7.3 Sammensatte enheter (km/t, kg/m³, kr/kg)

Enheter som er delt på hverandre

Noen størrelser kan ikke beskrives med bare én enhet. Fart er ikke bare «meter» eller bare «sekund» -- den er meter per sekund. Fart er et eksempel på en sammensatt enhet: en enhet bygd opp av to (eller flere) andre enheter.

Vi møter sammensatte enheter overalt i hverdagen:
- Fart: km/t (kilometer per time), m/s (meter per sekund)
- Tetthet: kg/m$^3$ (kilogram per kubikkmeter), g/cm$^3$ (gram per kubikkcentimeter)
- Pris per enhet: kr/kg (kroner per kilo), kr/L (kroner per liter)
- Forbruk: L/mil (liter per mil), kWh (kilowattimer)

Det lille ordet «per» er nøkkelen -- det betyr «delt på». Km/t betyr kilometer delt på timer. Å forstå dette åpner for å gjøre om mellom enhetene og løse praktiske problemer.

Fart -- kilometer per time og meter per sekund

Fart $=$ strekning $\div$ tid, med formel:

$$v = \frac{s}{t}$$

der $v$ er farten, $s$ er strekningen og $t$ er tiden. Herfra kan vi også utlede:

$$s = v \cdot t \qquad \text{og} \qquad t = \frac{s}{v}$$

De to vanligste fartsenhetene er km/t og m/s. Hvordan gjør vi om mellom dem?

$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ og $1 \text{ t} = 3600 \text{ s}$, så:

$$1 \text{ km/t} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{1}{3{,}6} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$

Og omvendt: $1 \text{ m/s} = 3{,}6 \text{ km/t}$.

Huskeregel:
- Fra km/t til m/s: del med $3{,}6$
- Fra m/s til km/t: gang med $3{,}6$

Noen eksempler:
- Gåfart: $\displaystyle 5 \text{ km/t} = \frac{5}{3{,}6} \approx 1{,}4 \text{ m/s}$
- Sykkelfart: $\displaystyle 20 \text{ km/t} = \frac{20}{3{,}6} \approx 5{,}6 \text{ m/s}$
- Fartsgrense i boligfelt: $\displaystyle 30 \text{ km/t} = \frac{30}{3{,}6} \approx 8{,}3 \text{ m/s}$
- Usain Bolt: ca. $10{,}4 \text{ m/s} = 10{,}4 \cdot 3{,}6 \approx 37{,}4 \text{ km/t}$

Tetthet -- masse per volum

Tetthet forteller oss hvor «tungt» et stoff er for sin størrelse. Formelen er:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

der $\rho$ (den greske bokstaven «rho») er tettheten, $m$ er massen og $V$ er volumet. Herfra kan vi utlede:

$$m = \rho \cdot V \qquad \text{og} \qquad V = \frac{m}{\rho}$$

Vanlige tetthetsenheter:
- kg/m$^3$: brukes for store volumer (byggematerialer, gasser)
- g/cm$^3$: brukes for småskala-beregninger (laboratorie, kjemi)

Sammenhengen: $1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3$.

Noen vanlige tettheter:
- Vann: $1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3$
- Jern: $7{,}87 \text{ g/cm}^3 = 7870 \text{ kg/m}^3$
- Tre (furu): $0{,}5 \text{ g/cm}^3 = 500 \text{ kg/m}^3$
- Luft: ca. $1{,}2 \text{ kg/m}^3$
- Gull: $19{,}3 \text{ g/cm}^3 = 19\,300 \text{ kg/m}^3$

En kule av gull med radius $5$ cm har volum $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \approx 524 \text{ cm}^3$. Massen er $m = 19{,}3 \cdot 524 \approx 10\,113 \text{ g} \approx 10{,}1 \text{ kg}$. En liten gullkule veier over $10$ kilo!

Gjenstander som er lettere enn vann (tetthet under $1 \text{ g/cm}^3$) flyter. Tre flyter fordi $0{,}5 < 1$. Jern synker fordi $7{,}87 > 1$.

Pris per enhet -- smart shopping

Den tredje viktige sammensatte enheten er pris per enhet: kr/kg, kr/L, kr/stk. Denne enheten hjelper oss å sammenligne priser:

Eksempel: Hvilken yoghurt er billigst?
- Yoghurt A: $500$ g for $35$ kr. Pris per kg: $\displaystyle \frac{35}{0{,}5} = 70 \text{ kr/kg}$.
- Yoghurt B: $750$ g for $48$ kr. Pris per kg: $\displaystyle \frac{48}{0{,}75} = 64 \text{ kr/kg}$.

Yoghurt B er billigst per kilo, selv om den koster mer i butikken.

Eksempel: Bensinforbruk
En bil bruker $0{,}7$ L/mil. Bensinen koster $20$ kr/L. Hva koster det å kjøre $35$ mil?

Forbruk: $0{,}7 \cdot 35 = 24{,}5$ L. Kostnad: $24{,}5 \cdot 20 = 490$ kr.

Eksempel: Strømforbruk
En varmeovn bruker $1{,}5 \text{ kW}$ (kilowatt). Den står på i $8$ timer. Forbruket er $1{,}5 \cdot 8 = 12 \text{ kWh}$ (kilowattimer). Strømmen koster $2$ kr/kWh, så kostnaden er $12 \cdot 2 = 24$ kr.

Legg merke til at vi kan kjede sammen enheter. Når vi ganger kr/L med L, forkortes L bort og vi sitter igjen med kr. Denne metoden kalles enhetsanalyse og er veldig nyttig for å sjekke at beregningen gir mening.

Oppsummering

Sammensatte enheter kombinerer to eller flere grunnenheter og beskriver forholdet mellom dem.

- Gjenstander med tetthet under $1 \text{ g/cm}^3$ flyter i vann
- For å sammenligne priser: regn ut pris per enhet