brukt en brøk! En brøk er rett og slett en måte å beskrive en del av en helhet.

I matematikken skriver vi brøken $\displaystyle \frac{a}{b}$, der $a$ er telleren (antall deler vi har) og $b$ er nevneren (antall deler helheten er delt i). Nevneren kan aldri være $0$ -- det gir ingen mening å dele noe i null deler.

Kanskje du tenker: «Jeg har desimaltall, trenger jeg virkelig brøk?» Svaret er ja! Noen tall, som $\displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$, kan ikke skrives eksakt som desimaltall. Brøk gir oss nøyaktighet. Dessuten er brøk uunnværlig i algebra, der vi ofte jobber med ukjente verdier.

Forkorting og utviding

To brøker som ser forskjellige ut, kan likevel ha samme verdi. For eksempel er $\displaystyle \frac{2}{4}$ og $\displaystyle \frac{1}{2}$ det samme -- halvparten. For å se dette forkorter vi $\displaystyle \frac{2}{4}$ ved å dele teller og nevner på samme tall:

$$\frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}$$

En brøk er fullt forkortet når teller og nevner ikke har noen felles faktor bortsett fra $1$. For å forkorte mest mulig effektivt deler du på største felles faktor (SFF):

$$\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$$

Utviding er det motsatte: vi ganger teller og nevner med samme tall. Verdien endres ikke, men nevneren endres -- noe som er nyttig når vi skal addere brøker:

$$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{12}{20}$$

Tenk på det slik: om du kutter en pizza i $8$ stykker i stedet for $4$, og tar dobbelt så mange stykker, har du fortsatt like mye pizza.

Addisjon og subtraksjon av brøker

For å legge sammen to brøker trenger de felles nevner (lik nevner). Da legger vi bare sammen tellerne:

$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$$

Men hva hvis nevnerne er ulike? Da må vi utvide en eller begge brøkene til de får felles nevner. Den mest effektive fellesnevneren er minste felles multiplum (MFF) av nevnerne.

Eksempel: $\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{3}{4}$

MFF av $3$ og $4$ er $12$. Vi utvider:
$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}$$

Nå legger vi sammen:
$$\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$$

Subtraksjon fungerer på akkurat samme måte, bare med minus:
$$\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

Blandet tall (som $\displaystyle 2\frac{3}{4}$) gjøres om til uekte brøk før regning: $\displaystyle 2\frac{3}{4} = \frac{2 \times 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$.

Multiplikasjon og divisjon av brøker

Multiplikasjon av brøker er overraskende enkelt -- du trenger ingen fellesnevner! Bare gang teller med teller og nevner med nevner:

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

Eksempel: $\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$

Et smart triks er å forkorte på tvers før du ganger. I $\displaystyle \frac{3}{8} \times \frac{4}{9}$ kan vi forkorte $3$ og $9$ med $3$, og $8$ og $4$ med $4$:

$$\frac{3}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{8}_{2}} \times \frac{\cancel{4}^{1}}{\cancel{9}_{3}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Divisjon av brøker gjøres ved å «gange med den omvendte»:

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

Altså: snu den andre brøken opp ned og gang i stedet. Hvorfor? Tenk på det slik: «Hvor mange halvparter er det i $3$?» er det samme som $\displaystyle 3 \div \frac{1}{2} = 3 \times \frac{2}{1} = 6$. Og det stemmer -- det er $6$ halvdeler i $3$ hele.

Eksempel: $\displaystyle \frac{5}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Oppsummering

Brøk: $\displaystyle \frac{a}{b}$ der $a$ er teller og $b$ er nevner ($b \neq 0$).

Forkorting og utviding: Gang eller del teller og nevner med samme tall.